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Thema: Hahn-Reihen
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xiao_shi_tou_
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Aus: Grothendieck Universum
Themenstart: 2018-11-09 18:23
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Hi.

EDIT2:
Frage hat sich geklärt. Siehe ganz unten.
Ich habe eine Frage an jemanden, der folgende Konstruktion kennt:

Sei \(F\) ein Körper und \((G,<)\) eine totalgeordnete Abelsche Gruppe.
Betrachte die folgende Menge:
\(F((t^G)):=\{\underset{g\in G}{\sum}x_g t^g \colon supp(x_g)\subseteq G\) enthält keine unendlichen absteigenden Teilfolgen.\(\}\)

Zum Beispiel ist \((\mathbb{Q},+)\) eine Abelsche total geordnete Gruppe, und die Folge \(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\cdots\)
ist absteigend.

Das bedeutet, dass für beispielsweise \(F:=\mathbb{Z}/5\)
der folgende formale Ausdruck \(\overline{1}t+\overline{2}t^\frac{1}{2}+\overline{3}t^\frac{1}{3}+\cdots\)
kein Element von \(\mathbb{Z}/p((t^\mathbb{Q}))\) ist, da die Menge \(supp(x_g)=\{\frac{1}{n}\in\mathbb{Z}_{(5)}\}\)
eine absteigende Teilfolge, nämlich
\(1>\frac{1}{2}>\frac{1}{3}>\frac{1}{4}>\frac{1}{6}>\frac{1}{7}>\frac{1}{8}>\frac{1}{9}>\frac{1}{11}>\cdots\) enthaelt.

Dann ist \(F((t^G))\) ein Körper bezüglich
formaler Addition und Multiplikation.

Fragen:
1. Hat dieser Körper einen Namen? Gibt es Literatur hierzu?
2. Es liegt eine gewisse Ähnlichkeit zu Gruppenringen vor und doch sehe ich nicht unmittelbar, wie man diesen Körper als Gruppenring auffassen könnte...
4. Ist das ein Beispiel einer allgemeineren Konstruktion?

Grüße

EDIT1:
3.Was hat es mit der Bedingung an \(supp(x_g)\) auf sich?
Diese Frage hat sich geklärt:

Man definiert eine Bewertung auf
\(F((t^G))\) wie folgt:
\(v\colon F((t^G))\to G\cup \{\infty\}\)
\(v(\underset{g\in G}{\sum}x_g t^g\neq 0):=min\{supp(x_g)\}\)
\(v(0):=\infty\).
Man moechte also die Existenz des Minimums sicherstellen.

EDIT2:
Ich bin ...Hätte weiterlesen sollen:
Diese Objekte heißen "Hahn Reihen". Steht im Skript weiter unten.
\(\endgroup\)



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Druckdatum: 2019-07-16 14:58