Forum:  Mehrdim. Differentialrechnung
Thema: Vektor-Laplace mit divergenzfreier rechter Seite impliziert Lösung ist divergenzfrei
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trewqtrewq
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Themenstart: 2019-04-15 01:41

Hallo,

betrachte die Lösung $u \in H_0(curl)\cap H(div)$  von
 
$\langle curl \ u, curl \ v \rangle + \langle div \ u, div \ v\rangle=\langle f,v\rangle$ (1).
 
 Hier ist $f \in L^2(\Omega), div f=0, d.h. \langle f, grad \ q\rangle =0 \ \forall q \in H^1_0(\Omega)$.  
$H_0(curl)=\{u \in L^2(\Omega, \mathbb{R}^3) \ | \ curl \ u \in L^2(\Omega, \mathbb{R}^3), u \times n=0\}$  
$H_0(div)=\{u \in L^2(\Omega, \mathbb{R}^3) \ | \ div \ u \in L^2(\Omega, \mathbb{R}^3)\}$  
Folgt daraus, dass $div \ u=0$?  
Betrachte die Lösung von $\Delta \Phi=div \ u$. Wenn $\Phi \in H^2(\Omega)$, dann können wir (1) mit $grad \ \Phi$ testen und bekommen $\langle div \ u, div \ u\rangle =0$, da curl grad =0 and div f=0. Aber was macht man, wenn $\Phi \not \in H^2(\Omega)$? Dies kann auftreten, wenn $\Omega$ einen nicht glatten Rand hat und nicht convex ist?
Folgt dann immer noch, dass div u =0?


doglover
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-15 22:18

Hallo trewqtrewq,

ich weiß nicht ob es hilft, aber zunächst hat für beliebiges beschränktes, offenes $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ das Randwertproblem:

$\Delta \Phi=g$, $\Phi|_{\partial\Omega}=0$ eine eindeutige schwache Lösung $\Phi\in H^1_0(\Omega)$ für jedes $g\in L^2(\Omega)$.

Falls $\Omega$ einen $C^2$-Rand hat, so gilt sogar $\Phi\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$. Ein $C^2$-Rand würde hier also für deine Argumentation reichen. Für beliebige Ränder hat man zumindest noch die innere Regularität $\Phi\in H_{loc}^2(\Omega)$. Falls $\Omega$ nur einen $C^1$- oder Lipschitzrand hat, kann man $\Omega$ evtl. von innen heraus mit kompakt enthaltenen Mengen "ausschöpfen" und einen geeigneten Grenzübergang machen, um das gewünschte zu erhalten? Ist jetzt nur eine vage Idee.

Was für eine Regularität wird denn an den Rand von $\Omega$ vorausgesetzt?

Viele Grüße

doglover



trewqtrewq
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-15 22:50

Hallo doglover,

erstmal vielen Dank für deine Antwort. Ich würde das ganze gerne auf ein L-förmiges Gebiet anwenden, also mit einspringender Ecke.

Ich glaube in Kapitel zwei von hier  wurde sowas ähnliches gemacht wie du vorgeschlagen hast. In dem Paper interessiere ich mich für den Fall $\alpha=0$. Auf Seite zwei mittig wird ja ganz eindeutig behauptet, dass wenn div f=0 auch div u=0, solange das Problem wohlgestellt ist. Und im Satz darüber wird gesagt, dass eine eindeutige Lösung für $\alpha=0$ existiert.
Gibst du mir erstmal recht, dass sie behaupten, dass auch für ein L-förmiges Gebiet div u=0 impliziert wird?


doglover
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-16 21:16

Ja dort wird behauptet, dass $u$ divergenzfrei ist auf bounded polygonal domains, wenn $div(f)=0$ gilt (worunter für mich auch ein $L$-förmiges Gebiet fällt, obwohl ich die exakte Definition nicht kenne...).
Wahrscheinlich kennst du dich in der Literatur in der Hinsicht ohnehin besser aus als ich, aber schau mal hier in Kapitel 2.3.2 unter Gleichung (2.26). Das scheint mit deinem Variationsproblem übereinzustimmen. In Theorem 2.2.1 scheint dort eine hinreichende Bedingung für die $H^2$-Regularität der Lösung $\Delta \Phi=\text{div}(u)$ zu stehen, die von der genauen Geometrie des Gebietes abhängt. Es scheint recht aufwendig zu sein, da man offenbar Dirichleteigenwerte explizit bestimmen oder zumindest geeignet abschätzen muss.

Mehr kann ich dir leider nicht helfen.

Viele Grüße und noch viel Erfolg

doglover




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Druckdatum: 2019-08-24 16:13