Forum:  Topologie
Thema: Menge abgeschlossen oder offen?
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Magehex
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Themenstart: 2018-11-09 19:46

Hallo zusammen,
ich habe folgende Aussage und Beweis:

Sei $R$ ein separabler metrischer Raum, $A_1,A_2, A=A_1\cup A_2$ abgeschlossene Teilmengen von $R$ und gilt $dim(R\setminus A)=n$. Dann existieren in $R$ abgeschlossene Mengen $R_1$ und $R_2$ mit den folgenden Eigenschaften:
(i) $R=R_1\cup R_2$
(ii) $A_1\subset R_1$
(iii) $A_2\subset R_2$
(iv) $dim(R_1\cap R_2 \setminus A_1\cap A_2) \leq n-1$
Beweis:
Wir bestimmen zuerst zwei offene Mengen $G_1$ und $G_2$, so dass $A_1\setminus A_1 \cap A_2 \subset G_1$, $A_2\setminus A_1 \cap A_2 \subset G_2$, $\bar{G_1}\cap \bar{G_2} \subset A_1\cap A_2$. Man definiere z.B. $G_1$ als die Menge aller Punkte von $R$, deren Abstand von $A_1$ kleiner als die Hälfte des Abstandes von $A_2$, und analog $G_2$. Die Mengen $\bar{G_1}\setminus A_1$ und $\bar{G_2} \setminus A_2$ sind disjunkt und abgeschlossen in der höchstens $n$-dimensionalen Menge $R\setminus A$. Folglich lassen sich $G_1\setminus A_1$ und $G_2 \setminus A_2$ in $R\setminus A$ durch eine höchstens $(n-1)$-dimensionale Menge trennen.
Mit anderen Worten gibt es zwei in $R\setminus A$ abgeschlossene Mengen $B_1$ und $B_2$ mit den Eigenschaften:
(i) $R\setminus A= B_1\cup B_2$
(ii) $B_1\cap G_2=B_2\cap G_1 =0$
(iii) $dim(B_1\cap B_2)\leq n-1$
Setzen wir nun $R_1=B_1\cup A_1$, $R_2= B_2\cup A_2$, so sind $R_1$ und $R_2$, wie man leicht zeigt, abgeschlossen in $R$ und genügen den geforderten Eigenschaften.



Das mit der Hälfte des Abstandes von $A_1$ zu $A_2$ stelle ich mir bildlich so vor:


Dabei sind die grünen und blauen Linien offen Begrenzungen der Mengen $G_1$ bzw. $G_2$.

Nun zur Frage 1:
Die Aussge "Die Mengen $\bar{G_1}\setminus A_1$ und $\bar{G_2} \setminus A_2$ sind disjunkt und abgeschlossen..." ist doch nicht korrekt? Wenn ich beispielsweise aus der oberen Abbildung die Menge $A_2$ aus $G_2$ entferne, ist die resultierende Menge doch offen und abgeschlossen zugleich? Weil der Abschluss von $G_2$ abgeschlossen ist, aber ich eine echte abgeschlossene Teilmenge $A_2$ entferne und dadurch ein Loch in der Mitte von $G_2$ entsteht, welches offene Ränder besitzt. Oder sehe ich das falsch?

Edit: Ach die Frage ist ja Quatsch, da man eh $R\setminus A$ betrachtet und dann $\bar{G_1}\setminus A_1$ und $\bar{G_2} \setminus A_2$ disjunkt und abgeschlossen sind.

Frage 2:
"Mit anderen Worten gibt es zwei in $R\setminus A$ abgeschlossene Mengen $B_1$ und $B_2$ mit den Eigenschaften:
(i) $R\setminus A= B_1\cup B_2$"

Ich frage mich, wenn A eine abgeschlossene Teilmenge von R ist, und $B_1,B_2$ beides ebenso abgeschlossene Teilmengen und gelten soll: $R\setminus A = B_1 \cup B_2$ dann ist das doch ein Widerspruch zur Definition von abgeschlossener und offener Menge?
Eine Menge ist offen, genau dann wenn ihr Komplement abgeschlossen ist.
Da A nach Voraussetzung abgeschlossen ist, muss $R\setminus A$ offen sein. Aber dann kann sie doch nicht gleich $B_1 \cup B_2$ sein, denn nach der Definition einer Topologie ist die Vereinigung beliebig offener respektive abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen.

Das original Paper dazu findet ihr hier
matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm24/fm24115.pdf

Es würde mich freuen, wenn der ein oder andere mir einen Hinweis geben könnte, wo mein Denkfehler liegt.

Vielen Dank und schönes Wochenende
 

 


xiao_shi_tou_
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Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-09 21:35

Hallo.
Das Thema interessiert mich.
Kannst du bitte erklaeren, wie die Dimension hier erklaert ist?
Danke


Magehex
Aktiv
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-10 00:38

Hallo xiao_shi_tou_,

ich gebe dir mal die Definition aus dem Buch Topologie Lehrbuch von W. Rinow
Mit $dim_f$ wird hierbei die endliche Überdeckungsdimension bezeichnet, welche aber in metrisierbaren Räumen mit verträglicher Metrik äquivalent zu der allgemeinen Überdeckungsdimension ist. Daher hier nicht irritieren lassen.
Als $FR(U)$ wird der Rand $\partial U$ bezeichnet.  





xiao_shi_tou_
Senior
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 893
Aus: Grothendieck Universum
Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-10 22:17

Hallo,
Ich will nur kurz sichergehen:
Bist du sicher, dass in dem Artikel diese Definition benutzt wird? Denn es gibt sehr viele Dimensionsbegriffe fuer topologische Raeume.
Wenn ja, dann schau ich mir das mal an.
Gruesse


Magehex
Aktiv
Dabei seit: 20.01.2016
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-11 09:20

Hallo xiao_shi_tou_,

W. Hurewicz verwendet in seinem Paper lediglich die bei Brouwer als Definition der Dimensionszahl dienende Tatsache, dass in einem separablen n-dimensionalen Raum je zwei abgeschlossene punktfremde Mengen sich stets durch eine höchstens (n-1)-dimensionale Menge trennen lassen.

W. Rinow schreibt: Man überlegt sich leicht durch vollständige Indution, dass $Ind R\leq n$ genau dann gilt, wenn je zwei disjunkte abgeschlossene Mengen von $R$ $(n-1)$-dimensional getrennt sind im Sinne der zu Anfang des Paragraphen gegebenen Definition.

Das ganze in einem Satz verpackt:

Sei $R$ ein topologischer Raum und $A,B$ disjunkte Teilmengen von $R$. Eine Menge $L\subset R$ bezeichnen wir als Partition zwischen $A$ und $B$, wenn es offene Mengen $U, V \subset R$ gibt, sodass

$A\subset U$,
$B\subset V$,
$U\cap V =\emptyset$,
$R\setminus L = U\cup V$

Jede Partition $L$ ist also insbesondere abgeschlossen.

Ein normaler topologischer Raum $R$ erfüllt die Ungleichung $IndR \leq n$ genau dann, wenn es für je zwei disjunkte abgeschlossene Mengen $A,B \subset R$ eine Partition $L$ zwischen $A$ und $B$ gibt, sodass $IndL\leq n-1$





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Druckdatum: 2019-08-21 10:14