Forum:  Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
Thema: *~ Planimetrie - Dreieckskonstruktion aus Höhe, Seitenhalbierender u. Winkelhalbierender einer Seite
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Ehemaliges_Mitglied
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Themenstart: 2019-04-19 02:44

Gegeben seien die Höhe <math>h_c</math>, die Winkelhalbierende <math>w_\gamma</math> und die Seitenhalbierende <math>s_c</math> eines Dreiecks <math>ABC</math>.

<math>
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\hc}{4.2} %
\pgfmathsetmacro{\sc}{4.4} %
\pgfmathsetmacro{\wc}{4.3} %

% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.89288} %
\pgfmathsetmacro{\b}{4.46338} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5.64408} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

% Annotationen - Dreieck
% Hhe
\draw[thick]  (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[Punkt={below}{H_c}] (Hc);
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =C--Hc--A};

% Seitenhalbierende
\draw[thick]  (C) -- ($(A)!0.5!(B)$) coordinate[Punkt={below right}{M_c}] (Mc);

% Winkelhalbierende
\path[name path=CA] (C) -- (A);
\path[name path=CB] (C) -- (B);
\path[name path=kreisC, draw=none] (C) circle[radius=1];
\path[name intersections={of=CA and kreisC, name=X}];
\path[name intersections={of=CB and kreisC, name=Y}];
\path[name path=kreisX, draw=none] (X-1) circle[radius=1];
\path[name path=kreisY, draw=none] (Y-1) circle[radius=1];
\path[name intersections={of=kreisX and kreisY, name=Z}];
\path[name path=AB] (A) -- (B);
\path[name path=wN]  (C) -- ($(C)!\sc cm!(Z-2)$);
\path[name intersections={of=wN and AB, name=W}];
\draw[thick]  (C) -- (W-1) coordinate[Punkt={below}{W_\gamma}] (Wc);


% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {hc/h_c,sc/s_c,wc/w_\gamma}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
%"$\alpha$",
%] {angle =R--Q--P};


%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};


%%% Punkte
\foreach \P in {Hc,Wc,Mc}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\end{tikzpicture}
</math>


(a) Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal.

(b) Gib Bedingungen für die Konstruktion an.

(c) Berechne die fehlenden Seitenlängen <math>a,b,c</math> und die Innenwinkel <math>\alpha,\,\beta,\,\gamma</math> aus den gegebenen Größen <math>h_c,\,s_c,\, w_\gamma</math>.


werner
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-23 13:47

zu a) bei der (sehr schönen) Konstruktion hilft der Südpol smile

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Ehemaliges_Mitglied
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23 20:17

2019-04-23 13:47 - werner in Beitrag No. 1 schreibt:
zu a) bei der (sehr schönen) Konstruktion hilft der Südpol smile

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Vollständige, nachvollziehbare und hinreichend ausführliche Lösungen mit Herleitung weniger bekannter Formeln, Skizzen / Graphen, Erläuterungen - eben allem, was dazugehört und wie man das gemeinhin macht - wären wünschenswert.

"Geistreiche Einwürfe" mögen unterstreichen, dass Du ein schlauer Kerl bist, sind aber ansonsten weitestgehend nutzlos.


TomTom314
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-23 23:04

Und wo genau liegt das Problem? Der Südpolsatz ist schon der entscheidende Konstruktionsschritt. Es sollte nun nicht so schwer sein, die angegeben Formel für a mit Deiner bereits vorhanden Lösung - wie wir alle hoffen - zu vergleichen.


Ehemaliges_Mitglied
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-24 00:47

2019-04-23 23:04 - TomTom314 in Beitrag No. 3 schreibt:
Und wo genau liegt das Problem? Der Südpolsatz ist schon der entscheidende Konstruktionsschritt. Es sollte nun nicht so schwer sein, die angegeben Formel für a mit Deiner bereits vorhanden Lösung - wie wir alle hoffen - zu vergleichen.

Was hast Du an dem, was ich schrieb nicht verstanden?
Dass Dir dieses einzeilige Verhalten gefällt ist schon klar, Du bist ja auch so ein Ein-Satz-Wunder.
Lernt mal wie man eine Lösung und einen Lösungsweg gescheit darstellt und erklärt! Dann könnt ihr kommen und den Schnabel aufreißen.


TomTom314
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Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-24 01:13

Da Du die Frage im Rätselforum gestellt hast, können wir davon ausgehen, dass Dir die Lösung bekannt ist. Falls dem nicht so ist, sollten wir den Thread verschieben. Für ein Rätsel läßt die Antwort aus #1 erkennen, dass werner dieses wahrscheinlich erfolgreich bearbeitet hat, ohne anderen das Vergnügen des rästelns zu nehmen.

Deine Antwort erklärt nicht, womit werner diese abweisende Antwort verdient.  Also wo liegt Dein Problem?


werner
Senior
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Beitrag No.11, eingetragen 2019-04-24 12:41

2019-04-23 20:17 - Ehemaliges_Mitglied in Beitrag No. 2 schreibt:
2019-04-23 13:47 - werner in Beitrag No. 1 schreibt:
zu a) bei der (sehr schönen) Konstruktion hilft der Südpol smile

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Vollständige, nachvollziehbare und hinreichend ausführliche Lösungen mit Herleitung weniger bekannter Formeln, Skizzen / Graphen, Erläuterungen - eben allem, was dazugehört und wie man das gemeinhin macht - wären wünschenswert.

"Geistreiche Einwürfe" mögen unterstreichen, dass Du ein schlauer Kerl bist, sind aber ansonsten weitestgehend nutzlos.


dein Einwurf ist weder geistreich noch hilfreich, erlaube ich mir zu bemerken.
die Lösung habe ich nicht hergemalt, da es sich um ein "Rätsel" handelt.
bei Bedarf reiche ich sie gerne nach, man könnte allerdings auch Eigeninitiative entwickeln - wenn man schlau genug ist - und unter Südpolsatz nachschauen wink


MartinN
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Beitrag No.9, eingetragen 2019-04-24 15:48

Manchmal ist das Forum peinlich...

Hier eine Konstruktion über besagten Satz:

1. Man konstruierte die Höhe h = CH
2. Man konstruierte die Senkrechte g zu h durch H (auf ihr A und B)
3. Man trage um C die Kreise mit Radius Seitenhalbierende s und mit Radius Winkelhalbierende w ab.
4. Ein Schnittpunkt des Kreises mit Radius s und der Gerade g nennen wir M. Dem Schnittpunkt des Kreises mit Radius w und der Gerade g der zwischen H und M liegt nennen wie W.
5. Man konstruiert die Senkrechte f zu g durch M (auf ihr liegt der Umkreismittelpunkt U und der Südpol S)
6. Die Verlängerung von w schneidet f im Südpol S.
7. Man konstruierte den Mittelpunkt N von CS.
8. Man konstruierte die Senkrechte e zu CS durch N (auf ihr liegt der Umkreismittelpunkt U)
9. Entsprechend ist U der Schnittpunkt von e und f
10. Man trage um U dem Umkreis mir Radius UC ab.
11. Der Umkreis schneidet g in A und B.

Da der Südpol außerhalb des Dreiecks liegt ergibt sich u.a. aus 4./6. die Bedingung:
0 < h < w < s

Wenn h = w = s, dann hat man als Spezialfall ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck, welches auch entsprechend einfacher konstruieren lässt:
1. Man konstruiere wieder CH = h und die Gerade g durch H senkrecht auf h
2. Man trage um H den Kreis mit Radius h ab, dieser schneidet g in A und B.



cUcU
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Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-25 01:14

2019-04-24 15:48 - MartinN in Beitrag No. 9 schreibt:
Manchmal ist das Forum peinlich...

Besonders peinlich ist Viertel. Der Peinlich-Kaiser.


MartinN
Aktiv
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Aus: Bayern
Beitrag No.9, eingetragen 2019-04-25 01:26

Ach... Bei dem Spezialfall am Ende, das ist nur gleichschenklig, und damit nicht eindeutig bestimmt das Dreieck dann.




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Druckdatum: 2019-08-18 01:09