Forum:  Differentialrechnung in IR
Thema: Differenzierbarkeit von Funktion beweisen
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X3nion
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Dabei seit: 17.04.2014
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Themenstart: 2019-01-11 17:24

Guten Abend zusammen!

Folgendes soll bewiesen werden:

Seien $a, \xi b \in \IR$ mit $a < \xi < b$.
Seien $f: [a, \xi] \to \IR$ und $g: [\xi, b] \to \IR$ differenzierbar. Definiere $\phi: [a,b] \to \IR$ durch

$\phi(x) := \begin{cases} f(x), \text{ für } x < \xi \\
g(x), \text{ für } x \ge \xi \end{cases}$.

$\phi$ ist genau dann differenzierbar auf $[a,b]$, falls $f(\xi) = g(\xi)$ und $f'(\xi) = g'(\xi)$ gilt.


Da ich dazu kaum einen Ansatz habe, würde ich zunächst einmal die Hinrichtung beweisen und danach die Rückrichtung, damit der Topic übersichtlich bleibt.

$"=>"$ Gelte also $\phi$ ist differenzierbar auf $[a,b]$. Folglich existiert $\lim_{x \to \xi} \frac{\phi(x) - \phi(\xi)}{x - \xi}$. Wie mache ich nun weiter? Vor allem gilt ja die Fallunterscheidung $\phi(x) = f(x)$ für $x < \xi$ sowie $\phi(x) = g(x)$ für $x \ge \xi$.
Würde man nun mit links- bzw. rechtsseitigem Grenzwert argumentieren?


Ich würde euch für jede Hilfe sehr danken!

Viele Grüße,
X3nion


Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-11 17:27

Hey X3nion,

so ein Grenzwert existiert doch genau dann, wenn linksseitiger und rechtsseiter Grenzwert existieren und diese gleich sind.

Also ja, arbeite am besten mit links- und rechtsseitigen Grenzwerten


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13 02:04

Hi Kampfpudel und vielen Dank für die Bestätigung!

Sei $\phi$ differenzierbar auf $[a,b]$, daraus folgt $\phi$ ist differenzierbar auf $(a,b)$, also in jedem Punkt $\xi \in (a,b)$. Daraus folgt, dass $\phi$ auch in $\xi$ stetig ist. Es gilt $\phi(\xi) = g(\xi)$. Betrachte nun eine beliebige Folge $a_{n}$ mit $\lim a_{n} = \xi$. Aufgrund der Stetigkeit von $\phi$ in $\xi$ gilt $\lim \phi(a_{n}) = \phi(\xi)$. Sei nun $b_{n}$ eine beliebige Folge mit $b_{n} \in [a, \xi)$. Aufgrund der Stetigkeit von f in $\xi$ gilt $\lim f(b_{n}) = f(\xi)$. Es folgt aber auch $\lim f(b_{n}) = \phi(\xi)$ und damit $f(\xi) = g(\xi)$


Es gibt nun den folgenden Satz, zu welchem ich auch eine Frage im Forum gestellt habe:

Seien $a, \xi, b \in \IR$ mit $a < \xi < b$.
Sei $f: (a,b) \to \IR$. $f$ ist genau dann in $\xi$ differenzierbar, falls für alle $(x_{n}) \subset (a,\xi)$ und $(y_{n}) \subset (\xi, b)$ mit $\lim_{n \to \infty} x_{n} = \lim_{n \to \infty} y_{n} = \xi$ die Grenzwerte

$\lim_{n \to \infty} \frac{f(x_{n}) - f(\xi)}{x_{n} - \xi}$ und $\lim_{n \to \infty} \frac{f(y_{n}) - f(\xi)}{y_{n} - \xi}$ existieren und übereinstimmen.


Nehme nun an, $\phi$ sei differenzierbar auf $(a,b)$. Sei nun $\xi \in (a,b)$ beliebig. Da $\phi$ in $\xi$ differenzierbar ist, gilt für alle $(x_{n}) \subset (a,\xi)$ und $(y_{n}) \subset (\xi, b)$ mit $\lim_{n \to \infty} x_{n} = \lim_{n \to \infty} y_{n} = \xi$, dass die Grenzwerte

$\lim_{n \to \infty} \frac{\phi(x_{n}) - \phi(\xi)}{x_{n} - \xi}$ und $\lim_{n \to \infty} \frac{\phi(y_{n}) - \phi(\xi)}{y_{n} - \xi}$ existieren und übereinstimmen. Nun ist aber $\phi(x_{n}) = f(x_{n})$, $\phi(\xi) = g(\xi) = f(\xi)$ sowie $\phi(y_{n}) = g(y_{n})$, $\phi(\xi) = g(\xi)$. Damit haben wir
$f'(\xi):= \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_{n}) - f(\xi)}{x_{n} - \xi}$ und $g'(\xi):= \lim_{n \to \infty} \frac{g(y_{n}) - g(\xi)}{y_{n} - \xi}$ sind endlich und gleich.


Wäre das so okay?


Viele Grüße,
X3nion


Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-13 14:59

2019-01-13 02:04 - X3nion in Beitrag No. 2 schreibt:

Aufgrund der Stetigkeit von f in $\xi$ gilt $\lim f(b_{n}) = f(\xi)$. Es folgt aber auch $\lim f(b_{n}) = \phi(\xi)$


Ja, wegen \(f(b_n)=\phi(b_n) \to \phi(\xi)\)

Der Rest ist so okay, damit hast du die eine Richtung bewiesen. Du brauchst aber nicht nochmal "Sei \(\xi \in (a,b)\) [...]" schreiben, denn \(\xi\) ist durch die Aufgabenstellung ja schon fix vorgegeben.



X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 539
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13 16:25

Hi Kampfpudel,

okay alles klar!

Nun zur Rückrichtung: Gelte $f'(\xi) = g'(\xi)$ sowie $f(\xi) = g(\xi)$.

Es gilt also $\lim_{x \to \xi} \frac{f(x) - f(\xi)}{x - \xi} = \lim_{x \to \xi} \frac{g(x) - g(\xi)}{x - \xi}$.

Betrachte nun $\lim_{x \downarrow \xi} \frac{\phi(x) - \phi(\xi)}{x - \xi}$. Es gilt $\lim_{x \downarrow \xi} \frac{\phi(x) - \phi(\xi)}{x - \xi} = \lim_{x \downarrow \xi} \frac{g(x) - g(\xi)}{x - \xi}$.
Weiters gilt $\lim_{x \uparrow \xi} \frac{\phi(x) - \phi(\xi)}{x - \xi} = \lim_{x \uparrow \xi} \frac{f(x) - f(\xi)}{x - \xi}$. Nach Voraussetzung stimmen $\lim_{x \uparrow \xi} \frac{f(x) - f(\xi)}{x - \xi}$ und $\lim_{x \downarrow \xi} \frac{g(x) - g(\xi)}{x - \xi}$ überein. Folglich ist $\phi$ auf (a,b) differenzierbar, da laut Voraussetzung $a < \xi < b$.

Bleibt noch zu zeigen: $\phi$ ist in a und b differenzierbar.
Da $f$ in $a$ differenzierbar ist, folgt daraus, dass $\phi$ in a differenzierbar ist, analog für b.


Wäre dies so okay oder nicht?

Viele Grüße,
X3nion


Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
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Beitrag No.5, eingetragen 2019-01-13 18:12

2019-01-13 16:25 - X3nion in Beitrag No. 4 schreibt:
Nach Voraussetzung stimmen $\lim_{x \uparrow \xi} \frac{f(x) - f(\xi)}{x - \xi}$ und $\lim_{x \downarrow \xi} \frac{g(x) - g(\xi)}{x - \xi}$ überein.

hier vielleicht noch ergänzen, dass nach Voraussetzung auch beide Grenzwerte existieren und dann sagen, dass sie nach Voraussetzung auch noch übereinstimmen.

Ansonsten passt es so


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 539
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13 18:17

Hi Kampfpudel,

okay alles klar. Vielen Dank nochmal für deine Hilfe!


Viele Grüße,
X3nion




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Druckdatum: 2019-12-12 06:41