Forum:  Mengentheoretische Topologie
Thema: Kompaktheit verstehen
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curious_mind
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Themenstart: 2018-11-09 19:41

Hi,

ich schaue mir gerade das Thema Kompaktheit im Rahmen der Maß- u. Integrationstheorie an.

Die Kompaktheit im topologischen Sinne, also, dass eine Überdeckung der Menge <math>K</math> eine endliche Teilüberdeckung hat, finde ich nachvollziehbar. Wobei ich das Wort "Teilüberdeckung" merkwürdig finde, es ist doch trotzdem eine komplette Überdeckung, nur mit endlich-vielen offenen Mengen, richtig? Wieso nennt man es "Teil-"Überdeckung?

Auch unsicher fühle ich mich bei der Kompaktheit in <math>\mathbb{R}^d</math>, auf die das aufbaut.

Zum Beispiel:
Ist in <math>\mathbb{R}</math> die "Menge" <math>([1,2] \cup [3,4])</math> kompakt?

Nenne ich "<math>([1,2] \cup [3,4])</math>" immernoch ein "Intervall" auch wenn es die Vereinigung mehrerer Intervalle ist? Oder kann ich es nur explizit benennen, also als "Vereinigung zweier Intervalle"?

Was wäre ein Beispiel für eine Menge <math>K \subset \mathbb{R}^5</math>, die kompakt ist und wo für <math>x=(x_1, \ldots, x_5)\in \mathbb{R}^5</math>, die <math>x_i</math> für <math>i\in {1, \ldots, 5}</math> Folgen bilden können (was ich ja brauche, um damit zu beweisen, dass die Menge <math>K</math> kompakt ist)?




PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-09 20:17

Hallo,


Die Kompaktheit im topologischen Sinne, also, dass eine Überdeckung der Menge <math>K</math> eine endliche Teilüberdeckung hat, finde ich nachvollziehbar.

Das ist so nicht richtig.
Es ist wichtig, dass jede(!) offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung hat.

Das Wort "Teilüberdeckung" erklärt man sich wohl so, dass man eine offene Überdeckung hat und davon dann eben einen endlichen Teil nimmt.

Die Menge $[1,2]\cup [3,4]$ ist Kompakt. Denn sie ist beschränkt und abgeschlossen. Das ist der Satz von Heine-Borel

2018-11-09 19:41 - curious_mind im Themenstart schreibt:

Was wäre ein Beispiel für eine Menge <math>K \subset \mathbb{R}^5</math>, die kompakt ist und wo für <math>x=(x_1, \ldots, x_5)\in \mathbb{R}^5</math>, die <math>x_i</math> für <math>i\in {1, \ldots, 5}</math> Folgen bilden können (was ich ja brauche, um damit zu beweisen, dass die Menge <math>K</math> kompakt ist)?


Kannst du den Satz zitieren, den du hier im Sinn hast?
Ich verstehe glaube ich nicht ganz, was du meinst.


curious_mind
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-11 13:30

2018-11-09 20:17 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
...
Das Wort "Teilüberdeckung" erklärt man sich wohl so, dass man eine offene Überdeckung hat und davon dann eben einen endlichen Teil nimmt.

Ah, ok. Danke.

2018-11-09 19:41 - curious_mind im Themenstart schreibt:

Was wäre ein Beispiel für eine Menge <math>K \subset \mathbb{R}^5</math>, die kompakt ist und wo für <math>x=(x_1, \ldots, x_5)\in \mathbb{R}^5</math>, die <math>x_i</math> für <math>i\in {1, \ldots, 5}</math> Folgen bilden können (was ich ja brauche, um damit zu beweisen, dass die Menge <math>K</math> kompakt ist)?

2018-11-09 20:17 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 1 schreibt:
Kannst du den Satz zitieren, den du hier im Sinn hast?
Ich verstehe glaube ich nicht ganz, was du meinst.


Der Satz lautet:
Eine Menge <math>A \subset \mathbb{R}^d</math> heißt kompakt, wenn jede Folge <math>(x_n)</math> mit <math>x_n \in A</math> eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in <math>A</math> hat.






PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-11 13:49

Muss es denn unbedingt der $\mathbb{R}^5$ sein?

Zum Beispiel ist das offene Intervall $(0,1]\subset\mathbb{R}$ nicht Kompakt.

Denn die Folge $a_n=\frac1n$ liegt in diesem Intervall, aber der Grenzwert ist nicht enthalten.
Denn der Grenzwert ist Null.

Anders gesagt ist $(0,1]$ nicht abgeschlossen.

Außerdem erfüllt ja jede kompakte Teilmenge des $\mathbb{R}^d$ diese Eigenschaft.
Die Frage ist also nicht so gut gestellt.


ligning
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Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-11 14:36

Es wurde noch gefragt, ob $[1,2]\cup[3,4]$ ein Intervall ist. Nein, das ist kein Intervall. Man kann die Kompaktheit dieser Menge mit Heine-Borel begründen, es gilt aber auch allgemeiner, dass die Vereinigung endlich vieler kompakter Teilmengen kompakt ist.


curious_mind
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-12 11:16

Ja es soll IR^5 sein.Bei einfachen Intervallen aus IR kann ich mir das ja selbst vorstellen, deshalb frage ich nach einem anderen Beispiel.

Die Frage ist gut gestellt, du hast sie wohl nicht verstanden. Ich frage nach einer kompakten Menge in IR^5, nicht nach einer nicht kompakten Menge in IR.


curious_mind
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-20 17:26

Hallo,

also nochmal besser formuliert:

Folgenden Satz möchte ich nutzen, um die Kompaktheit einer Menge zu beweisen:


Eine Menge <math>A \subset \mathbb{R}^d</math> heißt kompakt, wenn jede Folge <math>(x_n)</math> mit <math>x_n \in A</math> eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in <math>A</math> hat.

Was wäre ein Beispiel für eine Menge <math>A \subset \mathbb{R}^5</math>, die kompakt ist und wo für <math>x=(x_1, \ldots, x_5)\in \mathbb{R}^5</math>, die <math>x_i</math> für <math>i\in {1, \ldots, 5}</math> Folgen bilden können (was ich ja brauche, um damit zu beweisen, dass die Menge <math>A</math> kompakt ist)?


DerEinfaeltige
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Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-20 18:43

Abgeschlossene (Hyper-)Quader sind wohl die einfachsten Beispiele kompakter Mengen in niederen und höheren Dimensionen.
Das ist allerdings trivial und daher ist irgendwie unklar, wie du die Frage meinst?!?


darkhelmet
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Beitrag No.8, eingetragen 2018-11-20 18:45

2018-11-20 17:26 - curious_mind in Beitrag No. 6 schreibt:
Was wäre ein Beispiel für eine Menge <math>A \subset \mathbb{R}^5</math>, die kompakt ist

$A=[0,1]^5$.
Natürlich ist auch jede endliche Teilmenge von $\mathbb{R}^5$ kompakt.

2018-11-20 17:26 - curious_mind in Beitrag No. 6 schreibt:
und wo für <math>x=(x_1, \ldots, x_5)\in \mathbb{R}^5</math>, die <math>x_i</math> für <math>i\in {1, \ldots, 5}</math> Folgen bilden können

Das ist nicht verständlich.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


PrinzessinEinhorn
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Beitrag No.9, eingetragen 2018-11-20 18:59

Ich würde deine Frage gerne beantworten, aber ich weiß leider immer noch nicht so ganz, wonach du fragst.

Mir scheint als wäre deine Frage nach einem konkreten Beispiel.
Aber ich könnte dir jede beliebige kompakte Menge nennen, weil ja jede kompakte Menge diese Eigenschaft erfüllt.
Kompakt wird hier ja gerade so definiert.

Und was meinst du mit $x=(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)\in\mathbb{R}^5$ so, dass die $x_i$ Folgen bilden?
Es sind ja Punkte mit $x_i\in\mathbb{R}$ für $i=1,\dotso, 5$. Die bilden wenn überhaupt eine konstante Folge.

Ich probiere mal ein Beispiel.

Es spielt nicht so wirklich eine Rolle in welcher Dimension wir das machen. Ich nehme mal den Einheitswürfel $I^2=[0,1]\times [0,1]\subseteq\mathbb{R}^2$.

Ich könnte auch den Einheitswürfel in $\mathbb{R}^5$ nehmen.

Nun muss ja jede Folge in $I^2$ eine konvergente Teilfolge (in $I^2$) besitzen so, dass diese Folge in $I^2$ einen Grenzwert hat.

Wenn wir jetzt eine Folge wählen, etwa $a_n=(\frac1n, \frac1n)$, dann konvergiert diese ja gegen $(0,0)\in I^2$.
Hier muss dann ja jede einzelne Komponente konvergieren.
Oder für ein allgemeines Beispiel eben eine konvergente Teilfolge besitzen.
Wie man so eine konvergente Teilfolge im allgemeinen konstruieren kann, weiß ich gerade nicht.

Jedenfalls reduziert sich das ganze dann ja ohnehin auf Konvergenz in $\mathbb{R}$.
(Da wie gesagt jede einzelne Komponente konvergieren muss und das spielt sich dann ja nur in $\mathbb{R}$ ab.)

Insbesondere ist hier dann das Einheitsintervall $[0,1]$ abgeschlossen (sogar kompakt). Also sind für Folgen in diesem Intervall (wonach die Eigenschaft fragt) ohnehin innerhalb dieses Intervalls konvergieren. Daher, der Grenzwert liegt dann auch in $[0,1]$. Das ist eine Eigenschaft von abgeschlossenen Mengen.


Wenn wir ein Element $x\in\mathbb{R}^5$ haben und die Menge $A=\{x\}$ betrachten. Dann ist diese Menge kompakt.
Denn nehmen wir eine Folge in $A$, dann ist diese konstant $x$.
Wir haben ja gar keine andere Möglichkeit.
Und dies konvergiert dann ja auch trivialerweise gegen dieses $x$.
Die Menge die einen Punkt enthält ist also kompakt.

Ich weiß nicht, ob es dir hilft.
Ich finde es schwer deine Frage zu beantworten, da ich sie nach wie vor nicht gut formuliert finde.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


curious_mind
Aktiv
Dabei seit: 10.11.2012
Mitteilungen: 269
Aus:
Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-23 18:01

Ok, doch - auch wenn ihr meine Frage nicht versteht - haben Eure Antworten mir geholfen. Ich muss darüber noch etwas nachdenken.
Ggf. melde ich mich nochmal.

Danke!




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Druckdatum: 2019-08-24 13:54