Forum:  Olympiade-Aufgaben
Thema: Alte Olympiadeaufgaben
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stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Themenstart: 2019-04-22 08:33

Hallo,
ich bin seit einiger Zeit an der Zusammenstellung von Lösungen zu alten Mathematik-Olympiadeaufgaben. Durch Manuela Kugel ( www.olympiade-mathematik.de/ ) wurden in extrem fleißiger Arbeit alle Aufgaben zusammengetragen. Bei einigen fehlen noch die Lösungen.

Ich habe nun begonnen, die eine oder andere Lösung zu ermitteln und in LaTex zu setzen. Das Bereitstellen aller Lösungen übersteigt aber mein Zeitvolumen und vor alle meine mathematischen Fähigkeiten.

Vielleicht hat der eine oder andere Lust und Freude dabei zu helfen. Außer einer ehrenvollen Erwähnung kann ich aber nichts bieten.

Aufgaben ohne Lösungen findet man in den Texten www.olympiade-mathematik.de/ oder bei mir mathematikalpha.de/mathematikaufgaben . Es kann ja sein, dass Klassenstufe 9 zu einfach ist.

neuer Link: Download der ungelösten Aufgaben

Ich würde diese Lösungen in eine Datei übernehmen (Latex würde mir die Arbeit erleichtern) und wie gesagt, den "Löser" lobend erwähnen.
Sobald eine Klassenstufe eines Jahrgangs komplett ist, füge ich die PDF-Datei in die Datei der Aufgaben und stelle sie online.

Sollte jemand von euch Interesse haben, würde es mich freuen.

LG und schöne Rest-Ostern
Steffen

Alle eure Lösungen, inkl. der Aufgaben, findet ihr unter:
mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20525
Sollte eine alte Datei angezeigt werden, bitte mit der F5-Taste im Browser die Datei erneut laden.


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5174
Aus: Milchstraße
Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-22 10:12

Hallo Steffen,

2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Aufgabe 060934:
Zeigen Sie, dass es unter allen Zahlen der Form 2p + 1, wobei p eine Primzahl ist, genau eine Kubikzahl gibt!

Das ist einfach.
Sei \(2p+1=a^3\). Dann ist \(a\) ungerade und es gilt \(p = \frac{a^3-1}2 = \frac{a-1}2(a^2+a+1)\). Da \(p\) prim, muss \(\frac{a-1}2=1\) oder \(a^2+a+1=1\) gelten. Da \(a^2+a+1>1\) folgt \(a=3\) und somit \(p=13\). In der Tat ist \(13\) prim und es gilt \(2\cdot13+1=3^3\).


Grüße
StrgAltEntf


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 1005
Aus: Thüringen,Erfurter Raum
Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-22 10:30

@StrgAltEntf
Das ist extrem elegant, gefällt mir !


@Steffen
Aufgabe 060931:
Zwei Primzahlen p1 und p2 (mit p1 > p2) heißen Primzahlzwillinge, wenn p1 − p2 = 2 gilt.
Beweisen Sie, dass für alle Primzahlzwillinge p1 und p2, für die p2 > 3 ist, stets die Summe p1 + p2 durch 12 teilbar ist!

Als Laie würde ich sagen.


Alle Primzahlen sind der Form 6n-1 oder 6n+1 (außer 2 und 3), diese haben im Fall der Zwillinge einen Abstand von 2.

Da p1<p2 muss p1=6n-1 besitzen.

(6n-1)+(6n+1)=12n, somit ist die Summe p1+p2 in der Tat durch 12 teilbar.

6n-1 ist kongruent 6n+5 (mod 6)

"Beweis", das Primzahlen nur der Form 6n+1,6n+5 sind:

Um alle Zahlen zu untersuchen ermittelt man Teiler von

6n+0,hat Teiler 2,3
6n+1
6n+2,hat Teiler 2
6n+3,hat Teiler 3
6n+4,hat Teiler 2
6n+5

Damit ist der Restklassenring für MOD 6 abgeschlossen und es verbleiben als mögliche Primzahlen
6n+1 und 6n+5

Anmerkung:
Um 6n-1 auszugrenzen, verwendet man für p2=6n+1 einfach p2=6n+7 und p1=6n+5

p1+p2=(6n+5)+(6n+7)=12(n+1), 12 ist somit Teiler von p2+p1


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 622
Aus:
Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-22 10:38
\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo stpolster,

ich habe mir mal Aufgabe 060931 angeschaut:


Zwei Primzahlen p1 und p2 (mit p1 > p2) heißen Primzahlzwillinge, wenn p1 − p2 = 2 gilt.
Beweisen Sie, dass für alle Primzahlzwillinge p1 und p2, für die p2 > 3 ist, stets die Summe p1 + p2 durch 12 teilbar ist!

Lösung:

Für die Uni: (Das wäre dann so eine Einstiegs-Klausuraufgabe vom Typ "Beherrschen Sie Moduloarithmetik?")
Es ist zu zeigen, dass  $p_1+p_2=0\mod12$. Dafür zeigen wir getrennt, dass $p_1+p_2=0\mod3$ und $p_1+p_2=0\mod 4$. (Das reicht wegen der Teilerfremdheit von 3 und 4).

$0\mod3$:
Es gilt $p_1,p_2>3$, also $p_1,p_2\neq0\mod3$. Das führt $p_2=1\mod3$ zum Widerspruch, denn dann wäre $p_1=p_2+2=1+2=3=0\mod 3$. Es muss also $p_2=-1\mod3$ sein. Dann ist $p_1=-1+2=1\mod3$, und damit $p_1+p_2=-1+1=0\mod3$.

$0\mod4$:
Da $p_1,p_2>2$ gilt $p_1=p_2=1\mod2$, und damit $p_1,p_2=\pm1\mod4$ (beachte, dass nicht unbedingt $p_1=p_2\mod4$). Falls $p_2=1\mod4$, dann ist $p_1=p_2+2=3=-1\mod4$, und damit $p_1+p_2=0\mod4$. Ist hingegen $p_2=-1\mod4$, dann ist $p_1=p_2+2=1\mod4$, und wieder $p_1+p_2=0\mod4$.

Für die Schule:
Wir zeigen, dass $p_1+p_2$ sowohl durch 4, als auch durch 3 teilbar ist. Da 4 und 3 teilerfremd sind, muss dann nämlich $p_1+p_2$ durch $4\cdot3=12$ teilbar sein.

Teilbarkeit durch 3:
Da beide Primzahlen größer als drei sind, sind sie nicht durch 3 teilbar. Damit ist $p_2$ entweder von der Form $p_2=3k+1$ oder $p_2=3k+2$ mit einer natürlichen Zahl $k$. Da $p_1-p_2=2$ ist $p_1=p_2+2$. Also ist $p_1$ von der Form $p_1=p_2+2=3k+1+2=3(k+1)$ oder $p_1=p2_+2=3k+2+2=3(k+1)+1$.
Der erste Fall kann nicht sein, denn dann wäre $p_1$ durch 3 teilbar, und somit keine Primzahl. Im zweiten Fall ist aber $p_1+p_2$ von der Form $p_1+p_2=3(k+1)+1+3k+2=2\cdot3(k+1)$, ist also durch 3 teilbar.

Teilbarkeit durch 4:
Da beide Primzahlen größer als 3 sind, sind sie nicht durch 2 teilbar. Damit ist $p_2$ von der Form $p_2=2k+1$. Dann ist $p_1=p_2+2=2k+3$. Dann ist $p_1+p_2=2k+1+2k+3=4k+4=4(k+1)$, also durch 4 teilbar.

Damit ist $p_1+p_2$ durch 3 und durch 4 teilbar, und damit auch durch $12$.


Viele Grüße,
Vercassivelaunos

Nachtrag: Wenn man direkt verwendet, dass alle PZ außer 2 und 3 von der Form $6k\pm1$ sind, dann ist pzktupels Beweis natürlich um längen eleganter. Ich schätze aber mal, dass man das in der Olympiade erst zeigen müsste.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 1005
Aus: Thüringen,Erfurter Raum
Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-22 10:42

Danke Vercassivelaunos, ich habe es "gezeigt" in der Ergänzung.


Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 800
Aus: Chemnitz
Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-22 11:18

Ich hatte in meiner Olympiadensucht vor einigen Jahren unter anderem eine riesige Menge alter Aufgaben der Klassenstufen 10 und 11-12 (Landesrunde und nationale Runde) gelöst, meistens Zahlentheorie, Kombinatorik und Funktionalgleichungen. Am Anfang hatte ich ein paar Lösungen zur Kontrolle auch ins Matheboard und auf den Matheplaneten geschrieben.
Davon könnte ich ja dann mal die Links raussuchen und auch meine Notizen zu den anderen Aufgaben rauskramen. Ich hatte aber die Jahrgänge nicht flächendeckend bearbeitet, sondern Aufgaben nach Interesse ausgewählt.


philippw
Senior
Dabei seit: 01.06.2005
Mitteilungen: 1091
Aus: Hoyerswerda
Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-22 12:13

2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Aufgabe 060932:
Beweisen Sie die folgende Behauptung:
Sind bei einem (nicht notwendigerweise regelmäßigen) Tetraeder ABCD die Umfänge aller seiner vier Seitenflächen untereinander gleich, dann sind diese Flächen zueinander kongruent.

060932
Der Umfang sei u, die Seitenlängen seinen a,b,c,d,e,f, sodass u=a+b+c=a+e+f=b+d+f=c+d+e. Addiere die ersten beiden Umfänge und ziehe die anderen beiden Umfänge ab, und wir erhalten: 0=u+u-u-u=a+b+c+a+e+f-b-d-f-c-d-e=2a-2d, also a=d. Analog erhält man b=e und c=f. Also haben alle vier Dreiecke Seiten mit Längen a, b und c. Dreiecke mit den gleichen Seitenlängen sind bekanntlich kongruent.


Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-22 12:35

Aufgabe 060933:
Beweisen Sie die folgende Behauptung:
In keinem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Hypotenuse kleiner als das \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)-fache der Summe der Kathetenlängen.
Nach Normierung der Hypotenuse auf 1 ist die Ungleichung $1\geq\frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)=\frac{1}{\sqrt{2}}(x+\sqrt{1-x^2})$ zu zeigen, wobei $x,y$ die Kathetenlängen bezeichnet ($x^2+y^2 = 1$). Aus $0\leq x \leq 1$ folgt $\sqrt{2}-x>0$ und $1-x^2\geq 0$. Somit gilt die folgende Äquivalenz.

$1\geq\frac{1}{\sqrt{2}}(x+\sqrt{1-x^2})\iff\\ (\sqrt{2}-x)^2 \geq 1-x^2 \iff\\ 0\geq-1 +2\sqrt{2}x -2x^2 = -2(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2\iff\\ 0\leq(x-\frac{1}{\sqrt{2}})^2$.

Die letzte Zeile ist für alle $x\in\IR$ wahr. q.e.d.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-22 12:56

Vielleicht hat der eine oder andere Lust und Freude dabei zu helfen. Außer einer ehrenvollen Erwähnung kann ich aber nichts bieten.

Mehr Aufgaben!!!  smile  smile  smile Bei diesen Aufgabentypen wirst Du hier - denke ich - reichlich fleißige Helfer finden.

zu Aufgabe 060932: Ich vermute, dass die Behauptung immer noch gilt, wenn nur gefordert wird, dass die 4 Umkreisradien gleich sind. Ein Beweis oder Gegenbeispiel würde mich interessieren.


Ehemaliges_Mitglied
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.9, eingetragen 2019-04-22 13:37



Aufgabe 020915

<math>
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={anchor=east}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=west}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %

\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\alpha$"
] {angle =B--A--C};
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$"
] {angle =C--B--A};
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\gamma$"
] {angle =A--C--B};


% Umreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Tangente in A
\draw[] (A) -- ($(A)!2 cm!90:(U)$) coordinate(Ya);
\draw[] (A) -- ($(A)!-\a cm!90:(U)$) coordinate(Xa);
% Tangente in B
\draw[] (B) -- ($(B)!\a cm!90:(U)$) coordinate[Punkt={below}{D}] (D);
\draw[] (B) -- ($(B)!-2cm!90:(U)$) coordinate(Xb);
% Tangente in C
\draw[] (C) -- ($(C)!3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Yc);
\draw[] (C) -- ($(C)!-3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Xc);
% Parallele durch D
\draw [name path=parallele] (D) -- +($2*(Xc)-2*(C)$) -- +($2*(Yc)-2*(C)$);

\draw[name path=AAs] (A) -- ($(C)!2.3*\a cm!(A)$);
\path[name intersections={of=parallele and AAs, name=As}] ;
\coordinate[Punkt={anchor=west}{A"}] (As) at (As-1);

\draw[name path=BBs] (B) -- ($(C)!1.5*\a cm!(B)$);
\path[name intersections={of=parallele and BBs, name=Bs}] ;
\coordinate[Punkt={below=3pt}{B"}] (Bs) at (Bs-1);

% Dreieck DAA"
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\gamma$", red, double,
] {angle =D--A--B};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$"
] {angle =As--A--D};

\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$", red, double,
] {angle =Xc--C--A}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\beta$", blue,
] {angle =D--As--A}; % Z-Winkel

% Dreieck DBB"
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\gamma$", red, double,
] {angle =A--B--D};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\alpha$",
] {angle =D--B--Bs};

\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,  "$\alpha$", red, double,
] {angle =B--C--Yc};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\alpha$", blue,
] {angle =B--Bs--D}; % Z-Winkel

% Seitenlngen
\path[] (As) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (A) -- (D) node[midway, right]{$x$};

\path[] (Bs) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (B) -- (D) node[midway, left]{$x$};


\draw[densely dashed] (D) circle[radius=\a];

%% Punkte
\foreach \P in {D,As, Bs,A,B,C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\node[below of=D, xshift=-10mm,
anchor=north west, align=left,
text width=1.2*\a cm, fill=black!1,
draw
]{Aus dem Sehnentangentenwinkelsatz (Sehnentangentenwinkel = Umfangswinkel) folgen zunchst die Sehnentangentenwinkel (rot eingezeichnet) bei  $A,\, B$ und $C$. \\
Die Winkel bei $A"$ und $B"$ folgen als Wechsel- bzw. Z-Winkel (blau eingezeichnet) der Winkel bei $C$. \\
Damit ist gezeigt, dass $DAA"$ und $DBB"$ gleichschenklige Dreiecke sind. \\[1em]
Haben die Schenkel im gleichschenkligen Dreieck $DAA"$ die Lnge $x$, so folgt durch Betrachtung des gleichschenkligen Dreieck $DBA$, dass auch das gleichschenklige Dreieck $DBB"$ Schenkel der Lnge $x$ hat. \\
Also haben die Punkte $A,B,A",B"$ alle samt von $D$ den selben Abstand, womit $D$ Mittelpunkt eines Kreises ist, der diese Punkte enthlt.
};
\end{tikzpicture}
</math>

LaTeX
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{5} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\coordinate[Punkt={anchor=east}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={anchor=west}{B}] (B) at (\c,0); 
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
 
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\alpha$"
] {angle =B--A--C}; 
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$"
] {angle =C--B--A}; 
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\gamma$"
] {angle =A--C--B}; 
 
 
% Umreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %  
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %    
 
\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); 
 
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %  
\draw[] (U) circle[radius=\R];
 
% Tangente in A
\draw[] (A) -- ($(A)!2 cm!90:(U)$) coordinate(Ya);
\draw[] (A) -- ($(A)!-\a cm!90:(U)$) coordinate(Xa);
% Tangente in B
\draw[] (B) -- ($(B)!\a cm!90:(U)$) coordinate[Punkt={below}{D}] (D);
\draw[] (B) -- ($(B)!-2cm!90:(U)$) coordinate(Xb);
% Tangente in C
\draw[] (C) -- ($(C)!3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Yc);
\draw[] (C) -- ($(C)!-3 cm!90:(U)$) coordinate[label=](Xc);
% Parallele durch D
\draw [name path=parallele] (D) -- +($2*(Xc)-2*(C)$) -- +($2*(Yc)-2*(C)$);
 
\draw[name path=AAs] (A) -- ($(C)!2.3*\a cm!(A)$);
\path[name intersections={of=parallele and AAs, name=As}] ;
\coordinate[Punkt={anchor=west}{A'}] (As) at (As-1); 
 
\draw[name path=BBs] (B) -- ($(C)!1.5*\a cm!(B)$);
\path[name intersections={of=parallele and BBs, name=Bs}] ;
\coordinate[Punkt={below=3pt}{B'}] (Bs) at (Bs-1); 
 
% Dreieck DAA'
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\gamma$", red, double, 
] {angle =D--A--B};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$"
] {angle =As--A--D}; 
 
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$", red, double,  
] {angle =Xc--C--A}; % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\beta$", blue, 
] {angle =D--As--A}; % Z-Winkel
 
% Dreieck DBB'
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\gamma$", red, double, 
] {angle =A--B--D};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\alpha$", 
] {angle =D--B--Bs};
 
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,  "$\alpha$", red, double, 
] {angle =B--C--Yc};  % Sehnentangentenwinkel
\draw pic [angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\alpha$", blue, 
] {angle =B--Bs--D}; % Z-Winkel
 
% Seitenlängen
\path[] (As) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (A) -- (D) node[midway, right]{$x$};
 
\path[] (Bs) -- (D) node[midway, right]{$x$};
\path[] (B) -- (D) node[midway, left]{$x$};
 
 
\draw[densely dashed] (D) circle[radius=\a];
 
%% Punkte
\foreach \P in {D,As, Bs,A,B,C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
\node[below of=D, xshift=-10mm, 
anchor=north west, align=left, 
text width=1.2*\a cm, fill=black!1,
draw
]{Aus dem Sehnentangentenwinkelsatz (Sehnentangentenwinkel = Umfangswinkel) folgen zunächst die Sehnentangentenwinkel (rot eingezeichnet) bei  $A,\, B$ und $C$. \\
Die Winkel bei $A'$ und $B'$ folgen als Wechsel- bzw. Z-Winkel (blau eingezeichnet) der Winkel bei $C$. \\
Damit ist gezeigt, dass $DAA'$ und $DBB'$ gleichschenklige Dreiecke sind. \\[1em]
Haben die Schenkel im gleichschenkligen Dreieck $DAA'$ die Länge $x$, so folgt durch Betrachtung des gleichschenkligen Dreieck $DBA$, dass auch das gleichschenklige Dreieck $DBB'$ Schenkel der Länge $x$ hat. \\
Also haben die Punkte $A,B,A',B'$ alle samt von $D$ den selben Abstand, womit $D$ Mittelpunkt eines Kreises ist, der diese Punkte enthält. 
};
\end{tikzpicture}
 
\end{document}




stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22 13:59

Vielen Dank für die vielen Lösungen. Auf euch ist eben Verlass.
Ich werde alles so schnell wie möglich aufnehmen.

@Kornkreis: Danke für das Angebot. Jede Lösung ist herzlich willkommen.
@TomTom134: Mehr Aufgaben? smile  Ich habe noch eine große Menge.

Aufgabe 060935:
Auf dem Kreis k bewegen sich der Punkt A mit der gleichförmigen Geschwindigkeit v1 und der Punkt B mit der gleichförmigen Geschwindigkeit v2, wobei \(v_1 \neq v_2\) ist.
Bewegen sich beide Punkte im gleichen Umlaufsinn (etwa im Uhrzeigersinn), so überholt der Punkt A den Punkt B jeweils nach 56 min. Bewegen sich beide Punkte in verschiedenem Umlaufsinn, so begegnen sie
einander jeweils nach 8 min. Dabei verringert bzw. vergrößert sich ihr auf der Kreislinie gemessener Abstand voneinander in je 24 s um 14 m.
a) Wie lang ist der Kreisumfang?
b) Wie groß sind die Geschwindigkeiten v1 und v2 (in m/min)?

Aufgabe 060936:
In einer Ebene sind ein Kreis k, eine Gerade g sowie ein Punkt A auf g gegeben.
Man konstruiere einen Kreis k', der erstens k berührt und zweitens g in A berührt. Man untersuche, wie viele solcher Kreise k' es bei den verschiedenen Lagemöglichkeiten von k, g und A geben kann.

Aufgabe 041034:
Von sechs Schülern einer Schule, die an der zweiten Stufe der Mathematikolympiade teilnahmen, erreichten zwei die volle Punktzahl. Die Schüler seien zur Abkürzung mit A, B, C, D, E und F bezeichnet.
Auf die Frage, welche beiden Schüler die volle Punktzahl erreicht haben, wurden die folgenden fünf verschiedenen Antworten gegeben:
(1) A und C,
(2) B und F,
(3) F und A,
(4) B und E,
(5) D und A.
Nun wissen wir, daß in genau einer Antwort beide Angaben falsch sind, während in den übrigen vier Antworten jeweils genau eine Angabe zutrifft.
Welche beiden Schüler erreichten die volle Punktzahl ?

Aufgabe 041031:
Ein Fußgänger geht (mit konstanter Geschwindigkeit) um 9.00 Uhr von A nach dem 12, 75 km entfernten B.
Auf der gleichen Straße fährt um 9.26 Uhr ein Straßenbahnzug von A nach B ab. Er überholt den Fußgänger um 9.36 Uhr und fährt nach 4 Minuten Aufenthalt in B wieder zurück. Dabei begegnet er dem Fußgänger um 10.30 Uhr.
a) Wieviel Kilometer legen der Fußgänger und der Straßenbahnzug durchschnittlich in der Stunde zurück?
b) In welcher Entfernung von A überholt der Straßenbahnzug den Fußgänger, und wo begegnet er ihm bei der Rückfahrt?

Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?

Aufgabe 041035:
Ist die folgende Aussage richtig?
Für alle ganzen Zahlen a und b gilt:
Wenn \(a^2+b^2\) durch 3 teilbar ist, dann sind auch a und b durch 3 teilbar.

Aufgabe 041036:
Ein regelmäßiges Tetraeder habe die Höhe h. Ein Punkt im Innern des Tetraeders habe von den Seitenflächen die Abstände a, b, c und d.
Man beweise: a + b + c + d = h!

Nochmals vielen Dank.
Steffen


Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
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Aus: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.11, eingetragen 2019-04-22 14:17

Hallo
Lösungsvorschlag für 060935 a)

fed-Code einblenden


gruß Caban


pzktupel
Aktiv
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Beitrag No.12, eingetragen 2019-04-22 14:36

Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?


Antwort : Nein, kann keine Quadratzahl sein....

Mein Vorschlag dazu:

Ausschlaggebend sind die 300 Einsen.

111....111 = (10^300-1)/9 , 10^300-1 müsste eine Quadratzahl ergeben

um Wurzel(10^300-1)/3 ganzzahlig bilden zu können. Da 10^300 eine Quadratzahl ist [(10^150)^2], ist um eins veringert dies keine mehr, da der Abstand zu nächsten kleineren QZ (2*10^150)-1 wäre.

Die Anzahl der Nullen wäre gerade und damit eine Potenz von 100.

Die Kurzdarstellung der Zahl ist also (10^300-1)*100^n / 9

Die Wurzel aus dieser, wie oben beschrieben, scheitert wegen 10^300-1

_________________________________

Aufgabe 041035:
Ist die folgende Aussage richtig?
Für alle ganzen Zahlen a und b gilt:
Wenn a2+b2 durch 3 teilbar ist, dann sind auch a und b durch 3 teilbar.

Ja, ist richtig.

Wir betrachten die Restklasse bei a MOD 3, diese sind 0,1,2
Betrachtet wird a=0 MOD 3 und b=0 MOD 3

I  (a+0)^2=a²   -> MOD 3 REST 0
II (a+1)=a²+2a+1-> MOD 3 REST 1,da a(a+2) Teiler 3 hat
III(a+2)=a²+4a+4-> MOD 3 REST 1,da a(a+4) Teiler 3 hat

analog für b

I  (b+0)^2=b²   -> MOD 3 REST 0
II (b+1)=b²+2b+1-> MOD 3 REST 1,da b(b+2) Teiler 3 hat
III(b+2)=b²+4b+4-> MOD 3 REST 1,da b(b+4) Teiler 3 hat

Man erkennt,nur für a MOD 3=0 und b MOD 3=0 ist die Addition von a²+b² durch 3 teilbar.







Ex_Senior
Neu
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Beitrag No.13, eingetragen 2019-04-22 14:48

@TomTom134: Mehr Aufgaben? :-)  Ich habe noch eine große Menge.
Das habe ich befürchtet. Es ist auf jeden Fall eine angenehme Abwechslung zu Dreiecken.

Da ich so vorlaut war:

Aufgabe 041032:
Die Zahl n hat die Quersumme 300. Da 300 durch 3 aber nicht durch 9 teilbar ist, gilt dieses auch für n. Daher kann n keine Quadratzahl sein.


Aufgabe 041035:
Wenn $a$ nicht durch 3 teilbar ist, hat a die Gestalt $3n+1$ oder $3n+2$. Durch quadrieren der Gleichungen sehen wir, dass $a^2$ dann in beiden Fällen die Gestalt $3m+1$ hat ($m=9n^2+6n$ oder $m=9n^2+12n$). Wenn $a$ und $b$ beide nicht durch 3 teilbar sind, hat $a^2+b^2$ die Gestalt $3N+2$. Wenn $a$ durch 3 teilbar und $b$ nicht durch 3 teilbar ist, hat $a^2+b^2$ die Gestalt $3N+1$. In beiden Fällen ist $a^2+b^2$ nicht durch 3 teilbar. Also folgt aus "$a^2+b^2$ durch 3 teilbar" bereits, dass $a$ und $b$ durch 3 teilbar sind.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]


Ex_Senior
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Beitrag No.14, eingetragen 2019-04-22 15:22

Aufgabe 041036:
Das Volumen des Tretraeders ist gegeben durch $V=\frac{1}{3}G\cdot h$, wobei $G$ die Grundfläche bezeichnet. Durch einen Punkt im inneren zerfällt der Tetraeder in 4 Teiltetraeder mit Grundfläche $G$ und den Höhen $a,b,c,d$. Da der ganze Tetraeder regelmäßig ist, haben alle 4 Teilteraeder ebenfalls die Grundfläche $G$. Es gilt die Gleichung $V=V_a+V_b+V_c+V_d$, wobei $V_*$ das Volumen der Teiltetraeder mit der entsprechenden Höhe ist. Nach anwenden der Volumenformel erhalten wir
\[\frac{1}{3}G\cdot h=\frac{1}{3}G\cdot a+\frac{1}{3}G\cdot b+\frac{1}{3}G\cdot c+\frac{1}{3}G\cdot d\] und nach kürzen $h=a+b+c+d$.



stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
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Aus: Chemnitz
Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22 15:39

Hallo,
Danke für die weiteren Lösungen. Die Hilfe ist großartig.

Ich habe jetzt die Lösungen in einer Datei zusammengefasst.
siehe mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20525
Ich werde auch die nachfolgenden Lösungen ergänzen und die Datei ständig aktualisieren.

Im Moment steht als Name des Lösenden euer Matheplanet-Name. Selbstverständlich ändere ich dies gern auf euren richtigen Namen ab. Schreibt einfach eine PN.

Da ich euch nicht zu viel "einspannen" möchte, werde ich ab und an einmal einige neue Aufgaben nennen. Vielleicht nehme ich auch Aufgaben der 4.Stufe, also etwas anspruchsvollere.

Vielen Dank nochmals.
Steffen


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 1005
Aus: Thüringen,Erfurter Raum
Beitrag No.16, eingetragen 2019-04-22 16:02

@Steffen, bei meiner Lösung ist in Deiner Darstellung ein Fehler. Bei der einen Wurzel müsste eine 9 statt 3 im Nenner stehen...oder das Wurzelzeichen kleiner darstellen.

Sehr lobenswert, Deine Bemühungen !


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22 16:17

2019-04-22 16:02 - pzktupel in Beitrag No. 16 schreibt:
@Steffen, bei meiner Lösung ist in Deiner Darstellung ein Fehler.
Danke für den Hinweis. Ist korrigiert.

LG Steffen


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1415
Aus:
Beitrag No.18, eingetragen 2019-04-22 16:57

Huhu Steffen,

ich hoffe du hattest schöne Ostertage! Zu Aufgabe 041034:


Ein Anfang wäre es wohl Kandidat A zu betrachten, da dieser in 3 Aussagen vorkommt. Wenn A nun nicht volle Punktzahl hat, da muss von diesen 3 Aussagen eine mit beiden falschen Aussagen dabei sein. Wenn nun A und C beide falsch sind, dann müssten also F und D volle Punktzahl erhalten haben. Dann wären aber B und E beide leer ausgegangen, und somit hätten wir bei Aussage (4) wieder 2 verkehrte. Das funktioniert also nicht. Die gleiche Argumentation klappt auch für den Fall, dass A und F beide falsch sind und dass A und D beide falsch sind. A muss also volle Punktzahl erhalten haben und C, F und D nicht. Es fehlt dann also noch die Aussage, in der beide Angaben nicht stimmen. Nach Aussage (2) haben B und F volle Punktzahl erhalten und nach Aussage (4) B und E. B kann somit nicht volle Punktzahl erreicht haben, da in diesem Fall in beiden Aussagen eine Angabe richtig wäre. Somit hat B nicht volle Punktzahl erreicht. Dann hat E volle Punktzahl erreicht. Somit haben A und E volle Punktzahl erreicht.


Ich hoffe ich habe nichts übersehen. Ansonsten schiebe ich das einfach auf den Feiertag und das schöne Wetter!

Herzliche Grüße,

Küstenkind


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
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Aus:
Beitrag No.19, eingetragen 2019-04-22 17:03

2019-04-22 14:36 - pzktupel in Beitrag No. 12 schreibt:
Aufgabe 041032:
Eine ganze Zahl schreibt sich im Dezimalsystem mit 300 Einsen und einer Anzahl von Nullen am Ende der Zahl.
Kann diese Zahl eine Quadratzahl sein?


Antwort : Nein, kann keine Quadratzahl sein....

Mein Vorschlag dazu:

Ausschlaggebend sind die 300 Einsen.

111....111 = (10^300-1)/9 , 10^300-1 müsste eine Quadratzahl ergeben

um Wurzel(10^300-1)/3 ganzzahlig bilden zu können. Da 10^300 eine Quadratzahl ist [(10^150)^2], ist um eins veringert dies keine mehr, da der Abstand zu nächsten kleineren QZ (2*10^150)-1 wäre.

Die Anzahl der Nullen wäre gerade und damit eine Potenz von 100.

Die Kurzdarstellung der Zahl ist also (10^300-1)*100^n / 9

Die Wurzel aus dieser, wie oben beschrieben, scheitert wegen 10^300-1
Diese Lösung ist unvollständig. Es müsste auch noch der Fall betrachtet werden, in dem die Anzahl der Nullen ungerade ist. Ich sehe auf Anhieb keine Möglichkeit diese Lücke zu reparieren, die nicht auf Betrachtung des Rests modulo 9 hinausläuft (siehe TomTom314s Lösung). Vielleicht hat jemand eine andere Idee.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
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Aus: Thüringen,Erfurter Raum
Beitrag No.20, eingetragen 2019-04-22 17:12

Ok, Ergänzung.

Wenn die Anzahl der Nullen ungerade ist, dann folgt 100^n*10, n>0, n Element N

Die Wurzel aus 100^n*10 ist 10^n*Wurzel(10). Wurzel(10) ist kein natürlicher Wert, somit kommen nur gerade Anzahlen als Nullen in Betracht.

Nun noch die eine Null der (10^300-1)/9 zuweisen.

Dann ergibt sich 111...1110 , also (10^301-10)/9,
es müsste (10^301-10)=10*(10^300-1) eine Quadratzahl sein, was es nicht ist.
Eine Nicht-QZ mit 10 multipliziert ergibt nie eine QZ, außer 10 selbst.


Ex_Senior
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Dabei seit: 00.00.0000
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Aus:
Beitrag No.21, eingetragen 2019-04-22 17:20

Macht es euch doch nicht so schwer:

Die Zahl hat Quersumme 300, ist also durch 3, aber nicht 9 teilbar, und also keine Quadratzahl...

Cyrix


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
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Aus:
Beitrag No.22, eingetragen 2019-04-22 17:21
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-04-22 17:12 - pzktupel in Beitrag No. 20 schreibt:
Ok, Ergänzung.

Wenn die Anzahl der Nullen ungerade ist, dann folgt 100^n*10, n>0, n Element N

Die Wurzel aus 100^n*10 ist 10^n*Wurzel(10). Wurzel(10) ist kein natürlicher Wert, somit kommen nur gerade Anzahlen als Nullen in Betracht.
Das reicht auch nicht, du müsstest zeigen, dass $11\ldots 10$ (300 Einsen) keine Quadratzahl ist.
Aber ich sehe jetzt, wie man das retten kann: $11\ldots 10$ ist durch 10 aber nicht durch 100 teilbar.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.20 begonnen.]
\(\endgroup\)

Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1630
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Beitrag No.23, eingetragen 2019-04-22 17:24

2019-04-22 17:20 - cyrix in Beitrag No. 21 schreibt:
Macht es euch doch nicht so schwer:

Die Zahl hat Quersumme 300, ist also durch 3, aber nicht 9 teilbar, und also keine Quadratzahl...

Cyrix
Dessen bin ich mir bewusst. Aber eine unvollständige Lösung so stehen zu lassen (insbesondere da stpolster sie schon übernommen hatte) wäre ja wohl schlimmer als diese zu reparieren.


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
Mitteilungen: 1005
Aus: Thüringen,Erfurter Raum
Beitrag No.24, eingetragen 2019-04-22 17:26

Das mit der Quersumme verstehe ich nicht !

Was ist mit dem Fall 111111111 ?? Ist auch keine QZ.
196 ist QZ mit Quersumme 16. 16 MOD 9<>0

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.22 begonnen.]


Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.25, eingetragen 2019-04-22 17:29

Überlege kurz, wie man die Quersumme einer Zahl berechnet, was diese über deren Teilbarkeit durch 3 bzw. 9 aussagt, und warum eine Zahl, die durch 3 aber nicht 9 teilbar ist, keine Quadratzahl sein kann.

btw: TomTom314 hatte diese Lösung schon oben gepostet.

Cyrix


pzktupel
Aktiv
Dabei seit: 02.09.2017
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Beitrag No.26, eingetragen 2019-04-22 17:43

2019-04-22 17:29 - cyrix in Beitrag No. 25 schreibt:
Überlege kurz, wie man die Quersumme einer Zahl berechnet, was diese über deren Teilbarkeit durch 3 bzw. 9 aussagt, und warum eine Zahl, die durch 3 aber nicht 9 teilbar ist, keine Quadratzahl sein kann.

btw: TomTom314 hatte diese Lösung schon oben gepostet.

Cyrix

Okay verstehe.
Eine Zahl n MOD 3<>0 ist deren Quadrat nie durch 3 teilbar.
Eine Zahl n MOD 3=0 ist deren Quadrat durch 9 teilbar.
Wenn 3|Quersumme ( Regel für Teilbarkeit 3) bei einer Zahl vorliegt ist dessen Quadrat durch 9 und 3 teilbar.
Da QS=300, müsste dessen QS der Wurzel auch durch 3 teilbar sein...was im Quadrat dieser wieder die Teilbarkeit von 9 nach sich zieht.
Das liegt aber nicht vor wegen 300 MOD 9<>0


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22 18:23
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-04-22 17:21 - Nuramon in Beitrag No. 22 schreibt:
Aber ich sehe jetzt, wie man das retten kann: $11\ldots 10$ ist durch 10 aber nicht durch 100 teilbar.
Ich ergänze die Lösung durch:

Im Fall, dass die Anzahl der Nullen nach den 300 Einsen ungerade ist, kann ebenso keine Quadratzahl entstehen.
Liegt 11...10 vor, so ist die Zahl durch 10 aber nicht durch 100 teilbar und kein Quadrat. Liegen mehr als eine Null, aber ungeradzahlig viele vor, so hat die Zahl die Form
\[
11...10\cdot 10^{2k} ; k \in Z
\] und deren Quadratwurzel die Gestalt $\sqrt{11...10} \cdot 10^k$ und ist damit keine Quadratzahl.

Dann müsste es vollständig sein.
LG Steffen
\(\endgroup\)

stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22 18:35

Ich habe noch ein paar Aufgaben der Klassenstufe 12.

Aufgabe 041221:
Von einem Würfel mit der Kantenlänge a werden alle Ecken durch ebene Schnitte so abgetrennt, dass aus allen Seitenflächen des Würfels kongruente regelmäßige Vielecke entstehen.
Es ist der Rauminhalt des Restkörpers zu berechnen. Unterscheiden Sie die folgenden Fälle!
a) Es entstehen regelmäßige Vierecke.
b) Es entstehen regelmäßige Achtecke.
b) Gibt es noch andere Möglichkeiten?

Aufgabe 041225:
In einem spitzwinkligen Dreieck ABC ist der Punkt P zu konstruieren, von dem aus alle Seiten des Dreiecks unter gleich großen Winkeln erscheinen (d.h. \(\angle BPA = \angle CPB = \angle CPA\) ).

Aufgabe 041226:
Bestimmen Sie in der xy-Ebene die Menge aller Punkte, deren Koordinaten den beiden Ungleichungen
\(x^2 + y^2 < r^2\) und \(| y − x | > \frac{r}{2}\)
genügen (r > 0)!


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1415
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Beitrag No.29, eingetragen 2019-04-22 19:58

2019-04-22 18:35 - stpolster in Beitrag No. 28 schreibt:
Aufgabe 041225:
In einem spitzwinkligen Dreieck [...]

Kotz...



Küstenkind


Ehemaliges_Mitglied
Neu
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Aus:
Beitrag No.30, eingetragen 2019-04-22 22:03

2019-04-22 18:35 - stpolster in Beitrag No. 28 schreibt:
Aufgabe 041225:
In einem spitzwinkligen Dreieck ABC ist der Punkt P zu konstruieren, von dem aus alle Seiten des Dreiecks unter gleich großen Winkeln erscheinen (d.h. \(\angle BPA = \angle CPB = \angle CPA\) ).

Es handelt sich um den 1. Fermat-Punkt.
Diesen erhält man, indem man über allen Dreiecksseiten gleichseitige Dreiecke konstruiert; und die neu enstandenen Ecken <math>A_1, B_1, C_1</math> mit den gegenüberliegenden Ecken <math>A, B, C</math> des Ausgangsdreiecks verbindet.

Zum Beweis, dass es sich um das isogonische Zentrum handelt betrachten wir ein Teildreieck <math>ACB_1</math>, dessen Umkreis mit Zentrum <math>U_1</math> und das Poly-Drachenviereck <math>AF_1CB_1.</math>

Dabei nutzen wir, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der Umfangswinkel (Kreiswinkelsatz).
(Das kann man alles noch etwas genauer ausführen...)

Die Überlegung für die anderen Teildreiecke verläuft analog.


<math>
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{4.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{4} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Kreis/.style={overlay,
draw=none},
]

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %

% Rahmen
\clip[] ([shift={(-\b-1,1)}]C) rectangle ([shift={(\c,-\c)}]B);

% Fermat-Punkt F1
\draw[name path=kreisAb, Kreis] (A) circle[radius=\b];
\draw[name path=kreisCb, Kreis] (C) circle[radius=\b];
\path[name intersections={of=kreisAb and kreisCb, name=B1}];
\coordinate[Punkt={left}{B_1}] (B1) at (B1-1);
\draw[] (B1) -- (B);
\draw[] (B1) -- (A) -- (C) --cycle;

\draw[name path=kreisBa, Kreis] (B) circle[radius=\a];
\draw[name path=kreisCa, Kreis] (C) circle[radius=\a];
\path[name intersections={of=kreisBa and kreisCa, name=A1}];
\coordinate[Punkt={above}{A_1}] (A1) at (A1-1);
\draw[name path=A1A] (A1) -- (A);
\draw[] (A1) -- (B) -- (C) --cycle;

\draw[name path=kreisAc, Kreis] (A) circle[radius=\c];
\draw[name path=kreisBc, Kreis] (B) circle[radius=\c];
\path[name intersections={of=kreisAc and kreisBc, name=C1}];
\coordinate[Punkt={below}{C_1}] (C1) at (C1-2);
\draw[name path=C1C] (C1) -- (C);
\draw[] (C1) -- (A) -- (B) --cycle;

\path[name intersections={of=A1A and C1C, name=F}];
\coordinate[Punkt={right=4pt}{F_1}] (F) at (F-1);

% Umkreis um ACB1
\path[name path=AC] (A) -- (C);
\path[name path=B1L] (B1) -- ($(A)!(B1)!(C)$);
\path[name intersections={of=B1L and AC, name=L}];
\coordinate[Punkt={below}{}] (L) at (L-1);

\pgfmathsetmacro{\k}{2/3} %
\path[draw=none] (B1) -- ($(B1)!\k!(L)$) coordinate[Punkt={above}{U_1}] (U);
\pgfmathsetmacro{\R}{sqrt(3)*\b/3} %
\draw[densely dashed] (U) circle[radius=\R];

\draw[densely dashed] (U) -- (C);
\draw[densely dashed] (U) -- (A);


%%% Punkte
\foreach \P in {F,U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);


% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=7mm,  angle eccentricity=1.5,
red, %"$60^\circ$",
pic text={$60^\circ$}, pic text options={yshift=2mm},
] {angle =A--B1--C};
\draw pic [draw, angle radius=4mm,  angle eccentricity=1.8,
red, double, %"$2\cdot 60^\circ$",
pic text={$2\cdot 60^\circ$}, pic text options={xshift=3mm, yshift=2mm},
] {angle =A--U--C};

\draw pic [draw, angle radius=4mm,  angle eccentricity=1.8,
red, double, %"$2\cdot 60^\circ$",
pic text={$120^\circ$}, pic text options={xshift=3mm, yshift=2mm},
] {angle =C--F--A};




% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,xshift=39mm}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
PosUnten,
%PosLinks,
]{
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm}  &  \\
b = \b \text{ cm}  & (1) \\
c = \c \text{ cm}  & (3) \\
\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\end{array}$
};


%% Punkte
\foreach \P in {F}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\end{tikzpicture}
</math>

LaTeX
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
 
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{4.5} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{5} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{4} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Kreis/.style={overlay, 
draw=none}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); 
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % 
 
% Rahmen
\clip[] ([shift={(-\b-1,1)}]C) rectangle ([shift={(\c,-\c)}]B);
 
% Fermat-Punkt F1
\draw[name path=kreisAb, Kreis] (A) circle[radius=\b]; 
\draw[name path=kreisCb, Kreis] (C) circle[radius=\b]; 
\path[name intersections={of=kreisAb and kreisCb, name=B1}];
\coordinate[Punkt={left}{B_1}] (B1) at (B1-1); 
\draw[] (B1) -- (B);
\draw[] (B1) -- (A) -- (C) --cycle;
 
\draw[name path=kreisBa, Kreis] (B) circle[radius=\a]; 
\draw[name path=kreisCa, Kreis] (C) circle[radius=\a]; 
\path[name intersections={of=kreisBa and kreisCa, name=A1}];
\coordinate[Punkt={above}{A_1}] (A1) at (A1-1); 
\draw[name path=A1A] (A1) -- (A);
\draw[] (A1) -- (B) -- (C) --cycle;
 
\draw[name path=kreisAc, Kreis] (A) circle[radius=\c]; 
\draw[name path=kreisBc, Kreis] (B) circle[radius=\c]; 
\path[name intersections={of=kreisAc and kreisBc, name=C1}];
\coordinate[Punkt={below}{C_1}] (C1) at (C1-2); 
\draw[name path=C1C] (C1) -- (C);
\draw[] (C1) -- (A) -- (B) --cycle;
 
\path[name intersections={of=A1A and C1C, name=F}];
\coordinate[Punkt={right=4pt}{F_1}] (F) at (F-1); 
 
% Umkreis um ACB1
\path[name path=AC] (A) -- (C);
\path[name path=B1L] (B1) -- ($(A)!(B1)!(C)$);
\path[name intersections={of=B1L and AC, name=L}];
\coordinate[Punkt={below}{}] (L) at (L-1); 
 
\pgfmathsetmacro{\k}{2/3} %  
\path[draw=none] (B1) -- ($(B1)!\k!(L)$) coordinate[Punkt={above}{U_1}] (U);
\pgfmathsetmacro{\R}{sqrt(3)*\b/3} %  
\draw[densely dashed] (U) circle[radius=\R];
 
\draw[densely dashed] (U) -- (C);
\draw[densely dashed] (U) -- (A); 
 
 
%%% Punkte
\foreach \P in {F,U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
 
% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=7mm,  angle eccentricity=1.5,
red, %"$60^\circ$", 
pic text={$60^\circ$}, pic text options={yshift=2mm}, 
] {angle =A--B1--C};
\draw pic [draw, angle radius=4mm,  angle eccentricity=1.8,
red, double, %"$2\cdot 60^\circ$", 
pic text={$2\cdot 60^\circ$}, pic text options={xshift=3mm, yshift=2mm}, 
] {angle =A--U--C};
 
\draw pic [draw, angle radius=4mm,  angle eccentricity=1.8,
red, double, %"$2\cdot 60^\circ$", 
pic text={$120^\circ$}, pic text options={xshift=3mm, yshift=2mm}, 
] {angle =C--F--A};
 
 
 
 
% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,xshift=39mm}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
PosUnten,
%PosLinks,
]{
$\begin{array}{l l}
a = \a \text{ cm}  &  \\
b = \b \text{ cm}  & (1) \\
c = \c \text{ cm}  & (3) \\
\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
\end{array}$
};
 
 
%% Punkte
\foreach \P in {F}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
\end{tikzpicture}
 
 
\end{document}







stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-22 22:21

Ich habe jetzt in den Start des Threads die noch offenen Aufgaben gesetzt.
Ich werde jeweils 6 Aufgaben dort aufnehmen und entsprechend erneuern.
Den Link zur PDF-Datei mit euren Lösungen setze ich auch in den 1.Thread.

Danke an alle für die vielen schon eingegangenen Lösungen.
Ihr seid toll.

LG Steffen


ZePhoCa
Aktiv
Dabei seit: 15.09.2010
Mitteilungen: 245
Aus:
Beitrag No.32, eingetragen 2019-04-22 22:59

Aufgabe 040935:

Zunächst lässt sich aus den Aussagen von Inge, Monika und Peter jeweils konkret eine Zahl mit den üblichen Formeln für Flächeninhalte etc. bestimmen:

Inge: $1/\pi$
Monika: $2 \sqrt{2}$
Peter: $\sqrt{3}$

Jetzt kommt es darauf an, wie die Aussage von Klaus, "Die Zahl ist durch 4 ohne Rest teilbar." gemeint ist. Natürlich ist jede reelle Zahl ohne Rest durch 4 teilbar, wenn der Komplementärteiler eine reelle Zahl sein darf. In dem Fall wäre aber die Aufgabe nicht eindeutig lösbar (sowohl $2 \sqrt{2}$ als auch $\sqrt{3}$ wären dann mögliche Lösungen). Es wird also gemeint sein "Die Zahl ist ein ganzzahliges Vielfaches von 4". Das trifft auf keine der obigen Zahlen zu und kann auch nicht sein, wenn die Zahl irrational ist. Damit ist diese Aussage falsch, die Aussage von Inge muss also stimmen, und die Aussagen von Günter und Bärbel treffen hier ebenfalls zu, die gesuchte Zahl ist also $1/\pi$.


ZePhoCa
Aktiv
Dabei seit: 15.09.2010
Mitteilungen: 245
Aus:
Beitrag No.33, eingetragen 2019-04-23 00:04

Aufgabe 060936: (Die Lösung ist etwas kompliziert, vll findet ja jemand etwas leichteres/eleganteres)

Wir geben zunächst eine Konstruktionsvorschrift für den Mittelpunkt $M$ von $k'$ an falls $A$ nicht auf $g$ liegt und untersuchen dann, wieviele Möglichkeiten es gibt.

Wir konstruieren zunächst die zu $g$ senkrechte Gerade $h$ durch den Mittelunkt von $k$. Wir verschieben nun $g$ entlang dieser senkrechten um den Radius von $k$. Wir konstruieren nun die Orstlinie aller Punkte, die von der verschobenen Gerade und dem Mittelpunkt denselben Abstand haben. Dies ist eine Parabel, die symmetrisch bzgl. $h$ ist. Damit $k'$ nicht nur $g$ berührt, sondern dies auch in $A$ tut, konstruieren wir die zu $g$ senkrechte Gerade $l$ durch $A$. Weil $l$ zu $h$ parallel ist, hat diese genau einen Schnittpunkt mit der oben konstruierten Parabel. Dieser Schnittpunkt ist Mittelpunkt eines gewünschten Kreises (denn der Abstand von $M$ zum Mittelpunkt von $k$ ist gleich dem Abstand von $M$ zu $A$ plus dem Radius des Kreises $k$).

Nun zum eigentlichen Beweis. Wir unterscheiden drei Fälle:

1) $g$ ist Passante von $k$. Dann kann $k'$ sowohl $g$ als auch $k$ nur dann berühren, wenn $k'$ in der selben Halbebene bzgl. $g$ liegt wie $k$. Der Mittelpunkt $M$ von $k'$ muss außerdem auf einer zu $g$ senkrechten Geraden durch $A$ liegen, damit $k'$ die Gerade $g$ in $A$ berührt. Es gibt nun zwei prinzipielle Möglichkeiten, wie sich $k$ und $k'$ berühren können: Äußerlich (dann muss der Abstand von $M$ zum Mittelpunkt von $k$ gleich dem Abstand von $M$ zu $A$ plus dem Radius des Kreises $k$ sein) oder innerlich (dann muss der Abstand von $M$ zum Mittelpunkt von $k$ gleich dem Abstand von $M$ zu $A$ minus dem Radius des Kreises $k$ sein). Beide Fällen treten genau je einmal auf (für das äußerliche Berühren zeigt das die Konstruktion von oben, dass innerliche Berühren lässt sich analog begründen, hier muss nur $g$ zu Beginn anders verschoben werden), es gibt also genau zwei Möglichkeiten für $k'$.

2) $g$ ist Tangente an $k$. Ist $A$ der Berührpunkt von $k$ und $g$, so gibt es unendliche viele Möglichkeiten für $k'$ (jeder Kreis der $g$ in $A$ berührt berührt auch $k$). Ist $A$ nicht der Berührpunkt von $k$ und $g$, so gibt es genau eine Möglichkeite für $k$: Es gibt nämlich theoretisch wieder die Fälle des inneren und äußeren Berührens wie oben, das äußere Berühren tritt genau einmal auf, dass innere Berühren jedoch nicht, denn hier liegt $A$ auf der verschobenen Gerade, die konstruierte Ortslinie ist hier eine Senkrechte durch den Mittelpunkt von $k$ und diese hat mit der Senkrechten zu $g$ durch $A$ keinen Schnittpunkt.

3) $g$ ist Sekante an $k$. Ist $A$ einer der Schnittpunkte von $k$ und $g$ so gibt es keine Möglichkeit für $k'$ (denn jeder Kreis, der $g$ in $A$ berührt schneidet $k$ in $A$). Liegt $A$ außerhalb von $k$, so gibt es genau zwei Möglichkeiten (hier kann nämlich, anders als in Fall 1, der Kreis $k'$ in einer beliebigen Halbebene bzgl $g$ liegen, da $A$ außerhalb von $k$ liegt ist aber nur äußeres Berühren möglich). Analog dazu gibt es im Fall, dass $A$ in $k$ liegt auch genau zwei Möglichkeiten.


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23 08:15

@ZephoCa: Danke. Beide Lösungen eingetragen.

Zwei neue Aufgaben sind verfügbar.
Die neu gelösten Aufgaben habe ich im ersten Beitrag nach hinten verschoben, damit man die Lösungen weiterhin der Aufgabenstellung zuordnen kann.
 
LG Steffen


Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 487
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.35, eingetragen 2019-04-23 10:31

Hallo

Lösung für Aufgabe 041226, durch eine Skizze erhalten.

Die gesuchte Fläche sind zwei Kreissegmente des Kreises mit dem Radius r und mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt M. Die Sehne des ersten Kreissegments liegt auf der Gerade y=x+r/2 und das Segment liegt oberhalb dieser Geraden. Die Sehne des zweiten Segments liegt auf der ersten Winkelhalbierenden, das Segment liegt unterhalb.

Gruß Caban.


Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.36, eingetragen 2019-04-23 15:09

zu 041042:

Wir unterscheiden zwei Fälle.

1. Fall: <math>x>0</math>. Dann ist die zu betrachtende Ungleichung äquivalent zu <math>x^2-2p^2<2px</math> bzw. <math>(x^2-2px+p^2)<3p^2</math>, also <math>(x-p)^2<3p^2</math> und damit <math>-\sqrt{3}p<x-p<\sqrt{3}p</math> bzw. <math>(1-\sqrt{3})p<x<(1+\sqrt{3})p</math>. Dabei fallen die Lösungen mit <math>x\leq 0</math> aufgrund der Fallannahme weg, und es bleibt (wegen <math>p<0</math>) die Lösungsmenge <math>\{x| 0<x<(1+\sqrt{3})p\}</math> für diesen Fall.

2. Fall: Sei nun <math>x<0</math>. (Es ist <math>x=0</math> nicht Teil des Definitionsbereichs der in der zu betrachtenden Ungleichung auftretenden Terme.) Dann ist die zu betrachtende Ungleichung diesmal äquivalent zu <math>x^2-2p^2>2px</math>, was sich analog äquivalent umformen lässt zu <math>(x-p)^2>3p^2</math> bzw. (<math>x-p<-\sqrt{3}p</math> oder <math>x-p>\sqrt{3}p</math>) und damit (<math>x<(1-\sqrt{3})p</math> oder <math>x>(1+\sqrt{3})p</math>). Der zweite Teil entfäält aufgrund der Fallannahme, sodass die Lösungsmenge für diesen Fall <math>\{x| x<(1-\sqrt{3})p\}</math> lautet.

Zusammen ergibt sich also in Abhängigkeit vom Parameter <math>p>0</math> folgende Lösungsmenge:

<math>\{x\in \mathbb{R}| x<(1-\sqrt{3})p \vee 0<x<(1+\sqrt{3})p\}.</math>

Cyrix


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
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Aus: Chemnitz
Beitrag No.37, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23 15:11

Hallo,
ich habe den Text mit den gelösten Ausgaben noch einmal geändert und dabei vor allem die Aufgabenstellungen mit eingefügt. So muss man keinen zweiten Text dazuladen.

LG Steffen

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.35 begonnen.]


Ehemaliges_Mitglied
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.38, eingetragen 2019-04-23 20:21

2019-04-22 22:21 - stpolster in Beitrag No. 31 schreibt:
Ich habe jetzt in den Start des Threads die noch offenen Aufgaben gesetzt.
Ich werde jeweils 6 Aufgaben dort aufnehmen und entsprechend erneuern.
Den Link zur PDF-Datei mit euren Lösungen setze ich auch in den 1.Thread.

Ich fände irgendeine Art der Sortierung der Aufgaben gut.
Am einfachsten könnte die Ergänzung von Randnotizen sein.
Beispiel:



LaTeX
latex
\documentclass[open=any]{scrreprt}
%\usepackage{showframe}
\def\Randbreite{3cm}
\def\Randnotizbreite{22mm}
 
\usepackage[left=\Randbreite, right=\Randbreite, % Beispiel
]{geometry}
 
\newcommand\Links[1]{\reversemarginpar\marginpar[%
\parbox{\Randnotizbreite}{\sffamily\bfseries\small #1}
]{}}
 
\newcommand\Rechts[1]{\marginpar{%
\parbox[t]{\Randnotizbreite}{\sffamily\bfseries\footnotesize #1}
}\normalmarginpar}
 
\newcommand\note[1]{\marginpar{
\parbox[l][][l]{1.0cm}{\sffamily\bfseries\footnotesize #1}
}}
 
\begin{document}
Aufgabe aus dem Bereich Geometrie. \Links{Geometrie Dreieck konstruieren}
 
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip
Aufgabe aus dem Bereich Zahlentheorie. \Rechts{Zahlentheorie}
 
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip
Aufgabe aus dem Bereich Algebra. \Links{Algebra}
\end{document}



Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1415
Aus:
Beitrag No.39, eingetragen 2019-04-23 20:56

Aufgabe 041031:

Diese Aufgabe ist wirklich sehr einfach. War die wirklich so in einer Olympiade? Ich schreibe nur einen Ansatz:


Sei \(v_1\) die Geschwindigkeit des Fußgängers und \(v_2\) die Geschwindigkeit der Straßenbahn. Sei \(s_1\) die Strecke von A zum ersten Treffpunkt und \(s_2\) die Strecke von B bis zum zweiten Treffpunkt. Dann gilt:

\(\displaystyle (1):\quad v_1=\frac{s_1}{36}=\frac{12,75-s_2}{90}\)

\(\displaystyle (2):\quad v_2=\frac{s_1}{10}=\frac{12,75+s_2}{60}\)

Die Lösungen für dieses LGS sind \(s_1=3\) und \(s_2=5,25\)

Damit:

\(v_1=\frac{3\text{km}}{\frac{3}{5}\text{h}}=5\frac{\text{km}}{\text{h}}\)

\(v_2=\frac{12,75\text{km}+5,25\text{km}}{1\text{h}}=18\frac{\text{km}}{\text{h}}\)

Nun ist es doch mehr geworden als ein Ansatz, aber egal.


Gruß,

Küstenkind

@Steffen: Ich möchte nicht namentlich genannt werden. Kannst du bitte meinen Namen entfernen, falls du das online stellst? Danke!


Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.40, eingetragen 2019-04-23 21:00

@Küstenkind: Das war eine erste Aufgabe (Landesrunde, aber dennoch). Die sollte also "für das gute Gefühl", als Punktelieferant zum "reinkommen" dienen. Deshalb so einfach, ja. (In der Oberstufde findet sich an der Stelle häufiger irgendeine Betrags-Gleichung/ Ungleichung.)

Viele Grüße
Christian


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1415
Aus:
Beitrag No.41, eingetragen 2019-04-23 21:22

Ah - Ok. Macht Sinn, so versuche ich auch immer meine Arbeiten zu konzipieren. Danke für die Info!

Herzliche Grüße nach Flensburg!

Küstenkind



stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.42, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23 21:51

Danke für die neuen Lösungen.
Ich habe sie ergänzt und noch ein paar andere Lösungen hinzugefügt.

Die Idee, die Aufgaben themenweise zu sortieren ist gut. Ich werde sehen, was ich machen kann.

LG Steffen


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6050
Aus: Niedersachsen
Beitrag No.43, eingetragen 2019-04-23 21:59

Zu 041041:

Wir nehmen zunächst je ein Buch für 30M, 24M und 18M heraus. Es bleiben noch 27 Bücher für insgesamt 600M-30M-24M-18M = 528M.
27 Bücher für je 18M kosten zusammen 486M, es bleiben also noch 528M - 486M = 42M übrig, die dazu verwendet werden können, um statt der 18M-Bücher teurere Bücher zu kaufen.
Wir unterscheiden nun danach, wie viele Bücher zu 30M gekauft werden:
a) 4 oder mehr sind nicht möglich, da dies Mehrkosten von mindestens 48 Mark verursacht
b) 3 Bücher kosten 36 Mark zusätzlich, es bleiben noch 6 Mark, mit denen genau ein 18M Buch durch ein 24M-Buch ersetzt werden kann.
c) 2 Bücher zu 30M und drei Bücher zu 24M
d) 1 Buch zu 30M und fünf Bücher zu 24M
e) kein Buch zu 30M und sieben Bücher zu 24M

Insgesamt ergeben sich vier Möglichkeiten
30M 24M 18M
 4   2  24
 3   4  23
 2   6  22
 1   8  21

Eine Probe bestätigt, dass in allen vier Fällen die Bedingungen der Aufgabe erfüllt sind.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.37 begonnen.]


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5174
Aus: Milchstraße
Beitrag No.44, eingetragen 2019-04-23 22:29

2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Aufgabe 041041:
Die 30 Preisträger eines Schülerwettbewerbs sollen mit neu herausgegebenen Fachbüchern prämiert werden. Es stehen drei verschiedene Sorten von Büchern im Wert von 30 M, 24 M bzw. 18 M zur Verfügung. Von jeder Sorte soll mindestens ein Buch gekauft werden.
Welche Möglichkeiten der Zusammenstellung gibt es, wenn für die Prämierung insgesamt 600 M zur Verfügung stehen, die ausgegeben werden sollen?

Es seien x, y und z die Anzahl der Bücher, die für 30 M, 24 M bzw. 18 M angeschafft werden. Dann soll gelten:
x + y + z = 30,
30x + 24y + 18z = 600.

Das ist äquivalent zu
x + y + z = 30,
5x + 4y + 3z = 100.

Subtrahiert man nun 3 Mal die erste Gleichung von der zweiten, ergibt sich
x + y + z = 30,
2x + y = 10.

Aus der zweiten Gleichung können nun die Lösungen für x und y unmittelbar abgelesen werden, nämlich:
(1) x=4 und y=2 oder
(2) x=3 und y=4 oder
(3) x=2 und y=6 oder
(4) x=1 und y=8.
(Beachte, dass x>0 und y>0 gelten soll.)

Aus der ersten Gleichung erhalten wir dann die Anzahl z und damit insgesamt vier mögliche Zusammenstellungen, das Geld auf die drei Bücher aufzuteilen:
(1) x=4 und y=2 und z=24 oder
(2) x=3 und y=4 und z=23 oder
(3) x=2 und y=6 und z=22 oder
(4) x=1 und y=8 und z=21.

Probe:
Bei (2) ergibt sich 3*30 + 4*24 + 23*18 = 600. Stimmt!


philippw
Senior
Dabei seit: 01.06.2005
Mitteilungen: 1091
Aus: Hoyerswerda
Beitrag No.45, eingetragen 2019-04-24 00:21

041044
Seien $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $AM=d$, $BM=e$, $CM=f$, $\angle CMA=\alpha$. Wir wollen
\[
a^2d^2+b^2e^2=c^2f^2
\] zeigen.

Nach Kosinussatz in den Dreiecken $AMC$ und $BMC$ gilt:

\[
b^2=d^2+f^2-2df\cos \alpha
\] und
\[
a^2=e^2+f^2-2ef\cos(180-\alpha)
\]
Wir multiplizieren die erste Gleichung mit $ce$ und die zweite mit $cd$ und addieren die Gleichungen. Durch $-\cos\alpha=\cos(180-\alpha)$ heben sich die zwei Kosinusterme auf, und es gilt:

\[b^2ce+a^2cd=d^2ce+f^2ce+e^2cd+f^2cd\]
Links setzen wir $c=d+e$ ein, rechts klammern wir $ced$ und $cf^2$ aus, dadurch gilt:

\[a^2d^2+b^2e^2+a^2de+b^2de=cde(d+e)+cf^2(d+e)\]
Das Dreieck ist rechtwinklig, also gilt der Satz des Pythagoras $a^2+b^2=c^2$. Rechts ersetzen wir (d+e) durch c, und erhalten schließlich:

\[a^2d^2+b^2e^2+c^2de=c^2de+c^2f^2\] \[
a^2d^2+b^2e^2=c^2f^2
\]



Ehemaliges_Mitglied
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.46, eingetragen 2019-04-24 01:59





<math>
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
\begin{document}

% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{2.2} %
\pgfmathsetmacro{\c}{4} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{
\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5);}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={left}{B}] (B) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=south west}{C}] (C) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (\Beta:\c);
\end{pgfonlayer}
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %

% Seiten
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, above]{$a$};
\draw[thick] (C) -- (A) node[midway, right]{$b$};
\path[] (B) -- (A) node[midway, right]{$c$};
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};

% Quadrat ber c = BB*
\path[] (B) -- ($(B)!\c cm!90:(A)$) coordinate[Punkt={anchor=south west, yshift=3pt}{B^*}] (Bq) ;
\path[] (A) -- ($(A)!\c cm!-90:(B)$) coordinate[Punkt={right}{A^*}] (Aq);
\draw[] (A) -- (B) -- (Bq) -- (Aq) --cycle; %
\path[] (B) -- (Aq) node[midway, fill=black!1]{$c^2$};

% Kongruententes Dreieck an Quadrat
\path[] (B) -- (Bq) node[midway, left]{$c$};
\draw[densely dashed] (Bq) --+ (0,-\a) node[midway, right]{$a$} coordinate[Punkt={anchor=north west}{B"}] (Bs)
-- (B) node[midway, left]{$b$};

% Parallelogramm unter a
\draw[densely dashed] (Bs) --+ (\a,0) coordinate[Punkt={anchor=north west}{C"}] (Cs)
-- (C)  node[midway, right]{$b$};
\draw pic [draw, angle radius=7mm,% angle eccentricity=1.6,
"$\gamma$",
] {angle =B--Bs--Bq};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, angle eccentricity=1.6,
"$90^\circ$-$\gamma$",
] {angle =Cs--Bs--B};
\path[] (B) -- (Cs) node[midway, red]{$A_P = h\cdot a$};

% Rechteck aus Parallelogramm
\draw[] (B) -- ($(Bs)!(B)!(Cs)$) coordinate[Punkt={anchor=south east}{P}] (P);
\draw[] (C) --+ ($(P)-(B)$) coordinate[Punkt={anchor=south east}{Q}] (Q) -- (P);
\path[] (P) -- (B) node[midway, left]{$h$};

% Verdopplung des Rechtecks
\pgfmathsetmacro{\h}{\b*cos(\Gamma)} %
\draw[] (P)
--++ (0,-\h)  coordinate[Punkt={anchor=north east}{R}] (R)
--++ (\a,0) coordinate[Punkt={anchor=north east}{S}] (S) -- (Q);
\path[] (R) -- (S) node[midway, above]{$a$};
\path[] (P) -- (R) node[midway, left]{$h$};


% Flchengleiches Dreieck an Gesamtrechteck
\draw[densely dashed] (S) --+ (0,-\a)
coordinate[Punkt={anchor=south east}{T}] (T)
node[midway, left]{$a$};
\Bogen[densely dashed]{S}{180}{270}{\a}

\pgfmathsetmacro{\r}{(2*\h+\a)/2} %
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\coordinate[Punkt={anchor=south west}{M}] (M) at ($(C)!0.5!(T)$);
\Bogen[densely dashed, name path=thales]{M}{-90}{90}{\r}

\draw[name path=hoehe] (S) --+ (1.1*\r,0);
\path[name intersections={of=thales and hoehe, name=X}];
\coordinate[Punkt={anchor=south west}{X}] (X) at (X-1);

\draw[] (S) -- (C);

\draw[densely dashed] (X) -- (C);
\draw[densely dashed] (X) -- (T);

\draw pic [draw, angle radius=4mm,% angle eccentricity=1.6,
"$\cdot$",
] {angle =C--X--T};
\end{pgfonlayer}

\begin{pgfonlayer}{foreground}
\draw[red] (B) -- (Bs) -- (Cs) -- (C) -- cycle;
\end{pgfonlayer}



% Flchengleiches Quadrat
\pgfmathsetmacro{\H}{sqrt(2*\h*\a)} %
%\draw[red] (S)-- ($(S)!\H cm!(X)$); % Test
\draw[thick, red, fill=pink] (X) --++ (0,\H) --++ (-\H,0) node[midway, below=3mm] {$A=2h\cdot a$} -- (S) --cycle;

%%% Punkte
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\foreach \P in {A,B,C,Aq, Bq,Bs,Cs,P,Q,R,S,M,T, X}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{pgfonlayer}

% Annotation
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\pgfmathsetmacro{\text}{\a+\h/cos(90-\Gamma)-1.5} %

\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\text cm, draw=gray, inner sep=1pt, xshift=\text cm+2.2cm,
] at (Aq){
\begin{enumerate}
\item Errichte das Quadrat ber $|AB|=c$.
\item Ergnze an der Quadratseite $BB^*$ das zum Dreieck $ABC$ kongruente Dreieck $B"BB^*$.
\item Bilde das Parallelogramm $B"C"CB$ aus den Seiten $|BB"|$ und $|BC|$; dieses hat den Flcheninhalt $A_P
= a\cdot h
= a b \sin(90^\circ-\gamma)
= a b \cos(\gamma)$.
\item Bilde aus dem Parallelogramm das flchengleiche Rechteck $PQCB$; verdopple das Rechteck zum Rechteck $RSCB$; dieses hat den Flcheninhalt $A = 2h \cdot a$.
\item Verlngere die Rechtecksseite $|CS|$ um $a = |RS|$, Endpunkt sei $T$.
\item Errichte ber der Strecke $|CT|$ den Thaleskreis (Mittelpunkt sei $M$).
\item Bestimme den Schnittpunkt derjenigen Geraden durch $|RS|$ mit dem Thaleskreis; der Schnittpunkt sei $X$.
\item Dann gilt fr das rechtwinklige Dreieck $CTX$ nach dem Hhensatz: Das Rechteck aus den Hhenabschnitten ($2h$ und $a$) der zur Hypothenuse gehrenden Hhe ist so gro wie das Quadrat ber der Hhe; mit anderen Worten: $
A= 2h \cdot a = 2 b \cos(\gamma) \cdot a = 2ab\cos(\gamma)$.
\end{enumerate}
};




\end{tikzpicture}
</math>

LaTeX
latex
\documentclass[margin=5mm, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
\begin{document}
 
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{5} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{2.2} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{4} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{
\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5);}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\coordinate[Punkt={left}{B}] (B) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={anchor=south west}{C}] (C) at (\a,0); 
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (\Beta:\c); 
\end{pgfonlayer}
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % 
 
% Seiten 
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, above]{$a$};
\draw[thick] (C) -- (A) node[midway, right]{$b$};
\path[] (B) -- (A) node[midway, right]{$c$};
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};
 
% Quadrat über c = BB*
\path[] (B) -- ($(B)!\c cm!90:(A)$) coordinate[Punkt={anchor=south west, yshift=3pt}{B^*}] (Bq) ;
\path[] (A) -- ($(A)!\c cm!-90:(B)$) coordinate[Punkt={right}{A^*}] (Aq);
\draw[] (A) -- (B) -- (Bq) -- (Aq) --cycle; % 
\path[] (B) -- (Aq) node[midway, fill=black!1]{$c^2$};
 
% Kongruententes Dreieck an Quadrat
\path[] (B) -- (Bq) node[midway, left]{$c$};
\draw[densely dashed] (Bq) --+ (0,-\a) node[midway, right]{$a$} coordinate[Punkt={anchor=north west}{B'}] (Bs)
-- (B) node[midway, left]{$b$};
 
% Parallelogramm unter a
\draw[densely dashed] (Bs) --+ (\a,0) coordinate[Punkt={anchor=north west}{C'}] (Cs)
-- (C)  node[midway, right]{$b$};
\draw pic [draw, angle radius=7mm,% angle eccentricity=1.6,
"$\gamma$",  
] {angle =B--Bs--Bq};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, angle eccentricity=1.6,
"$90^\circ$-$\gamma$",  
] {angle =Cs--Bs--B};
\path[] (B) -- (Cs) node[midway, red]{$A_P = h\cdot a$};
 
% Rechteck aus Parallelogramm
\draw[] (B) -- ($(Bs)!(B)!(Cs)$) coordinate[Punkt={anchor=south east}{P}] (P);
\draw[] (C) --+ ($(P)-(B)$) coordinate[Punkt={anchor=south east}{Q}] (Q) -- (P);
\path[] (P) -- (B) node[midway, left]{$h$};
 
% Verdopplung des Rechtecks
\pgfmathsetmacro{\h}{\b*cos(\Gamma)} %  
\draw[] (P)
 --++ (0,-\h)  coordinate[Punkt={anchor=north east}{R}] (R)
--++ (\a,0) coordinate[Punkt={anchor=north east}{S}] (S) -- (Q);
\path[] (R) -- (S) node[midway, above]{$a$};
\path[] (P) -- (R) node[midway, left]{$h$};
 
 
% Flächengleiches Dreieck an Gesamtrechteck
\draw[densely dashed] (S) --+ (0,-\a)
 coordinate[Punkt={anchor=south east}{T}] (T)
 node[midway, left]{$a$};
\Bogen[densely dashed]{S}{180}{270}{\a}
 
\pgfmathsetmacro{\r}{(2*\h+\a)/2} %  
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\coordinate[Punkt={anchor=south west}{M}] (M) at ($(C)!0.5!(T)$); 
\Bogen[densely dashed, name path=thales]{M}{-90}{90}{\r}
 
\draw[name path=hoehe] (S) --+ (1.1*\r,0);
\path[name intersections={of=thales and hoehe, name=X}];
\coordinate[Punkt={anchor=south west}{X}] (X) at (X-1); 
 
\draw[] (S) -- (C); 
 
\draw[densely dashed] (X) -- (C);
\draw[densely dashed] (X) -- (T);
 
\draw pic [draw, angle radius=4mm,% angle eccentricity=1.6,
"$\cdot$",  
] {angle =C--X--T};
\end{pgfonlayer}
 
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\draw[red] (B) -- (Bs) -- (Cs) -- (C) -- cycle;
\end{pgfonlayer}
 
 
 
% Flächengleiches Quadrat
\pgfmathsetmacro{\H}{sqrt(2*\h*\a)} %  
%\draw[red] (S)-- ($(S)!\H cm!(X)$); % Test
\draw[thick, red, fill=pink] (X) --++ (0,\H) --++ (-\H,0) node[midway, below=3mm] {$A=2h\cdot a$} -- (S) --cycle;
 
%%% Punkte
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\foreach \P in {A,B,C,Aq, Bq,Bs,Cs,P,Q,R,S,M,T, X}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{pgfonlayer}
 
% Annotation
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\pgfmathsetmacro{\text}{\a+\h/cos(90-\Gamma)-1.5} %  
 
\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\text cm, draw=gray, inner sep=1pt, xshift=\text cm+2.2cm, 
] at (Aq){
\begin{enumerate}
\item Errichte das Quadrat über $|AB|=c$.
\item Ergänze an der Quadratseite $BB^*$ das zum Dreieck $ABC$ kongruente Dreieck $B'BB^*$.
\item Bilde das Parallelogramm $B'C'CB$ aus den Seiten $|BB'|$ und $|BC|$; dieses hat den Flächeninhalt $A_P 
= a\cdot h 
= a b \sin(90^\circ-\gamma)
= a b \cos(\gamma)$.
\item Bilde aus dem Parallelogramm das flächengleiche Rechteck $PQCB$; verdopple das Rechteck zum Rechteck $RSCB$; dieses hat den Flächeninhalt $A = 2h \cdot a$. 
\item Verlängere die Rechtecksseite $|CS|$ um $a = |RS|$, Endpunkt sei $T$. 
\item Errichte über der Strecke $|CT|$ den Thaleskreis (Mittelpunkt sei $M$).
\item Bestimme den Schnittpunkt derjenigen Geraden durch $|RS|$ mit dem Thaleskreis; der Schnittpunkt sei $X$. 
\item Dann gilt für das rechtwinklige Dreieck $CTX$ nach dem Höhensatz: Das Rechteck aus den Höhenabschnitten ($2h$ und $a$) der zur Hypothenuse gehörenden Höhe ist so groß wie das Quadrat über der Höhe; mit anderen Worten: $
A= 2h \cdot a = 2 b \cos(\gamma) \cdot a = 2ab\cos(\gamma)$. 
\end{enumerate}
};
 
 
 
 
\end{tikzpicture}
 
 
\end{document}
 



Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6050
Aus: Niedersachsen
Beitrag No.47, eingetragen 2019-04-24 11:05

Aufgabe 041043:
Beweisen Sie folgende Behauptung!
Ist die Summe dreier natürlicher Zahlen durch 6 teilbar, dann ist auch die Summe der Kuben dieser drei Zahlen durch 6 teilbar.

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Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6050
Aus: Niedersachsen
Beitrag No.48, eingetragen 2019-04-24 11:25

Zum Thema Schwierigkeit der Aufgaben:

Meiner Einschätzung nach hat die Schwierigkeit der Aufgaben insbesondere in der Anfangszeit der Mathematikolympiade im Laufe der Zeit deutlich zugenommen.
In den frühen Olympiaden gab es einen höheren Anteil an Aufgaben, die allein mit "schulischem" Wissen lösbar waren. Insbesondere "Rechenaufgaben" kamen da noch häufiger vor.

Mit der Zeit sind die Fähigkeiten der Schüler und die Schwierigkeit der Aufgabe parallel zueinander gewachsen.
Aus meiner Sicht gab es auch in den (späten) Neunzigern nochmal einen deutlichen Schub (zumindest auf dem höheren Niveau), als durch das Internet viel mehr anspruchsvolle Aufgaben allgemein verfügbar wurden, in Foren diskutiert wurden usw.


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.49, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-24 12:11

2019-04-24 11:25 - Kitaktus in Beitrag No. 48 schreibt:
Meiner Einschätzung nach hat die Schwierigkeit der Aufgaben insbesondere in der Anfangszeit der Mathematikolympiade im Laufe der Zeit deutlich zugenommen.
In den frühen Olympiaden gab es einen höheren Anteil an Aufgaben, die allein mit "schulischem" Wissen lösbar waren. Insbesondere "Rechenaufgaben" kamen da noch häufiger vor.
Auf jeden Fall gilt dies bis etwa 2010, danach noch für die 3. und 4.Stufe. Die 1. und 2.Stufe sind seit einigen Jahren deutlich einfacher geworden.

Allerdings ist ein Vergleich mit den 1960er Jahren nicht ganz so einfach. Damals wurde mit aller Macht versucht, dass Niveau der Mathematikausbildung kontinuierlich zu verbessern. Die Zeitschrift "alpha" kam erst 1967 heraus und die außerunterrichtliche Förderung der Mathetalente wurde Schritt für Schritt aufgebaut. Ab etwa 1970 wurde es dann deutlich anspruchsvoller.

Meiner Meinung nach, ist das erhöhte Niveau sehr zu begrüßen, andernfalls wird Deutschland bei der IMO sonst noch weiter in der Länderliste abrutschen.
Leider wird die "normale" Schule in den nächsten Jahren immer weniger begabte Schüler fördern können. Ursache: akuter Lehrermangel in Ma/Phy/Che/Info. Die Förderung der Schüler wird massiv zusammengestrichen, da natürlich erst einmal der Unterricht abgedeckt werden muss.
Es wird wohl noch stärker auf die Universitäten und Hochschulen ankommen. Die TU Chemnitz kümmert sich z.B. schon jetzt um die "Supermathematiker" meines Gymnasiums.

LG Steffen

PS: Ich habe den PDF-Text noch einmal vollständig überarbeitet. Jetzt wird nach Klassenstufen sortiert.
Heute nachmittag werde ich noch einige "meiner" Lösungen (gemopst aus der "alpha") einfügen.
Auf jeden Fall ist die Unterstützung hier im Forum toll. Danke.


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
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Aus:
Beitrag No.50, eingetragen 2019-04-24 12:51

2019-04-24 11:05 - Kitaktus in Beitrag No. 47 schreibt:
Aufgabe 041043:
Beweisen Sie folgende Behauptung!
Ist die Summe dreier natürlicher Zahlen durch 6 teilbar, dann ist auch die Summe der Kuben dieser drei Zahlen durch 6 teilbar.

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Alternativ könnte man auch die Identität

$(a + b + c)^3 - 3(a + b + c)(ab + ac + bc) + 3abc = a^3 + b^3 + c^3$

benützen. Ist $a+b+c$ durch $6$ teilbar, so ist dann mindestens eine der Zahlen $a,b,c$ gerade und daher auch $3abc$ durch $6$ teilbar, woraus die Behauptung folgt.


Ehemaliges_Mitglied
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.51, eingetragen 2019-04-24 14:04

2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Alle eure Lösungen, inkl. der Aufgaben, findet ihr unter:
mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20525

Kann es sein, dass mit der PDF etwas nicht stimmt?
Ich erhalte beim Öffnen eine Fehlermeldung.

Andere PDFs von der Seite gehen, z.B.
mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/03/OMKlasse_10.pdf


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6050
Aus: Niedersachsen
Beitrag No.52, eingetragen 2019-04-24 14:08

Zu Aufgabe 051023:
fed-Code einblenden



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.50 begonnen.]


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6050
Aus: Niedersachsen
Beitrag No.53, eingetragen 2019-04-24 15:09

Zu 051024 (steht hier noch nicht)
Die 1007 Teilnehmer eines Kongresses sollen auf möglichst wenig Autobusse mit 13, 29 bzw. 41 Plätzen für Fahrgäste so verteilt werden, dass kein Platz leer bleibt.
Wieviel Autobusse, jeder Art sind zu bestellen?

Lösung:
Es gilt 20*41 + 6*29 + 1*13 = 820 + 174 + 13 = 1007. Es gibt daher eine Lösung, die 20+6+1 = 27 Busse benutzt.
Angenommen, es gäbe eine (nichtnegative ganzzahlige) Lösung mit a Bussen mit je 41 Plätzen, b Bussen mit je 29 Plätzen und c Bussen mit je 13 Plätzen für die
  a +   b +   c  =    n    (mit ganzzahligem n <=26) (1)
41a + 29b + 13c  = 1007                              (2)
gilt.

41*(1) - (2) ergibt die Gleichung
      12b + 28c  = 41*n - 1007        (3)

Für n=26 vereinfacht sich (3) zu:
      12b + 28c  = 41*26 - 1007 = 59        (4)
Dabei ist die linke Seite gerade, die rechte aber nicht.
Eine solche Lösung kann es also nicht geben.

Für n<=24 ergibt sich aus (3) die Ungleichung
      12b + 28c  = 41*n - 1007 <= 41*24 - 1007 = -23        (5)
Hier gibt es offenbar keine nichtnegativen Lösungen.

Es bleibt also nur noch der Fall n=25. Hier ergibt sich aus (3) die Gleichung
      12b + 28c  = 41*25 - 1007 = 18.         (6)
Da a, b und c nichtnegative ganze Zahlen sind, muss c=0 sein, da sonst die linke Seite von (6) bereits zu groß wäre.
Es bleibt also die Gleichung 12b = 18, die aber keine ganzzahlige Lösung hat.

In allen Fällen führte die obige Annahme zum Widerspruch. Es gibt also keine Lösung, die mit weniger als 27 Bussen auskommt.
Die oben angegebene Lösung mit 27 Bussen benutzt also die kleinstmöglich Anzahl an Bussen.


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
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Beitrag No.54, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-24 15:47

Hallo,
2019-04-24 14:04 - Oxythron in Beitrag No. 51 schreibt:
2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Alle eure Lösungen, inkl. der Aufgaben, findet ihr unter:
mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20525
Kann es sein, dass mit der PDF etwas nicht stimmt?
Bei mir funktioniert es. Tut mir leid, dass es Ärger gibt.
Sollten andere auch Probleme haben, bitte ich um eine Meldung. Dann muss ich auf die Suche nach dem Fehler gehen.

LG Steffen


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.55, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-24 15:48

Hallo Kitaktus,
Danke für die vielen Lösungen. Sie sind schon eingebaut.

LG Steffen


Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.56, eingetragen 2019-04-24 16:16

Hallo Steffen,

bei mir funktioniert die Anzeige im Firefox/Kubuntu nicht. Ocular zeigt mir ein Dokument mit 8 Seiten, also bei Aufgabe 060935 hört es auf.

zur Lösung von 060936 (Beitrag 33, ZePhoCa) möchte ich bedenken anmelden.
... Wir konstruieren nun die Orstlinie aller Punkte, die von der verschobenen Gerade und dem Mittelpunkt denselben Abstand haben. Dies ist eine Parabel, ...
Das klingt irgendwie nicht nach Konstruktion mit Zirkel und Lineal (Sorry).


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.57, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-24 16:30

2019-04-24 16:16 - TomTom314 in Beitrag No. 56 schreibt:
bei mir funktioniert die Anzeige im Firefox/Kubuntu nicht. Ocular zeigt mir ein Dokument mit 8 Seiten, also bei Aufgabe 060935 hört es auf.
Ok, könnte es sein, dass die alte Datei noch im Cache ist. Ich muss auch bei einem neuen Download F5 drücken, sonst bekomme ich die vorhergehende.
Egal, ich werde man schauen, ob es bei mir "klemmt".

2019-04-24 16:16 - TomTom314 in Beitrag No. 56 schreibt:
zur Lösung von 060936 (Beitrag 33, ZePhoCa) möchte ich bedenken anmelden.
... Wir konstruieren nun die Orstlinie aller Punkte, die von der verschobenen Gerade und dem Mittelpunkt denselben Abstand haben. Dies ist eine Parabel, ...
Das klingt irgendwie nicht nach Konstruktion mit Zirkel und Lineal (Sorry).
Danke für den Hinweis; das habe ich wohl nicht genau durchgelesen. Ich sehe aber keine Korrekturmöglichkeit. Vielleicht sieht jemand eine Möglichkeit.

LG Steffen


Ex_Senior
Neu
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Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.58, eingetragen 2019-04-24 16:40

Mit "F5" bekomme ich richtige Datei. Da sitzt wohl ein Expires-Tag nicht ganz richtig - keine Ahnung wo dieses zu finden ist.


Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 800
Aus: Chemnitz
Beitrag No.59, eingetragen 2019-04-24 17:36

2019-04-24 11:25 - Kitaktus in Beitrag No. 48 schreibt:
Zum Thema Schwierigkeit der Aufgaben:

Nicht zu vergessen waren das bis jetzt zumeist Aufgaben der Klassen 9 und 10, Regionalrunde oder Landesrunde (die nächste Stufe ist die nationale Runde), und dementsprechend ist die Lösungsfindung nicht so schwierig.


Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.60, eingetragen 2019-04-24 17:39

Aufgabe 060936: In einer Ebene sind ein Kreis k, eine Gerade g sowie ein Punkt A auf g gegeben.
Man konstruiere einen Kreis k', der erstens k berührt und zweitens g in A berührt. Man untersuche, wie viele solcher Kreise k' es bei den verschiedenen Lagemöglichkeiten von k, g und A geben kann.
Eine rechnerische Lösung wäre:

Sei h der Abstand des Kreismittelpunkts von k zur Gerade g und d der Abstand vom Fußpunkt der Strecke h auf g zum Punkt A. r,r' bezeichnen die Radien. Dann erhalten wir mittels Pythagoras:
\[(h-r')^2 + d^2 = (r+r')^2 \iff\\
h^2 +d^2 - r^2 = 2(r+h)r'\] Nun können wir über ein rechtwinkliges Dreieck ein Quadrat mit der Fläche $h^2 +d^2 - r^2$ konstruieren und dazu ein Rechteck mit gleicher Fläche, wobei die eine Seite $2(r+h)$ bekannt ist und die andere dann den gesuchten Radius ergibt.

Falls $k\cap g\neq \emptyset\iff h\leq r$, gibt es eine zweite Lösung über die Gleichung $(h+r')^2 + d^2 = (r+r')^2$

Schön ist anders.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.58 begonnen.]

@kornkreis: Diese Konstruktionsaufgabe finde ich nicht mehr so einfach.


Ex_Senior
Neu
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Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.61, eingetragen 2019-04-24 17:55

Aufgabe 040933:
Konstruieren Sie zu einem gegebenen Halbkreis mit dem Radius r das einbeschriebene Quadrat!

Seien $A$, $B$ die Ecken des Halbkreises und $M$ der Mittelpunkt, Konstruiere in $B$ eine Strecke der Länge $|AB|=2r$ senkrecht zur Gerade $AB$ mit Endpunkt $C$. Der Schnittpunkt der Gerade $MC$ und des Halbkreises ist eine Ecke des gesuchten Quadrats. Mittels Spiegelung und Lot erhalten wir die anderen 3 Ecken.


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5174
Aus: Milchstraße
Beitrag No.62, eingetragen 2019-04-24 19:55

Hallo TomTom314

2019-04-24 17:55 - TomTom314 in Beitrag No. 61 schreibt:
Aufgabe 040933:
Konstruieren Sie zu einem gegebenen Halbkreis mit dem Radius r das einbeschriebene Quadrat!

Seien $A$, $B$ die Ecken des Halbkreises und $M$ der Mittelpunkt, Konstruiere in $B$ eine Strecke der Länge $|AB|=2r$ senkrecht zur Gerade $AB$ mit Endpunkt $C$. Der Schnittpunkt der Gerade $MC$ und des Halbkreises ist eine Ecke des gesuchten Quadrats. Mittels Spiegelung und Lot erhalten wir die anderen 3 Ecken.

Wenn das stimmt, ist es eine elegante Konstruktion. Aber wieso ergibt sich ein Quadrat?


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5174
Aus: Milchstraße
Beitrag No.63, eingetragen 2019-04-24 19:58

Hallo Caban,

2019-04-23 10:31 - Caban in Beitrag No. 35 schreibt:
Lösung für Aufgabe 041226, durch eine Skizze erhalten.

Die gesuchte Fläche sind zwei Kreissegmente des Kreises mit dem Radius r und mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt M. Die Sehne des ersten Kreissegments liegt auf der Gerade y=x+r/2 und das Segment liegt oberhalb dieser Geraden. Die Sehne des zweiten Segments liegt auf der ersten Winkelhalbierenden, das Segment liegt unterhalb.

Die Sehne des zweiten Segments solle auf der Geraden y = x - r/2 und nicht auf der ersten Winkelhalbierenden liegen. Oder siehst du das wirklich anders?


Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.64, eingetragen 2019-04-24 20:08

2019-04-24 19:55 - StrgAltEntf in Beitrag No. 62 schreibt:
...
Wenn das stimmt, ist es eine elegante Konstruktion. Aber wieso ergibt sich ein Quadrat?

Wenn Du vom Mittelpunkt des Halbkreises zu einer oberen Ecke des Quadrats wanderest, gehst Du eine halbe Quadratseite zur Seite und ein ganz nach oben, d.h. die Ecke liegt auf einer Gerade mit Steigung 2, die über $MC$ konstruiert wurde.


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4972
Aus:
Beitrag No.65, eingetragen 2019-04-24 20:09

2019-04-24 19:55 - StrgAltEntf in Beitrag No. 62 schreibt:
Hallo TomTom314

2019-04-24 17:55 - TomTom314 in Beitrag No. 61 schreibt:
Aufgabe 040933:
Konstruieren Sie zu einem gegebenen Halbkreis mit dem Radius r das einbeschriebene Quadrat!

Seien $A$, $B$ die Ecken des Halbkreises und $M$ der Mittelpunkt, Konstruiere in $B$ eine Strecke der Länge $|AB|=2r$ senkrecht zur Gerade $AB$ mit Endpunkt $C$. Der Schnittpunkt der Gerade $MC$ und des Halbkreises ist eine Ecke des gesuchten Quadrats. Mittels Spiegelung und Lot erhalten wir die anderen 3 Ecken.

Wenn das stimmt, ist es eine elegante Konstruktion. Aber wieso ergibt sich ein Quadrat?

Naja, wenn  $C'$ der so konstruierte Schnittpunkt der Gerade $MC$ mit dem Halbkreis ist und $B'$ der Fußpunkts des Lots durch $C'$ auf der Strecke $AB$ ist, dann ist doch $MB'$ genau halb so groß wie $B'C'$ nach dem Strahlensatz und das ist doch alles, was man hier braucht.  wink

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.62 begonnen.]


Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 487
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.66, eingetragen 2019-04-24 20:29



Hallo StrgAltEntf, du hast recht. Ich habe jetztz eine Skizze ergänzt

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.63 begonnen.]


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5174
Aus: Milchstraße
Beitrag No.67, eingetragen 2019-04-24 20:59

@TomTom314, @weird

2019-04-24 20:09 - weird in Beitrag No. 65 schreibt:
Naja, wenn  $C'$ der so konstruierte Schnittpunkt der Gerade $MC$ mit dem Halbkreis ist und $B'$ der Fußpunkts des Lots durch $C'$ auf der Strecke $AB$ ist, dann ist doch $MB'$ genau halb so groß wie $B'C'$ nach dem Strahlensatz und das ist doch alles, was man hier braucht.  wink

Jetzt sehe ich es smile

Danke!


HyperPlot
Aktiv
Dabei seit: 06.01.2019
Mitteilungen: 358
Aus: Kneedeep in the Dead
Beitrag No.68, eingetragen 2019-04-25 08:03

2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Ich würde diese Lösungen in eine Datei übernehmen (Latex würde mir die Arbeit erleichtern)

Da wäre es sinnvoll, wenn Du mal das LaTeX Grundgerüst angibst; dann kann man Lösungen darauf zuschneidern und Du sparst Dir entsprechende Editorarbeit.  


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.69, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-25 08:17

Hallo,
die Lösung der Aufgabe 041226 ist mir noch schleierhaft. Tut mir leid. Was ist nun die korrekte Lösung?

Ich habe wieder eine neue PDF-Datei mit vielen neuen Aufgaben und vor allem Lösungen. Jetzt sind wir schon bei 60 Seiten.

LG Steffen


Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 487
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.70, eingetragen 2019-04-25 10:50

Hallo

So jetzt sollte es passen:

Die gesuchte Fläche sind zwei Kreissegmente des Kreises mit dem Radius r und mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt M. Die Sehne des ersten Kreissegments liegt auf der Gerade y=x+r/2 und das Segment liegt oberhalb dieser Geraden. Die Sehne des zweiten Segments liegt auf der Gerade y=x-r/2, das Segment liegt unterhalb.


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6050
Aus: Niedersachsen
Beitrag No.71, eingetragen 2019-04-25 11:08

Zu 041232:
fed-Code einblenden


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.69 begonnen.]


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6050
Aus: Niedersachsen
Beitrag No.72, eingetragen 2019-04-25 11:14

Zu 050931:
fed-Code einblenden


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6050
Aus: Niedersachsen
Beitrag No.73, eingetragen 2019-04-25 11:35

Aufgabe 041231:
In einem mathematischen Zirkel einigen sich sechs Teilnehmer auf eine reelle Zahl a, die der
siebente Teilnehmer, der vorher das Zimmer verlassen hatte, bestimmen soll. Nach seiner
Ruckkehr erhalt er die folgenden Auskunfte:
1. a ist eine rationale Zahl.
2. a ist eine ganzrationale Zahl, die durch 14 teilbar ist.
3. a ist eine reelle Zahl, deren Quadrat gleich 13 ist.
4. a ist eine ganzrationale Zahl, die durch 7 teilbar ist.
5. a ist eine reelle Zahl, die folgende Ungleichung erfullt. 0 < a3 + a < 8 000.
6. a ist eine gerade Zahl.
Er erfahrt, dass von den Auskunften 1 und 2, 3 und 4 sowie 5 und 6 jeweils eine wahr und
eine falsch ist.
Wie lautet die Zahl a! Wie hat der siebente Teilnehmer die Zahl ermittelt?

fed-Code einblenden


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.74, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-25 13:36

Die Aufgabe 051031 habe ich selbst:

Weisen Sie nach, dass alle Zahlen
\[
1331; 1030301; 1003003001; ...; 1 \underbrace{00...00}_{\text{k Nullen}}3
\underbrace{00...00}_{\text{k Nullen}} 3 \underbrace{00...00}_{\text{k Nullen}} 1
\] Kubikzahlen sind!

Nachweis: Es ist
\[
1331 = 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2+3\cdot 10^1 + 1 = (10+1)^3
\] \[
1030301 = 1\cdot 10^6 + 3\cdot 10^4+3\cdot 10^2 + 1 = (10^2+1)^3
\] \[
1003003001 = 1\cdot 10^9 + 3\cdot 10^6+3\cdot 10^3 + 1 = (103+1)^3
\] Folgen bei einer Zahl in der angegebenen Weise jeweils k Nullen direkt aufeinander, so erhält man
\[
1\cdot 10^{3(k+1)} + 3\cdot 10^{2(k+1)} + 3\cdot 10^{k+1} + 1 = (10^{k+1}+1)^3
\] Also ist die angegebene Zahl eine Kubikzahl.

Ich tausche die Aufgabe oben also aus.

@Kitaktus: Vielen Dank für die vielen Lösungen.

@Hyperplot: Hier meine Latex-Datei. Die Dateien werden mit \input ... eingebunden.


\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{tikz,fullpage,enumerate,icomma}
\usetikzlibrary{arrows,calc,intersections,patterns,arrows.meta,backgrounds, positioning,angles, quotes, babel}
\usepackage{standalone}
\usepackage{geometry}
\geometry{
   left=2.5cm,
   textwidth=16cm,
   marginpar=3cm,
   top=2cm,
   bottom=2cm}
\setlength{\parindent}{0pt}  
\usepackage{framed}
\usepackage{hyperref} %brauche ich für das Titelblatt
\begin{document}
....
\end{document}

Was mich interessieren würde, wie ich eine Kopf- und Fußzeile hineinbekomme. Ich habe schon x-viele Vorschläge im Internet ausprobiert, aber ich war immer zu dämlich. Es hat nicht geklappt.
Nebenbei: Ich habe die Layer wieder eingefügt.

LG Steffen


Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 800
Aus: Chemnitz
Beitrag No.75, eingetragen 2019-04-25 14:02

Aufgabe 041235:
Gibt es eine natürliche Zahl z, die auf zwei verschiedene Weisen in der Form
\[
z = x! + y!
\] dargestellt werden kann, wobei x und y von Null verschiedene natürliche Zahlen sind und <math>x \leq y</math> ist?

Lösung
Angenommen, $z=x!+y!=a!+b!$ mit $a \neq 0$ und $x\neq a \leq b$. Aufgrund der gleichen Gestalt beider Gleichungen kann man oBdA $a<x$ wählen.

Ausklammern liefert $z=x!(1+\frac{y!}{x!})=a!(1+\frac{b!}{a!})$. Division beider Gleichungen ergibt $1=(a+1)\cdots x (1+\frac{y!}{x!})/(1+\frac{b!}{a!})$. Der Quotient kann aber nicht 1 sein, da keiner der Primfaktoren von $a+1$ im Divisor $1+\frac{b!}{a!}=1+(a+1)\cdots b$ enthalten ist (beachte, dass wegen $a<x$ auch $a<b$ gelten muss).

Damit kann es keine solche zweite Darstellung von $z$ als Summe zweier Fakultäten geben.




Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 800
Aus: Chemnitz
Beitrag No.76, eingetragen 2019-04-25 15:48

@Steffen: Einige der Aufgaben, die in deiner Pdf ohne Lösung stehen, sind schon gelöst, z.B. die 041242 und 041245: www.olympiade-mathematik.de/index.php?option=com_blocka&nr=04124&typ=l&Itemid=124

(wollte ich nur anmerken, weil mir das nicht klar war und ich sonst eine Lösung hier reingeschrieben hätte)


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.77, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-25 16:02

2019-04-25 15:48 - Kornkreis in Beitrag No. 76 schreibt:
@Steffen: Einige der Aufgaben, die in deiner Pdf ohne Lösung stehen, sind schon gelöst, z.B. die 041242 und 041245
Sorry. Die PDF werde ich gleich aktualisieren.

PS: Aktualisiert. Ich komme mit dem Schreiben einfach nicht nach.
Die Aufgaben, die im ersten Beitrag genannt werden, sind noch ungelöst.


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6050
Aus: Niedersachsen
Beitrag No.78, eingetragen 2019-04-25 16:36

Aufgabe 070934:
fed-Code einblenden


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.79, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-25 17:22

Ich habe im PDF-Text alle Aufgaben, bei denen keine Lösungen stehen, mit "Lösung nicht bekannt" bzw. "Lösung bekannt, wird noch ergänzt" versehen und online bereitgestellt.
Ich hoffe, dass es damit einfacher wird, offene Aufgaben zu finden.

Irgendwie komme ich mit dem Schreiben nicht nach. Ich verspreche aber, so schnell wie möglich zu sein.

LG Steffen


Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 800
Aus: Chemnitz
Beitrag No.80, eingetragen 2019-04-25 17:51

Hi Steffen,

2019-04-25 17:22 - stpolster in Beitrag No. 79 schreibt:
Ich habe im PDF-Text alle Aufgaben, bei denen keine Lösungen stehen, mit "Lösung nicht bekannt" bzw. "Lösung bekannt, wird noch ergänzt" versehen und online bereitgestellt.

danke, so hatte ich mir das vorgestellt! smile


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5174
Aus: Milchstraße
Beitrag No.81, eingetragen 2019-04-25 20:51

2019-04-25 16:36 - Kitaktus in Beitrag No. 78 schreibt:
Aufgabe 070934:
fed-Code einblenden


Im Sinne der Aufgabenstellung gibt es dann aber nicht drei, sondern zehn Lösungstripel.


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5174
Aus: Milchstraße
Beitrag No.82, eingetragen 2019-04-25 21:09

2019-04-25 10:50 - Caban in Beitrag No. 70 schreibt:
Hallo

So jetzt sollte es passen:

Die gesuchte Fläche sind zwei Kreissegmente des Kreises mit dem Radius r und mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt M. Die Sehne des ersten Kreissegments liegt auf der Gerade y=x+r/2 und das Segment liegt oberhalb dieser Geraden. Die Sehne des zweiten Segments liegt auf der Gerade y=x-r/2, das Segment liegt unterhalb.

Ja, so passt es. Es ist noch zu ergänzen, dass die Ränder der beiden Kreissegmente nicht zur gesuchten Menge gehören.

Außerdem könnte man zur Lösung noch ergänzen:

Es ist \(|x-y|>r\) \(\iff\) \(x-y>r\) oder \(x-y<-r\) \(\iff\) \(y<x-r\) oder \(y>x+r\).
Folglich gehören nur solche Punkte \((x,y)\) zur Menge, die unterhalb der Gerade \(y=x-r\) oder oberhalb der Geraden \(y=x+r\) liegen.


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5174
Aus: Milchstraße
Beitrag No.83, eingetragen 2019-04-25 21:39

2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Aufgabe 051223:
Es seien a eine von Null verschiedene reelle Zahl und f eine reelle Funktion mit den folgenden Eigenschaften:
(1) Ist die Funktion f an der Stelle x definiert, so ist sie auch an den Stellen x + a und x − a definiert.
(2) Für alle x, für die die Funktion f definiert ist, gilt
\[
f(x + a) = \frac{1 + f(x)}{1 − f(x)}
\] a) Es ist zu beweisen, dass die Funktion f periodisch ist, d.h., dass es eine von Null verschiedene reelle Zahl b gibt, so dass <math>f(x) = f(x+kb)</math> für alle x, für die die Funktion f definiert ist, und für alle ganzen
Zahlen k gilt.
b) Geben Sie eine Funktion an, die die obigen Eigenschaften hat!

Zu a)
Sei y beliebig und x = y+a. Dann ist
\(f(y+2a)=f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)} = \frac{1+f(y+a)}{1-f(y+a)}= \frac{1+\frac{1+f(y)}{1-f(y)}}{1-\frac{1+f(y)}{1-f(y)}} = ... = -\frac1{f(y)}\)
("..." steht für eine einfache algebraische Umformung.)
Sei nun z beliebig und y = z+2a. Dann ist
\(f(z+4a)=f(y+2a)=-\frac1{f(y)}=-\frac1{f(z+2a)}=-\frac1{-\frac1{f(z)}}=f(z)\).
Folglich ist die Funktion 4a-periodisch.


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.84, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-25 22:04

Alle neuen Lösungen sind eingetragen.
Außerdem habe ich die Datei noch einmal umformatiert.

LG Steffen


HyperPlot
Aktiv
Dabei seit: 06.01.2019
Mitteilungen: 358
Aus: Kneedeep in the Dead
Beitrag No.85, eingetragen 2019-04-26 00:25

2019-04-25 13:36 - stpolster in Beitrag No. 74 schreibt:
@Hyperplot: Hier meine Latex-Datei. Die Dateien werden mit \input ... eingebunden.

latex
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{tikz,fullpage,enumerate,icomma}
\usetikzlibrary{arrows,calc,intersections,patterns,arrows.meta,backgrounds, positioning,angles, quotes, babel}
\usepackage{standalone}
\usepackage{geometry}
\geometry{
   left=2.5cm,
   textwidth=16cm,
   marginpar=3cm,
   top=2cm,
   bottom=2cm} 
\setlength{\parindent}{0pt}   
\usepackage{framed} 
\usepackage{hyperref} %brauche ich für das Titelblatt
\begin{document}
....
\end{document}



Ich würde das irgendwie so machen:



Für den Dokumentkopf einen gemeinsamen Header:
Header.tex
latex
% Alle Dokumente:
 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}  %<- Kodierung
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{microtype} %<- bessere Ränder
\usepackage{lmodern} %<- Standardschrift besser
 
\usepackage{fullpage,enumerate,icomma}
\usepackage{framed}
  \setlength{\FrameSep}{7pt} %  Raum um Rahmen
 
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb}
\usepackage{icomma}
 
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,calc,intersections,
patterns,arrows.meta,backgrounds, 
positioning,angles, quotes, babel}
% Zeichenebenen
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
 
\usepackage[]{standalone} % Für das Einbinden von Dateien
\newcommand\Aufg[2][]{\begin{framed}%
\vspace{-1.5ex}
\minisec{Aufgabe #2. \Links{#1}}%
\includestandalone[mode=tex]{A#2}% buildnew
\end{framed}}
 
\newcommand\Lsg[1]{%
\minisec{Lösung von Aufgabe #1.}\includestandalone[mode=tex]{L#1} }
 
\usepackage{varwidth}
 
% Für Randnotizen
\usepackage{scrlayer-notecolumn}
 
\DeclareNewNoteColumn[%
  marginpar,
  normalmarginpar,
  font=\raggedright\sffamily\bfseries\small,
]{rechts}
\DeclareNewNoteColumn[%
  marginpar,
  reversemarginpar,
  font=\raggedleft\sffamily\bfseries\footnotesize,
]{links}
 
\newcommand\Rechts[1]{\makenote[rechts]{#1}}
\newcommand\Links[1]{\makenote[links]{#1}}


Die Aufgaben von der Gestalt
A999001.tex
latex
% A999001.tex
\documentclass[varwidth, margin=5pt]{standalone}
\input{header}
\begin{document}
\begin{varwidth}{\linewidth}% <------- zur Sicherheit
Löse die Gleichung $x+1=2$.
\end{varwidth}% <------- 
\end{document}
 


A999002.tex
latex
% A999002.tex
\documentclass[varwidth, margin=5pt]{standalone}
\input{header}
\begin{document}
\begin{varwidth}{\linewidth}% <------- zur Sicherheit
Zeichne einen Kreis.
\end{varwidth}% <-------
\end{document}


Die Lösungen von der Gestalt

L999001.tex
latex
% L999001.tex
\documentclass[varwidth, margin=0pt]{standalone}
%\documentclass[]{article}
\input{header}
\begin{document}
 
\begin{varwidth}{\linewidth}% <------- zur Sicherheit
$\begin{array}{l l}x+1=2   ~~~\big| -1    \\[1em]
x = 1
\end{array}$ \par
Hier mal ein Text. 
\end{varwidth}% <------- 
 
\end{document}


L999002.tex
latex
% L999002.tex
\documentclass[varwidth, margin=0pt]{standalone}
%\documentclass[]{article}
\input{header}
\begin{document}
 
\begin{varwidth}{\linewidth}
\begin{tikzpicture}[font=\bfseries]
\draw[thick, red] (0,0) circle[radius=2] node[text=black]{Kreis}; 
\end{tikzpicture}
\end{varwidth}
 
\end{document}



Das Hauptdokument:
main.tex
latex
% main.tex  
 
%\documentclass[11pt]{article}
\documentclass[11pt]{scrartcl} % besser eine KOMA-Klasse, wg. Layout
\addtokomafont{disposition}{\rmfamily} % optional: Serifenschrift für Überschriften
 
% Alle Dokumente:
\input{header}
 
% Nur Hauptdokument
%\input{Randnotizen}  % <---- Vorschlag
 
\usepackage{geometry}
\geometry{% showframe,   % Ränder anzeigen
   left=2.5cm,
   textwidth=16cm, % .... fraglich
   marginpar=3cm,
   top=2cm,
   bottom=2.5cm, %2cm,
   %
   head=1.5\baselineskip,    %
   foot=1.5\baselineskip,   
includehead, includefoot,  % evtluell, wegen ergänztem Kopf-/Fuß
}
% \setlength{\parindent}{0pt}  
\setparsizes{0pt}{0pt}{0pt plus 1fil} %<- "besser"
 
% Kopf- und Fusszeile
\usepackage[headsepline, footsepline, autoenlargeheadfoot=true]{scrlayer-scrpage} 
\setkomafont{pagehead}{\normalfont} % sonst kursiv
\setkomafont{pagefoot}{\normalfont} %    --- " --- 
 
\ohead[Auf Kapitelstartseiten oben außen]{oben außen}
\chead[Auf Kapitelstartseiten oben mitte]{oben mitte}
\ihead[Auf Kapitelstartseiten oben innen]{oben innen}
\ofoot[Auf Kapitelstartseiten unten außen]{ unten außen}
\cfoot[Auf Kapitelstartseiten unten mitte]{\pagemark}
\ifoot[Auf Kapitelstartseiten unten innen]{unten innen}
 
\usepackage{hyperref} %
\begin{document}
% Normales Einbinden via standalone
% \includestandalone[mode=buildnew]{L999001} \par
 
% Mit Kommando aus header
\Aufg[Algebra]{999001}
\Lsg{999001}
 
\Aufg[Geometrie]{999002}%\Links{Geometrie}
\Aufg{999002}% ohne Randnotiz
\Lsg{999002}
\end{document}


______________________________
Noch ein komplizierteres Beispiel:





Gleicher Header.

A4-061044.tex
latex
% A4-061044.tex
\documentclass[varwidth, margin=5pt]{standalone}
\input{header}
\begin{document}
\begin{varwidth}{\linewidth}% <------- zur Sicherheit
Gegeben sei ein Dreieck $\Delta ABC$; wie üblich sei $BC=a$, 
$CA=b$
und $\gamma$ 
 das Gradmaß des Winkels $\sphericalangle ACB$. Konstruieren Sie ein Quadrat, dessen Flächeninhalt $2ab\cdot |\cos(\gamma)|$ beträgt!
\end{varwidth}% <------- 
\end{document}



L4-061044graph.tex
latex
% L4-061044graph.tex
\documentclass[margin=0mm]{standalone}
\input{header}
 
%\pgfdeclarelayer{background}
%\pgfdeclarelayer{foreground}
%\pgfsetlayers{background,main,foreground}
 
 
\begin{document}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{
\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5);}
 
\begin{varwidth}{\linewidth}% <------- zur Sicherheit
 
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{5} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{2.2} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{4} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % 
 
 
 
% Dreieckskonstruktion
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\coordinate[Punkt={left}{B}] (B) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={anchor=south west}{C}] (C) at (\a,0); 
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (\Beta:\c); 
\end{pgfonlayer}
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % 
 
% Seiten 
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, above]{$a$};
\draw[thick] (C) -- (A) node[midway, right]{$b$};
\path[] (B) -- (A) node[midway, right]{$c$};
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};
 
% Quadrat über c = BB*
\path[] (B) -- ($(B)!\c cm!90:(A)$) coordinate[Punkt={anchor=south west, yshift=3pt}{B^*}] (Bq) ;
\path[] (A) -- ($(A)!\c cm!-90:(B)$) coordinate[Punkt={right}{A^*}] (Aq);
\draw[] (A) -- (B) -- (Bq) -- (Aq) --cycle; % 
\path[] (B) -- (Aq) node[midway, fill=black!1]{$c^2$};
 
% Kongruententes Dreieck an Quadrat
\path[] (B) -- (Bq) node[midway, left]{$c$};
\draw[densely dashed] (Bq) --+ (0,-\a) node[midway, right]{$a$} coordinate[Punkt={anchor=north west}{B'}] (Bs)
-- (B) node[midway, left]{$b$};
 
% Parallelogramm unter a
\draw[densely dashed] (Bs) --+ (\a,0) coordinate[Punkt={anchor=north west}{C'}] (Cs)
-- (C)  node[midway, right]{$b$};
\draw pic [draw, angle radius=7mm,% angle eccentricity=1.6,
"$\gamma$",  
] {angle =B--Bs--Bq};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, angle eccentricity=1.6,
"$90^\circ$-$\gamma$",  
] {angle =Cs--Bs--B};
\path[] (B) -- (Cs) node[midway, red]{$A_P = h\cdot a$};
 
% Rechteck aus Parallelogramm
\draw[] (B) -- ($(Bs)!(B)!(Cs)$) coordinate[Punkt={anchor=south east}{P}] (P);
\draw[] (C) --+ ($(P)-(B)$) coordinate[Punkt={anchor=south east}{Q}] (Q) -- (P);
\path[] (P) -- (B) node[midway, left]{$h$};
 
% Verdopplung des Rechtecks
\pgfmathsetmacro{\h}{\b*cos(\Gamma)} %  
\draw[] (P)
 --++ (0,-\h)  coordinate[Punkt={anchor=north east}{R}] (R)
--++ (\a,0) coordinate[Punkt={anchor=north east}{S}] (S) -- (Q);
\path[] (R) -- (S) node[midway, above]{$a$};
\path[] (P) -- (R) node[midway, left]{$h$};
 
% Flächengleiches Dreieck an Gesamtrechteck
\draw[densely dashed] (S) --+ (0,-\a)
 coordinate[Punkt={anchor=south east}{T}] (T)
 node[midway, left]{$a$};
\Bogen[densely dashed]{S}{180}{270}{\a}
 
\pgfmathsetmacro{\r}{(2*\h+\a)/2} %  
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\coordinate[Punkt={anchor=south west}{M}] (M) at ($(C)!0.5!(T)$); 
\Bogen[densely dashed, name path=thales]{M}{-90}{90}{\r}
 
\draw[name path=hoehe] (S) --+ (1.1*\r,0);
\path[name intersections={of=thales and hoehe, name=X}];
\coordinate[Punkt={anchor=south west}{X}] (X) at (X-1); 
 
\draw[] (S) -- (C); 
 
\draw[densely dashed] (X) -- (C);
\draw[densely dashed] (X) -- (T);
 
\draw pic [draw, angle radius=4mm,% angle eccentricity=1.6,
"$\cdot$",  
] {angle =C--X--T};
\end{pgfonlayer}
 
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\draw[red] (B) -- (Bs) -- (Cs) -- (C) -- cycle;
\end{pgfonlayer}
 
% Flächengleiches Quadrat
\pgfmathsetmacro{\H}{sqrt(2*\h*\a)} %  
%\draw[red] (S)-- ($(S)!\H cm!(X)$); % Test
\draw[thick, red, fill=pink] (X) --++ (0,\H) --++ (-\H,0) node[midway, below=3mm] {$A=2h\cdot a$} -- (S) --cycle;
 
%%% Punkte
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\foreach \P in {A,B,C,Aq, Bq,Bs,Cs,P,Q,R,S,M,T, X}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{pgfonlayer}
 
\end{tikzpicture}
% Annotation
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
 
%\begin{enumerate}
%\item Errichte das Quadrat über $|AB|=c$.
%\item Ergänze an der Quadratseite $BB^*$ das zum Dreieck $ABC$ kongruente Dreieck $B'BB^*$.
%\item Bilde das Parallelogramm $B'C'CB$ aus den Seiten $|BB'|$ und $|BC|$; dieses hat den Flächeninhalt $A_P 
%= a\cdot h 
%= a b \sin(90^\circ-\gamma)
%= a b \cos(\gamma)$.
%\item Bilde aus dem Parallelogramm das flächengleiche Rechteck $PQCB$; verdopple das Rechteck zum Rechteck $RSCB$; dieses hat den Flächeninhalt $A = 2h \cdot a$. 
%\item Verlängere die Rechtecksseite $|CS|$ um $a = |RS|$, Endpunkt sei $T$. 
%\item Errichte über der Strecke $|CT|$ den Thaleskreis (Mittelpunkt sei $M$).
%\item Bestimme den Schnittpunkt derjenigen Geraden durch $|RS|$ mit dem Thaleskreis; der Schnittpunkt sei $X$. 
%\item Dann gilt für das rechtwinklige Dreieck $CTX$ nach dem Höhensatz: Das Rechteck aus den Höhenabschnitten ($2h$ und $a$) der zur Hypothenuse gehörenden Höhe ist so groß wie das Quadrat über der Höhe; mit anderen Worten: $
%A= 2h \cdot a = 2 b \cos(\gamma) \cdot a = 2ab\cos(\gamma)$. 
%\end{enumerate}
 
\end{varwidth}% <------- 
\end{document}


 L4-061044text.tex
latex
% L4-061044graph.tex
\documentclass[margin=0mm]{standalone}
\input{header}
 
%\pgfdeclarelayer{background}
%\pgfdeclarelayer{foreground}
%\pgfsetlayers{background,main,foreground}
 
 
\begin{document}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{
\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5);}
 
\begin{varwidth}{\linewidth}% <------- zur Sicherheit
 
\begin{tikzpicture}[scale=0.9,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{5} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{2.2} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{4} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} % 
 
 
 
% Dreieckskonstruktion
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\coordinate[Punkt={left}{B}] (B) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={anchor=south west}{C}] (C) at (\a,0); 
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (\Beta:\c); 
\end{pgfonlayer}
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % 
 
% Seiten 
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, above]{$a$};
\draw[thick] (C) -- (A) node[midway, right]{$b$};
\path[] (B) -- (A) node[midway, right]{$c$};
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};
 
% Quadrat über c = BB*
\path[] (B) -- ($(B)!\c cm!90:(A)$) coordinate[Punkt={anchor=south west, yshift=3pt}{B^*}] (Bq) ;
\path[] (A) -- ($(A)!\c cm!-90:(B)$) coordinate[Punkt={right}{A^*}] (Aq);
\draw[] (A) -- (B) -- (Bq) -- (Aq) --cycle; % 
\path[] (B) -- (Aq) node[midway, fill=black!1]{$c^2$};
 
% Kongruententes Dreieck an Quadrat
\path[] (B) -- (Bq) node[midway, left]{$c$};
\draw[densely dashed] (Bq) --+ (0,-\a) node[midway, right]{$a$} coordinate[Punkt={anchor=north west}{B'}] (Bs)
-- (B) node[midway, left]{$b$};
 
% Parallelogramm unter a
\draw[densely dashed] (Bs) --+ (\a,0) coordinate[Punkt={anchor=north west}{C'}] (Cs)
-- (C)  node[midway, right]{$b$};
\draw pic [draw, angle radius=7mm,% angle eccentricity=1.6,
"$\gamma$",  
] {angle =B--Bs--Bq};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, angle eccentricity=1.6,
"$90^\circ$-$\gamma$",  
] {angle =Cs--Bs--B};
\path[] (B) -- (Cs) node[midway, red]{$A_P = h\cdot a$};
 
% Rechteck aus Parallelogramm
\draw[] (B) -- ($(Bs)!(B)!(Cs)$) coordinate[Punkt={anchor=south east}{P}] (P);
\draw[] (C) --+ ($(P)-(B)$) coordinate[Punkt={anchor=south east}{Q}] (Q) -- (P);
\path[] (P) -- (B) node[midway, left]{$h$};
 
% Verdopplung des Rechtecks
\pgfmathsetmacro{\h}{\b*cos(\Gamma)} %  
\draw[] (P)
 --++ (0,-\h)  coordinate[Punkt={anchor=north east}{R}] (R)
--++ (\a,0) coordinate[Punkt={anchor=north east}{S}] (S) -- (Q);
\path[] (R) -- (S) node[midway, above]{$a$};
\path[] (P) -- (R) node[midway, left]{$h$};
 
% Flächengleiches Dreieck an Gesamtrechteck
\draw[densely dashed] (S) --+ (0,-\a)
 coordinate[Punkt={anchor=south east}{T}] (T)
 node[midway, left]{$a$};
\Bogen[densely dashed]{S}{180}{270}{\a}
 
\pgfmathsetmacro{\r}{(2*\h+\a)/2} %  
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\coordinate[Punkt={anchor=south west}{M}] (M) at ($(C)!0.5!(T)$); 
\Bogen[densely dashed, name path=thales]{M}{-90}{90}{\r}
 
\draw[name path=hoehe] (S) --+ (1.1*\r,0);
\path[name intersections={of=thales and hoehe, name=X}];
\coordinate[Punkt={anchor=south west}{X}] (X) at (X-1); 
 
\draw[] (S) -- (C); 
 
\draw[densely dashed] (X) -- (C);
\draw[densely dashed] (X) -- (T);
 
\draw pic [draw, angle radius=4mm,% angle eccentricity=1.6,
"$\cdot$",  
] {angle =C--X--T};
\end{pgfonlayer}
 
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\draw[red] (B) -- (Bs) -- (Cs) -- (C) -- cycle;
\end{pgfonlayer}
 
% Flächengleiches Quadrat
\pgfmathsetmacro{\H}{sqrt(2*\h*\a)} %  
%\draw[red] (S)-- ($(S)!\H cm!(X)$); % Test
\draw[thick, red, fill=pink] (X) --++ (0,\H) --++ (-\H,0) node[midway, below=3mm] {$A=2h\cdot a$} -- (S) --cycle;
 
%%% Punkte
\begin{pgfonlayer}{foreground}
\foreach \P in {A,B,C,Aq, Bq,Bs,Cs,P,Q,R,S,M,T, X}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{pgfonlayer}
 
\end{tikzpicture}
% Annotation
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
 
%\begin{enumerate}
%\item Errichte das Quadrat über $|AB|=c$.
%\item Ergänze an der Quadratseite $BB^*$ das zum Dreieck $ABC$ kongruente Dreieck $B'BB^*$.
%\item Bilde das Parallelogramm $B'C'CB$ aus den Seiten $|BB'|$ und $|BC|$; dieses hat den Flächeninhalt $A_P 
%= a\cdot h 
%= a b \sin(90^\circ-\gamma)
%= a b \cos(\gamma)$.
%\item Bilde aus dem Parallelogramm das flächengleiche Rechteck $PQCB$; verdopple das Rechteck zum Rechteck $RSCB$; dieses hat den Flächeninhalt $A = 2h \cdot a$. 
%\item Verlängere die Rechtecksseite $|CS|$ um $a = |RS|$, Endpunkt sei $T$. 
%\item Errichte über der Strecke $|CT|$ den Thaleskreis (Mittelpunkt sei $M$).
%\item Bestimme den Schnittpunkt derjenigen Geraden durch $|RS|$ mit dem Thaleskreis; der Schnittpunkt sei $X$. 
%\item Dann gilt für das rechtwinklige Dreieck $CTX$ nach dem Höhensatz: Das Rechteck aus den Höhenabschnitten ($2h$ und $a$) der zur Hypothenuse gehörenden Höhe ist so groß wie das Quadrat über der Höhe; mit anderen Worten: $
%A= 2h \cdot a = 2 b \cos(\gamma) \cdot a = 2ab\cos(\gamma)$. 
%\end{enumerate}
 
\end{varwidth}% <------- 
\end{document}


 main.tex
latex
% main.tex  
 
%\documentclass[11pt]{article}
\documentclass[11pt]{scrartcl} % besser eine KOMA-Klasse, wg. Layout
\addtokomafont{disposition}{\rmfamily} % optional: Serifenschrift für Überschriften
 
% Alle Dokumente:
\input{header}
 
% Nur Hauptdokument
%\input{Randnotizen}  % <---- Vorschlag
 
\usepackage{geometry}
\geometry{% showframe,   % Ränder anzeigen
   left=2.5cm,
   textwidth=16cm, % .... fraglich
   marginpar=3cm,
   top=2cm,
   bottom=2.5cm, %2cm,
   %
   head=1.5\baselineskip,    %
   foot=1.5\baselineskip,   
includehead, includefoot,  % evtluell, wegen ergänztem Kopf-/Fuß
}
% \setlength{\parindent}{0pt}  
\setparsizes{0pt}{0pt}{0pt plus 1fil} %<- "besser"
 
% Kopf- und Fusszeile
\usepackage[headsepline, footsepline, autoenlargeheadfoot=true]{scrlayer-scrpage} 
\setkomafont{pagehead}{\normalfont} % sonst kursiv
\setkomafont{pagefoot}{\normalfont} %    --- " --- 
 
\ohead[Auf Kapitelstartseiten oben außen]{oben außen}
\chead[Auf Kapitelstartseiten oben mitte]{oben mitte}
\ihead[Auf Kapitelstartseiten oben innen]{oben innen}
\ofoot[Auf Kapitelstartseiten unten außen]{ unten außen}
\cfoot[Auf Kapitelstartseiten unten mitte]{\pagemark}
\ifoot[Auf Kapitelstartseiten unten innen]{unten innen}
 
\usepackage{hyperref} %
\begin{document}
\Aufg[Geometrie]{4-061044}
\Lsg{4-061044graph}
\input{L4-061044text}
\end{document}









2019-04-25 13:36 - stpolster in Beitrag No. 74 schreibt:
Nebenbei: Ich habe die Layer wieder eingefügt.

Aber scheinbar nur teilweise.


Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 800
Aus: Chemnitz
Beitrag No.86, eingetragen 2019-04-26 00:59

Aufgabe 6 - 051246
Man beweise den folgenden Satz:
Wenn der Schnitt jeder Ebene, die mit der Fläche F mehr als einen Punkt gemeinsam hat, ein Kreis ist, dann ist F eine Kugel(fläche).

Lösung
Wähle einen Schnittkreis $k$ einer Ebene mit der Fläche $F$ (Schnittkreise existieren, weil $F$ eine Fläche ist und somit mehr als einen Punkt enthält).
Nun betrachte die Ebenenschar $E_t$ bestehend aus allen Ebenen $e'$, die durch den Mittelpunkt von $k$ gehen und senkrecht auf der Ebene von $k$ stehen. Eine beliebige solche Ebene $e'$ schneidet $k$ in zwei (auf $k$ gegenüberliegenden) Punkten. Insbesondere schneidet $e'$ also die Fläche $F$ in zwei Punkten, sodass die Schnittfigur einen Kreis $k'$ darstellt. Alle anderen Ebenen der Schar $E_t$ schneiden nun $k'$ in denselben zwei Punkten und sie schneiden $k$. Man sieht leicht, dass die entsprechenden Schnittkreise alle denselben Mittelpunkt und Radius haben, sodass sie insgesamt eine Kugelfläche bilden.
Dies zeigt, dass eine Kugelfläche in $F$ enthalten ist. Da die Ebenenschar $E_t$ aber den ganzen Raum überdeckt und somit jeden möglichen Schnittpunkt mit der Fläche $F$ enthalten muss, folgt, dass $F$ in der Kugelfläche enthalten ist. Beides zusammen impliziert, dass $F$ eine Kugelfläche ist.



stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.87, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-26 08:20

Hallo,
ich habe im ganzen Text die "einzelnen" Variablen usw. nun korrekt auf kursiv gesetzt, den Text nochmals neu formatiert und zwei Lösungen ergänzt.
Jetzt haben wir schon 85 Lösungen. Sensationell in der kurzen Zeit. Danke.

@Hyperplot: Deine Vorschläge sind sehr interessant, übersteigen aber im Moment (noch) meine Fähigkeiten. Ich werde Schritt für Schritt mir alles genau ansehen und (wahrscheinlich) übernehmen. Danke.

LG Steffen

Nachtrag: Kurios! Der PDF-Text wurde diese Nacht 4:46 Uhr aus Bhutan(!) heruntergeladen. Noch nie hatte meine Seite Zugriff aus Bhutan.
Da hat wohl jemand mit seinem Tor-Browser eine seltene Verbindung erhalten.  razz


Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 800
Aus: Chemnitz
Beitrag No.88, eingetragen 2019-04-26 10:06

2019-04-25 21:39 - StrgAltEntf in Beitrag No. 83 schreibt:
Aufgabe 051223:
[...]
Zu a)
[...]

Zu b)
Leider gibt es keine einfache Lösung mit einer Konstante $1\neq c\in \mathbb{R}$, sodass $f \equiv c$, da dann $-c^2=1$ nach Bedingung 2) gelten müsste.

Hingegen funktioniert es für $a=\pi/12$ mit $f(x)=\tan(3x)$, aufgrund des Additionstheorems $$\tan(x+y)=\frac{\tan x +\tan y}{1-\tan x \tan y}$$ und $\tan(\pi/4)=1$.
Zudem ist Bedingung 1) erfüllt: [folgendes war Quatsch, siehe untere Beiträge...]Wenn $x$ im Definitionsbereich von $\tan(3x)$ liegt, so gilt $3x\neq 3k\pi+3\pi/2$ für alle $k\in \mathbb{Z}$. Dann ist aber $3x\pm \pi/12$ auch im Definitionsbereich. Andernfalls wäre nämlich $3x\pm \pi/12=3k\pi+3\pi/2$ für ein $k\in \mathbb{Z}$, woraus aber $3x=3(k\pm 1)\pi+3\pi/2$ folgen würde, Widerspruch.



weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4972
Aus:
Beitrag No.89, eingetragen 2019-04-26 10:10

2019-04-26 08:20 - stpolster in Beitrag No. 87 schreibt:
Nachtrag: Kurios! Der PDF-Text wurde diese Nacht 4:46 Uhr aus Bhutan(!) heruntergeladen. Noch nie hatte meine Seite Zugriff aus Bhutan.

Aus Bhutan, hört sich gut an! Bislang wusste ich nicht einmal, dass es diesen Staat überhaupt gibt.  biggrin

Aber es wundert mich nicht, denn das ist ein echt tolles Projekt, das du da auf die Beine gestellt hast, und die eifrige Mitarbeit seites der Forumuser hier spiegelt das einfach nur wider. Chapeau!  wink



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.87 begonnen.]


HyperPlot
Aktiv
Dabei seit: 06.01.2019
Mitteilungen: 358
Aus: Kneedeep in the Dead
Beitrag No.90, eingetragen 2019-04-26 14:19




<math>

\pagecolor{black!1}

\pgfmathsetmacro{\R}{3.2}
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{70} %

\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-2*\Alpha} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Sehnen-Trapez
\coordinate[Punkt={below}{M}] (M) at (0,0);
\coordinate[Punkt={left}{A}] (A) at (-\R,0);
\coordinate[Punkt={right}{B}] (B) at (\R,0);
\draw[name path=kreis] (M) circle[radius=\R];

\path[name path=AD, overlay] (A) --+ (\Alpha:2*\R);
\path[name intersections={of=kreis and AD, name=D}];
\coordinate[Punkt={left}{D}] (D) at (D-2);

\path[name path=BD, overlay] (D) --+ (2*\R,0);
\path[name intersections={of=kreis and BD, name=C}];
\coordinate[Punkt={right}{C}] (C) at (C-1);

\draw[] (A) -- (B) -- (C) -- (D) --cycle;

% Trapezdiagonale
\path[name path=DC] (D) -- (C);

% Dreieck
\coordinate[Punkt={above}{C_1}] (C1) at (90:\R);

\pgfmathsetmacro{\k}{2*\R}
\path[name path=B1C1, overlay] (C1) --+ ($\k*(C)-\k*(B)$)
(C1) --+ ($-\k*(C)+\k*(B)$);
\path[name intersections={of=kreis and B1C1, name=B1}];
\coordinate[Punkt={right}{B_1}] (B1) at (B1-2);

\path[name path=A1C1, overlay] (C1) --+ ($\k*(D)-\k*(A)$)
(C1) --+ ($-\k*(D)+\k*(A)$);
\path[name intersections={of=kreis and A1C1, name=A1}];
\coordinate[Punkt={left}{A_1}] (A1) at (A1-2);

\draw[] (A1) -- (B1) -- (C1)  --cycle;


\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
%pic text={$\gamma$}, pic text options={yshift=3mm},  double,
"$\gamma$",   double,
] {angle =A1--C1--B1};

% Kongruentes Dreieck
\path let
\p0 = (A), % Zentrum
\p1 = (C),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % "pt" abstreifen
\pgfmathsetlengthmacro{\AC}{\Radius} % "pt" abstreifen
%\draw[red] (C1) -- ($(C1)!\AC!(A1)$);  % Test

\draw[red] (A) --+ (-0.5*\Gamma:\Radius) coordinate[Punkt={right}{P}] (P) -- (C) -- (A);

\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
pic text={$\gamma$}, pic text options={yshift=3mm},  double,
%"$\gamma$",
] {angle =P--A--C};

% Hhen im Trapez
\draw[densely dashed] (D)  -- ($(A)!(D)!(B)$) coordinate[Punkt={anchor=north west}{L}] (L) node[midway, right]{$h$};

\draw[densely dashed] (C)  -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[Punkt={anchor=north east}{L"}] (Ls) node[midway, left]{$h$};

\path[] (Ls) -- (P) node[midway, left]{$h$};

\path[] (Ls) -- (B) node[midway, above]{$x$};

%% Punkte
\foreach \P in {M,L,Ls, A,C,P}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\end{tikzpicture}

% Annotation
%\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}

\rule{0.8\textwidth}{0.4pt}

\begin{minipage}{0.7\textwidth}
\begin{itemize} % enumerate
\item Legt man durch die Trapezecke $A$  eine Gerade so, dass sie mit der  Trapezdiagonalen $|AC|$ den Dreieckswinkel  $\gamma$ einschliet, so schneidet die Gerade den Umkreis in einem Punkte $P$; und man erhlt mit $PCA$ ein zum gegebenen Dreieck $A_1 B_1 C_1$ kongruentes (also flchengleiches) Dreieck, da die Dreiecke $PCA$ und $A_1 B_1 C_1$ in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel bereinstimmen.

\item Sei wie blich $|AB|=a$, dann berechnet sich die Trapezflche zu $$
A_T = |LL"|\cdot h +2\cdot \dfrac12 xh
= (a-2x)\cdot h + x\cdot h = (a-x)\cdot h$$

\item Die Dreiecksflche berechnet sich zu $$
A_\Delta = \dfrac{2h \cdot (a-x)}{2} = h\cdot (a-x)
$$
\item Also ist $A_T = A_\Delta$. \\[1em]
\phantom{aaa}
\end{itemize}
\end{minipage}
</math>

LaTeX-Code
latex
% 020924
% https://mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/03/OMKlasse_09.pdf
 
\documentclass[margin=5pt]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
 
\usepackage{varwidth}
\begin{document}
 
 
\begin{varwidth}{\linewidth}
 
\pgfmathsetmacro{\R}{4} 
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{70} %  
 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-2*\Alpha} %  
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Sehnen-Trapez
\coordinate[Punkt={below}{M}] (M) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={left}{A}] (A) at (-\R,0); 
\coordinate[Punkt={right}{B}] (B) at (\R,0); 
\draw[name path=kreis] (M) circle[radius=\R];
 
\path[name path=AD, overlay] (A) --+ (\Alpha:2*\R);
\path[name intersections={of=kreis and AD, name=D}];
\coordinate[Punkt={left}{D}] (D) at (D-2); 
 
\path[name path=BD, overlay] (D) --+ (2*\R,0);
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\coordinate[Punkt={right}{C}] (C) at (C-1); 
 
\draw[] (A) -- (B) -- (C) -- (D) --cycle;
 
% Trapezdiagonale
\path[name path=DC] (D) -- (C);
 
% Dreieck
\coordinate[Punkt={above}{C_1}] (C1) at (90:\R); 
 
\pgfmathsetmacro{\k}{2*\R} 
\path[name path=B1C1, overlay] (C1) --+ ($\k*(C)-\k*(B)$)
(C1) --+ ($-\k*(C)+\k*(B)$);
\path[name intersections={of=kreis and B1C1, name=B1}];
\coordinate[Punkt={right}{B_1}] (B1) at (B1-2); 
 
\path[name path=A1C1, overlay] (C1) --+ ($\k*(D)-\k*(A)$)
(C1) --+ ($-\k*(D)+\k*(A)$);
\path[name intersections={of=kreis and A1C1, name=A1}];
\coordinate[Punkt={left}{A_1}] (A1) at (A1-2); 
 
\draw[] (A1) -- (B1) -- (C1)  --cycle;
 
 
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
 %pic text={$\gamma$}, pic text options={yshift=3mm},  double, 
"$\gamma$",   double, 
] {angle =A1--C1--B1};
 
% Kongruentes Dreieck
\path let             
\p0 = (A), % Zentrum
\p1 = (C),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\pgfmathsetlengthmacro{\AC}{\Radius} % 'pt' abstreifen
%\draw[red] (C1) -- ($(C1)!\AC!(A1)$);  % Test
 
\draw[red] (A) --+ (-0.5*\Gamma:\Radius) coordinate[Punkt={right}{P}] (P) -- (C) -- (A);
 
\draw pic [draw, angle radius=5mm, %angle eccentricity=1.3,
 pic text={$\gamma$}, pic text options={yshift=3mm},  double, 
%"$\gamma$",  
] {angle =P--A--C};
 
% Höhen im Trapez
\draw[densely dashed] (D)  -- ($(A)!(D)!(B)$) coordinate[Punkt={anchor=north west}{L}] (L) node[midway, right]{$h$};
 
\draw[densely dashed] (C)  -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[Punkt={anchor=north east}{L'}] (Ls) node[midway, left]{$h$};
 
\path[] (Ls) -- (P) node[midway, left]{$h$};
 
\path[] (Ls) -- (B) node[midway, above]{$x$};
 
%% Punkte
\foreach \P in {M,L,Ls, A,C,P}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
\end{tikzpicture}
 
% Annotation
%\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\begin{itemize} % enumerate
\item Legt man durch die Trapezecke $A$  eine Gerade so, dass sie mit der  Trapezdiagonalen $|AC|$ den Dreieckswinkel  $\gamma$ einschließt, so schneidet die Gerade den Umkreis in einem Punkte $P$; und man erhält mit $PCA$ ein zum gegebenen Dreieck $A_1 B_1 C_1$ kongruentes (also flächengleiches) Dreieck, da die Dreiecke $PCA$ und $A_1 B_1 C_1$ in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
 
\item Sei wie üblich $|AB|=a$, dann berechnet sich die Trapezfläche zu $$
A_T = |LL'|\cdot h +2\cdot \dfrac12 xh
= (a-2x)\cdot h + x\cdot h = (a-x)\cdot h$$
 
\item Die Dreiecksfläche berechnet sich zu $$
A_\Delta = \dfrac{2h \cdot (a-x)}{2} = h\cdot (a-x)
$$
\item Also ist $A_T = A_\Delta$.
\end{itemize}
 
\end{varwidth}
\end{document}
 




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Beitrag No.91, eingetragen 2019-04-26 15:00

@ HyperPlot
Legt man durch die Trapezecke $A$  eine Gerade so, dass sie mit der  Trapezdiagonalen $|AC|$ den Dreieckswinkel  $\gamma$ einschließt, so schneidet die Gerade den Umkreis in einem Punkte $P$; und man erhält mit $PCA$ ein zum gegebenen Dreieck $A_1 B_1 C_1$ kongruentes, also flächengleiches, Dreieck.
Hier fehlt eine wesentliche Begründung für die Kongruenz der Dreiecke.


Ex_Senior
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Beitrag No.92, eingetragen 2019-04-26 15:21

..., da die Dreiecke $PCA$ und $A_1 B_1 C_1$ in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
Genau dafür fehlt ein Argument.


Ex_Senior
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Beitrag No.93, eingetragen 2019-04-26 18:53

Aufgabe 070935:
Von einem Dreieck ABC seien die Seitenlängen a, b und c bekannt.
Berechnen Sie die Länge <math>s_c</math> der Seitenhalbierenden der Seite AB!
Sei $S$ der Mittelpunkt der Strecke $AB$. Mittels Kosinussatz in den Dreiecken $ABC$ und $ASC$ erhalten wir:
\[\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \text{cos}(\alpha) = \frac{b^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2-s_c^2}{2b\frac{c}{2}}\] und somit
\[\frac{1}{2}(b^2+c^2-a^2)=b^2+\frac{1}{4}c^2-s_c^2 \iff\\
s_c^2 = \frac{1}{4}(2a^2+2b^2-c^2)\]


StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Beitrag No.94, eingetragen 2019-04-26 20:40

Zu 051223, Teil b:

2019-04-26 10:06 - Kornkreis in Beitrag No. 88 schreibt:
Hingegen funktioniert es für $a=\pi/12$ mit $f(x)=\tan(3x)$, aufgrund des Additionstheorems $$\tan(x+y)=\frac{\tan x +\tan y}{1-\tan x \tan y}$$ und $\tan(\pi/4)=1$.

Weshalb nimmst du nicht einfacher \(f(x)=\tan(x)\) und \(a=\pi/4\)?

Hier noch eine auf ganz \(\IR\) definierte Funktion:

Sei \(f(x)=2\) für \(0\leq x<1\), , \(f(x)=-3\) für \(1\leq x<2\),\(f(x)=-1/2\) für \(2\leq x<3\), \(f(x)=1/3\) für \(3\leq x<4\). Setze diese Funktion 4-periodisch auf \(\IR\) fort. Für \(a=1\) ist die Funktionalgleichung erfüllt.

Zusatzaufgabe: Finde eine auf ganz \(\IR\) stetige (oder diffbare) Funktion!


Kuestenkind
Senior
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Beitrag No.95, eingetragen 2019-04-26 20:59

Huhu Steffen,

hier eine Lösung für 061245:




Nun - es geht also um die Gleichung \[5x+2y+z=10n\quad(\star)\] Betrachten wir doch mal die kleinste natürliche Zahl. Sei also \(n=1\). Dann suchen wir also die nichtnegativen Lösungen für \(5x+2y+z=10\iff 2y+z=10-5x\). Offensichtlich kann \(x\) also nur die Werte \(0,1,2\) annehmen. Für \(x=0\) kann \(z\) die Werte \(10,8,6,...,0\) annehmen. Für \(x=1\) kann \(z\) die Werte \(5,3,1\) annehmen und für \(x=2\) kann \(z\) nur den Wert 0 annehmen. Wir erhalten also insgesamt \(6+3+1=10\) Lösungen.

Nun setzen wir in \((\star)\) mal \(x\mapsto x-2\). Wir erhalten:

\[5(x-2)+2y+z=10n\iff5x+2y+z=10(n+1)\quad( \square)\]
Sei nun \(A(n+1)\) die Anzahl der ganzzahligen nichtnegativen Lösungen von \((\square)\). Dann ist \(A(n+1)-A(n)\) gleich die Anzahl der ganzzahligen nichtnegativen Lösungen für \(x=0\) und \(x=1\) in \((\square)\).

1. Fall: Sei \(x=0\)

\(\displaystyle 2y+z=10n+10\)

Es gilt \(0\leq y\leq 5n+5\) und somit erhalten wir \(5n+6\) Lösungen.

2. Fall: Sei \(x=1\)

\(\displaystyle 5+ 2y+z=10n+10\iff 2y+z=10n+5\)

Es gilt \(0\leq y\leq 5n+2\) und somit erhalten wir \(5n+3\) Lösungen.

Es gilt somit \(A(n+1)-A(n)=10n+9\) sowie \(A(1)=10\). Rekursiv können wir also \(A(n)\) berechnen.

\(\displaystyle A(n)=10+\sum_{k=1}^{n-1}(10k+9)=10+9(n-1)+10\frac{(n-1)n}{2}=5n^2+4n+1\)


Ein schönes Wochenende wünscht,

Küstenkind

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.93 begonnen.]


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
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Beitrag No.96, eingetragen 2019-04-26 21:06
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-04-26 20:40 - StrgAltEntf in Beitrag No. 94 schreibt:
Zusatzaufgabe: Finde eine auf ganz \(\IR\) stetige (oder diffbare) Funktion!
Gibt es nicht:
Wäre $f$ stetig, so hätte $f$ wegen $f(x+2a)=-\frac 1{f(x)}$ nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle $x_0$. Dann wäre $f(x_0+a)=1$. $x_1:= x_0+a$ kann aber nicht im Definitionsbereich von $f$ liegen, da sonst auch $x_1+a$ im Definitionsbereich läge, obwohl die Gleichung $f(x_1+a)=\frac{1+f(x_1)}{1-f(x_1)}$ wegen $f(x_1)=1$ nicht erfüllt sein kann.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.94 begonnen.]

Daran sieht man auch, dass $f= \tan, a=\frac\pi 4$ bzw. $f(x)= \tan(3x), a= \frac \pi{12}$ nur dann den Anforderungen der Aufgabe entsprechen, wenn man den Definitionsbereich noch weiter als üblich einschränkt.
Da ist also ein Fehler in
2019-04-26 10:06 - Kornkreis in Beitrag No. 88 schreibt:
Zudem ist Bedingung 1) erfüllt: Wenn $x$ im Definitionsbereich von $\tan(3x)$ liegt, so gilt $3x\neq 3k\pi+3\pi/2$ für alle $k\in \mathbb{Z}$. Dann ist aber $3x\pm \pi/12$ auch im Definitionsbereich. Andernfalls wäre nämlich $3x\pm \pi/12=3k\pi+3\pi/2$ für ein $k\in \mathbb{Z}$, woraus aber $3x=3(k\pm 1)\pi+3\pi/2$ folgen würde, Widerspruch.

Im Fall von $f= \tan, a=\frac\pi 4$ ist als Definitionsbereich nur $\IR\setminus (\frac \pi 4 \IZ)$ zulässig.
Entsprechend ist für $f(x)= \tan(3x), a= \frac \pi{12}$ nur der Definitionsbereich $\IR\setminus (\frac \pi {12} \IZ)$ erlaubt.

\(\endgroup\)

stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
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Aus: Chemnitz
Beitrag No.97, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-26 21:56

Wieder ein großes Danke an alle.
Jetzt sind wir bei 96 Lösungen auf 100 Seiten (ist schon online).

LG Steffen


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1415
Aus:
Beitrag No.98, eingetragen 2019-04-26 22:14

Huhu,

061246 findet man samt Lösung in A. Engel, Problem-Solving Strategies.



Gruß,

Küstenkind


HyperPlot
Aktiv
Dabei seit: 06.01.2019
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Aus: Kneedeep in the Dead
Beitrag No.99, eingetragen 2019-04-26 22:20

2019-04-26 08:20 - stpolster in Beitrag No. 87 schreibt:
@Hyperplot: Deine Vorschläge sind sehr interessant, übersteigen aber im Moment (noch) meine Fähigkeiten. Ich werde Schritt für Schritt mir alles genau ansehen und (wahrscheinlich) übernehmen. Danke.

Ich habe schnell gesehen, welche Schwierigkeiten sich da auftun. Ich sag mal: in Deiner Haut möchte ich nicht stecken.

Aber: das kriegt man schon hin, nach und nach.  wink


PS: Kopf- und Fußzeile, was Du wolltest, hatte ich plakativ ergänzt. Das ist einfach der Teil
latex
% Kopf- und Fusszeile
\usepackage[headsepline, footsepline, autoenlargeheadfoot=true]{scrlayer-scrpage} 
\setkomafont{pagehead}{\normalfont} % sonst kursiv
\setkomafont{pagefoot}{\normalfont} %    --- " --- 
 
\ohead[Auf Kapitelstartseiten oben außen]{oben außen}
\chead[Auf Kapitelstartseiten oben mitte]{oben mitte}
\ihead[Auf Kapitelstartseiten oben innen]{oben innen}
\ofoot[Auf Kapitelstartseiten unten außen]{ unten außen}
\cfoot[Auf Kapitelstartseiten unten mitte]{\pagemark}
\ifoot[Auf Kapitelstartseiten unten innen]{unten innen}

einfach hier übernommen: de.wikibooks.org/wiki/LaTeX-Kompendium:_Baukastensystem

Es wäre dabei, bei scrlayer-scrpage, allerdings besser eine KOMA-Klasse zu verwenden, also ganz oben
latex
%\documentclass[11pt]{article} % ALT
\documentclass[11pt]{scrartcl} % NEU: besser eine KOMA-Klasse, wg. Layout
\addtokomafont{disposition}{\rmfamily} % optional: Serifenschrift für Überschriften




[Die Antwort wurde nach Beitrag No.97 begonnen.]


ZePhoCa
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Beitrag No.100, eingetragen 2019-04-26 22:55

Aufgabe 080921:

a) Ein Beispiel ist $2,3,4,5,6$.
b) Nennen wir die erste Zahl $n$. $n$ muss durch $2$ teilbar, also gerade sein. $n+1$ muss durch $3$ teilbar sein, also muss $n$ bei Division durch $3$ den Rest $2$ lassen. $n+2$ muss durch $4$ teilbar sein. Da $n$ gerade ist, ist $n+2$ auch gerade und genau dann durch $4$ teilbar, wenn $n$ nicht durch $4$ teilbar ist. $n+3$ muss durch $5$ teilbar sein, also muss $n$ bei Division durch $5$ den Rest $2$ lassen. $n+4$ muss durch $6$ teilbar sein. Durch $2$ teilbar ist es auf jeden Fall, da $n$ gerade ist. Da $n$ bei Division durch $3$ den Rest $2$ lässt ist $n+4$ auch durch $6$ teilbar. Also muss $n$ die folgenden Voraussetzungen erfüllen:

$n$ muss gerade aber nicht durch $4$ teilbar sein, bei Division durch $3$ den Rest $2$ lassen und bei Division durch $5$ ebenfalls den Rest $2$ lassen.

Für die Uni: Mit dem Chinesischen Restsatz kann man hieraus $n \equiv 2 \mod 60$ folgern.


ZePhoCa
Aktiv
Dabei seit: 15.09.2010
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Beitrag No.101, eingetragen 2019-04-26 23:07

Aufgabe 051234:

Für $n=0$ gilt die Aussage offenbar. Gelte nun die Aussage für ein $n \in \mathbb{N}$. Dann gilt $x_{n+1}^2 - 2y_{n+1}^2 = (x_n+2y_n)^2 - 2(x_n+y_n)^2 = 2y_n^2-x_n^2 = -(-1)^n = (-1)^{n+1}$.

Mit Induktion folgt die Aussage also für alle $n$.


Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
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Aus: Chemnitz
Beitrag No.102, eingetragen 2019-04-26 23:17

2019-04-26 20:40 - StrgAltEntf in Beitrag No. 94 schreibt:
Zu 051223, Teil b:
[...]
Weshalb nimmst du nicht einfacher \(f(x)=\tan(x)\) und \(a=\pi/4\)?


Ja das war Quatsch. Ich hatte erst Bedingung 1) übersehen, dass mit $x$ auch $x\pm \pi/4$ im Definitionsbereich liegen muss, und wollte das dann nachträglich reinwursteln, ohne den Definitionsbereich des Tangens beschränken zu müssen. Mit $f(x)=\tan(3x)$ wäre die Bedingung 1 dann erfüllt, bloß blöd, dass man dann $a=\pi/12$ statt $\pi/4$ nehmen sollte. Und eh kommt man nicht darum, den Definitionsbereich weiter einzuschränken, um bei Bedingung 2) nicht durch 0 zu dividieren.

@Steffen: Bitte die Lösung mit dem Tangens modifizieren: $f(x)=\tan(x)$ mit $a=\pi/4$ erfüllt beide Bedingungen, wobei aus dem Definitionsbereich des Tangens zusätzlich $\frac{\pi}{4} \mathbb{Z}$ entfernt werden muss.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.100 begonnen.]


expIphi
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Dabei seit: 28.12.2018
Mitteilungen: 36
Aus: The Shores of Hell
Beitrag No.103, eingetragen 2019-04-26 23:58

@stpolster

Es grenzt ans Erstaunliche mit welcher Überschallgeschwindigkeit Du die hier veröffentlichten Lösungen in das Sammelskript einpflegst.

Dennoch mein Tip: Warte ca. 24h; denn manchmal muss man doch noch etwas nachkorrigieren...


@ Rest:

Es wäre gut, hier zur Aufgabennummer jeweils auch den Aufgabentext zu posten (Screenshot o.ä.).
 


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
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Aus:
Beitrag No.104, eingetragen 2019-04-27 01:06
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Aufgabe 080923:
Geben Sie alle Paare (x, y) natürlicher Zahlen an, für die <math>x^3-y^3 = 999</math> ist!

Lösung
Offenbar erfüllt jede Lösung $x>y$. Es gibt also ein positives $z\in \IN$ mit $x=y+z$. Das führt zur äquivalenten Gleichung $z(z^2+3yz+3y^2)=999$. Es muss also $z$ ein Teiler von $999=3^3\cdot 37$ sein. Da $z(z^2+3yz+3y^2)$ genau dann durch $3$ teilbar ist, wenn $z$ durch drei teilbar ist und weil $z\leq z^2+3yz+3y^2$ gilt, bleiben nur noch die Möglichkeiten $(z,z^2+3yz+3y^2) =(3, 333)$ und $(z,z^2+3yz+3y^2) =(9, 111)$ übrig.

1. Fall: $(z,z^2+3yz+3y^2) =(3, 333)$
Dann gilt $9+9z+9y^2=333$, also $y^2+3y=108$. Die einzige natürliche Lösung dieser Gleichung ist $y=9$.
Das führt zur Lösung $(x,y)=(12,9)$.

2. Fall: $(z,z^2+3yz+3y^2) =(9, 111)$
Dann ist $81+27y+3y^2=111$, also $y^2+9y=10$, also $y=1$. Somit ist $(x,y)=(10,1)$ eine Lösung.

Insgesamt gibt es also genau zwei Lösungspaare, nämlich $(12,9)$ und $(10,1)$.



\(\endgroup\)

Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1630
Aus:
Beitrag No.105, eingetragen 2019-04-27 01:22
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Aufgabe 070932:
Auf einem (rechtwinkligen) Billardtisch ABCD befindet sich im Punkt P eine Kugel.
Nach welchem Punkt von AB muss diese gestoßen werden, damit sie erst der Reihe nach genau je einmal an den Seiten AB, BC, CD und DA des Tisches reflektiert wird und dann genau wieder im Punkt P eintrifft?

Man muss auf den Schnittpunkt von $AB$ mit der Parallelen zu $BD$ durch $P$ zielen. (Dieser Schnittpunkt existiert nur, wenn $P$ im Dreieck $ABD$ liegt.)
Zum Beweis reicht es aus ein einfaches Bild zu malen (vielleicht erbarmt sich jemand das zu tun):
Man spiegle $ABCD$ an $AB$.
Das dadurch erhaltene neue Rechteck $R_1$ spiegle man an der Seite, die $BC$ entspricht und erhalte $R_2$.
$R_2$ wiederum spiegle man an der Seite von $R_2$, die $CD$ entspricht. Das Spiegelrechteck sei $R_3$.
$R_3$ spiegelt man an der Seite, die $DC$ entspricht und erhalte $R_4$.
Sei $P'$ der Punkt in $R_4$, der $P$ entspricht. (Man beobachte, dass $R_4$ durch Verschiebung von $ABCD$ parallel zur Diagonalen $BD$ entsteht.)
Das Reflexionsgesetz sagt nun aus, dass wenn man die Kugel im Punkt $P$ in die Richtung von $P'$ stößt, man die Seiten in der gewünschten Reihenfolge trifft und anschließend wieder bei $P$ landet.
\(\endgroup\)

Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1630
Aus:
Beitrag No.106, eingetragen 2019-04-27 02:12
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Aufgabe 070933:
Man denke sich die natürlichen Zahlen von 1 bis 100, aufsteigend der Größe nach geordnet, angeschrieben.
Die dabei insgesamt aufgeschriebenen Ziffern denke man sich in unveränderter Reihenfolge zur Ziffernfolge
der hiermit erklärten Zahl
1234567891011121314...979899100
zusammengestellt.
Aus ihr sollen genau 100 Ziffern so gestrichen werden, dass die restlichen Ziffern in gleicher Reihenfolge eine möglichst große Zahl bilden.
Wie lautet diese?

Lösung
Zunächst beobachten wir, dass das Ergebnis immer die gleiche Anzahl an Ziffern hat, egal welche Ziffern man streicht.
Damit die Ergebniszahl mit mindestens fünf Neunen beginnt, muss man auf jeden Fall die Zahlen $1,2,\ldots, 8, 10, 11, \ldots, 18,20,21,\ldots, 28, 30,\ldots, 38, 40, 41,\ldots, 48$ und die Ziffer $4$ von $49$ streichen. Das sind $8+4\cdot 19= 84$ Ziffern.
Es ist nicht möglich, dass das Ergebnis mit sechs Neunen startet, denn dazu müsste man auch noch die Zahlen $50,51,\ldots, 58$ und die Ziffer $5$ von $59$ streichen, das wären dann aber schon $84+19 > 100$ Ziffern.
Es ist auch nicht möglich, dass das Ergebnis mit den Ziffern $999998$ beginnt, denn dazu müsste man zusätzlich noch $50,51,\ldots, 57$ und die $5$ von $58$ streichen, also insgesamt $84+17>100$ Ziffern.
Durch zusätzliche Streichung der Zahlen $50,51,\ldots, 56$ und der Ziffer $5$ von $57$ erhält man eine Zahl, die mit $999997$ beginnt und hat bisher $84+15=99$ Ziffern gestrichen.
Streicht man danach auch noch die Ziffer $5$ von $58$, hat man 100 Ziffern gestrichen und erhält $\varepsilon:=999997859606162...99100$ als Ergebnis.
Streicht man die Ziffer $5$ von $58$ nicht, so bekommt man eine Zahl, die mit $9999975$ beginnt, also kleiner als $\varepsilon$ ist.
Also ist $\varepsilon$ die größte mögliche Zahl.

\(\endgroup\)

stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.107, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-27 09:06

Jetzt sind es 108 Lösungen und eine Menge neuer Aufgaben der Klasse 10.
Heute muss ich leider etwas kürzer treten, sonst "frisst" mich meine Frau mit Haut und Haaren. (langweilige Familienfeier, Mathe ist viel schöner smile )

LG Steffen


Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 487
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Beitrag No.108, eingetragen 2019-04-27 10:06

051225
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Creasy
Senior
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 376
Aus:
Beitrag No.109, eingetragen 2019-04-27 11:26

Aufgabe 080931:
Marlies erklärt Claus-Peter ein Verfahren, nach dem man, wie sie meint, die Quadrate der natürlichen Zahlen von 26 bis 50 leicht ermitteln kann, wenn man die Quadrate der natürlichen Zahlen bis 25 auswendig weiß.
”Wenn du beispielsweise das Quadrat von 42 berechnen willst, dann bildest du die Ergänzung dieser Zahl bis 50 und quadrierst sie. Das wäre in diesem Falle 64.
Davor setzt du die Differenz zwischen deiner Zahl und 25, in deinem Falle also 17.
Die so gebildete Zahl, hier also 1764, ist bereits das gesuchte Quadrat von 42.”
Prüfen Sie die Richtigkeit dieses Verfahrens für alle Zahlen des angegebenen Bereichs!


Wir testen die Zahl 30. Das Quadrat ist 900, aber das Verfahren liefert: 5400.

Verwirrend..

Grüße
Creasy


Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.110, eingetragen 2019-04-27 11:51

@Creasy: Damit hast du einen von 25 Fällen bearbeitet; für welche der Zahlen von 26 bis 50 berechnet das Verfahren korrekt die Quadratzahl, und für welche nicht?

Cyrix


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1415
Aus:
Beitrag No.111, eingetragen 2019-04-27 14:09

Huhu,

Lösung zu 061244:




Wir unterscheiden die Fälle \(n\) gerade und \(n\) ungerade. Seien also \(P_k\), \(P_l\) und \(P_m\) die Eckpunkte des Dreiecks im Uhrzeigersinn. Zunächst stellen wir fest, dass das Dreieck \(P_kP_lP_m\) genau dann einen rechten Winkel in \(P_l\) hat, wenn \(P_l\) auf dem Halbkreis über der Strecke zwischen \(P_k\) und \(P_m\) liegt (Satz des Thales). Wir fordern nun, dass der gewünschte stumpfe Winkel in \(P_l\) liegt. Dieses ist offensichtlich der Fall, wenn \(P_l\) und \(P_k\) auf einem Kreisbogen liegen, der weniger als die Hälfte des Umkreises vom regelmäßigen n-Eck einnimmt. Zunächst legen wir also einen beliebigen Punkt \(P_k\) fest. Dafür haben wir in beiden Fällen \(n\) Möglichkeiten.

1.Fall: Sei \(n\) gerade.
Wir suchen nun die beiden fehlenden Punkte mit obiger Forderung. Zählen wir \(\frac{n}{2}\) Punkte von \(P_k\) weiter und setzen den Punkt \(P_m\), so hat jedes Dreieck in \(P_m\) einen rechten Winkel. Wir können also die fehlenden 2 Punkte für das stumpfe Dreieck aus \(\frac{n}{2}-1\) auswählen.

2. Fall: Sei \(n\) ungerade.
Zeichnen wir den Durchmesser durch \(P_k\), so liegen in diesem Fall genau \(\frac{n-1}{2}\) Eckpunkte auf jedem Halbkreis. Davon können wir wieder 2 beliebig auswählen.

Sei \(A(n)\) die Gesamtanzahl der stumpfwinkligen Dreiecke, erhalten wir somit:

\(\displaystyle A(n)=\begin{cases}n\binom{\frac{n}{2}-1}{2}\quad, n\, \text{gerade}\\ n\binom{\frac{n-1}{2}}{2}\quad, n\, \text{ungerade}\end{cases} \)



Ob dieses Ergebnis so stehengelassen werden kann und ob obige Begründungen ausreichen - dazu kann ja vll cyrix noch was sagen.

Gruß,

Küstenkind


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4972
Aus:
Beitrag No.112, eingetragen 2019-04-27 14:24

Was ich bei all der lobenswerten Mühe, welche sich die Leute hier bei der Ausarbeitung der Lösung geben, ein bißchen schade finde, dass sie sich nicht auch noch der meist vergleichsweise kleinen Mühe unterziehen, auch die Aufgabenstellung noch mit anzugeben, die nicht selten ohnehin nur aus 3 Zeilen besteht. Ich weiß, das wurde hier schon mehrfach moniert, aber ich sag's auch noch einmal, nach der Devise: Doppelt hält besser!  wink


Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.113, eingetragen 2019-04-27 14:30

@Küstenkind: Nun, ich sehe mich nicht als offizieller Korrektor der hier veröffentlichten Lösungen. Es kann ja auch jeder andere Mitleser seine Meinung sagen. :) Nicht destotrotz habe ich an deiner Lösung der 061244 nichts auszusetzen. :)

Cyrix


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1415
Aus:
Beitrag No.114, eingetragen 2019-04-27 14:35

Ja, natürlich war jeder andere auch herzlich eingeladen seine Meinung zu äußern. Danke fürs Drüberschauen!

@weird: Ich habe die Aufgabenstellungen ergänzt. Entschuldige bitte!

Ich wünsche euch ein schönes Wochenende!

Viele Grüße,

Küstenkind


Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.115, eingetragen 2019-04-27 14:55

Na dann machen wir den zweiten Tag der DDR-Runde der 6. Olympiade, Klasse 12, noch vollständig:

Aufgabe 061245: Ermitteln Sie zu jeder natürlichen Zahl <math>n</math> die Anzahl <math>A(n)</math> aller ganzzahligen nichtnegativen Lösungen der Gleichung <math>5x+ 2y+z= 10n</math>!

Hinweis: Ich lese das Ausrufezeichen als Satzende, nicht als Fakultät, da die andere Variante keine Änderung der Aufgabe nach sich zieht, außer, dass man überall <math>n</math> durch <math>n!</math> ersetzen müsste.

Lösung:

Offenbar gibt es für jedes <math>0\leq x \leq 2n</math> und jedes <math>0\leq y \leq \frac{10n-5x}{2}</math> genau ein <math>0\leq z=10n-5x-2y</math>. Es ist also die Summe <math>A(n)=\sum_{x=0}^{2n} \left(1+\left[\frac{10n-5x}{2}\right]\right)=2n+1+\sum_{x=0}^{2n} \left[\frac{10n-5x}{2}\right]</math> zu bestimmen.

Für <math>x=2n</math> erhalten wir in der zweiten Summe den Wert 0. Alle übrigen Summanden erhält man, indem man für <math>x</math> entweder <math>2k</math> oder <math>2k+1</math> einsetzt, wobei <math>k</math> die natürlichen Zahlen von <math>0</math> bis <math>n-1</math> durchläuft. Also ist

<math>A(n)=2n+1+\sum_{k=0}^{n-1} \left(\left[\frac{10n-5 \cdot 2k}{2}\right]+ \left[\frac{10n-5 \cdot (2k+1)}{2}\right]\right)=2n+1 +\sum_{k=0}^{n-1} \left(5(n-k)+5(n-k)-3\right)=2n+1-3n+10\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)=1-n+10\sum_{\ell=1}^{n}\ell=1-n+10 \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2}=1-n+5n^2+5n=5n^2+4n+1.</math>

Cyrix


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1630
Aus:
Beitrag No.116, eingetragen 2019-04-27 15:03
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Aufgabe 051233:
a) Man ermittle sämtliche Funktionen <math>y = f(x)</math>, die für alle reellen Zahlen definiert sind und der Gleichung
\[
a \cdot f(x - 1) + b \cdot f(1 - x) = cx
\] (<math>a, b, c</math> reelle Zahlen) genügen, falls <math>|a| \neq |b|</math> gilt.\\
b) Man diskutiere ferner den Fall <math>|a| = |b|</math>.

Lösung
Die Substitution $z:= x-1$ zeigt, dass die Funktionalgleichung genau dann erfüllt ist, wenn $af(z)+bf(-z)=c(z+1)$ (*) für alle $z\in \IR$ gilt.
Daher gilt auch $af(-z)+bf(z)=c(1-z)$ (**).
Multipliziert man (*) mit $a$ und addiert das $-b$-fache von (**), erhält man $(a^2-b^2)f(z)=((a+b)z+a-b)c$ (***)

Falls $|a|\not=|b|$, dann ist $a^2-b^2\not=0$ und es folgt $f(z)=c(\frac z{a-b}+\frac 1{a+b})$. Eine Probe zeigt, dass dies tatsächlich eine Lösung der Funktionalgleichung ist:
\[ac(\frac z{a-b}+\frac 1{a+b})+bc(\frac {-z}{a-b}+\frac 1{a+b})=c(\frac{z(a-b)}{a-b}+\frac{a+b}{a+b})= c(z+1)\]
Falls $a=b$, so ist (***) äquivalent zu $0=acz$. Einsetzen von $z=1$ zeigt, dass die Funktionalgleichung nur dann eine Lösung haben kann, wenn $ac=0$, also $a=0\lor c=0$ ist.
Ist $a=0$, so ist die Funktionalgleichung äquivalent zu 0=cx ist. Einsetzen von $x=1$ zeigt, dass $c=0$ gelten muss.
Ist $a\not=0$, aber $c=0$, so ist (*) äquivalent zu $f(y)+f(-y)=0$. In diesem Fall ist also jede ungerade Funktion $f:\IR\to \IR$ eine Lösung der Funktionalgleichung.

Falls $a=-b$ und $a\not=b$ (insbesondere also $a\not=0$), dann zeigt (***), dass $0=c$ gelten muss. Damit ist (*) äquivalent zu $f(z)-f(-z)=0$, was genau dann erfüllt ist, wenn $f:\IR\to \IR$ eine gerade Funktion ist.

Zusammenfassend gilt also:
Falls $|a|\not=|b|$, dann ist $f(x)=c(\frac x{a-b}+\frac 1{a+b})$ die einzige Lösung der Funktionalgleichung.
Falls $|a| = |b|$ und $c\not = 0$, dann hat die Funktionalgleichung keine Lösung.
Falls $a=b\not=0$ und $c=0$, dann ist $f$ eine Lösung genau dann, wenn $f$ eine ungerade Funktion ist.
Falls $a=-b\not=0$ und $c=0$, dann ist $f$ eine Lösung genau dann, wenn $f$ eine gerade Funktion ist.
Falls $a=b=c=0$ ist, dann erfüllen alle Funktionen $f:\IR\to \IR$ die Funktionalgleichung.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.110 begonnen.]
\(\endgroup\)

Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 1415
Aus:
Beitrag No.117, eingetragen 2019-04-27 15:14

2019-04-27 14:55 - cyrix in Beitrag No. 115 schreibt:
Na dann machen wir den zweiten Tag der DDR-Runde der 6. Olympiade, Klasse 12, noch vollständig:

Das war auch mein Ziel mit der Lösung zu 061244.


2019-04-27 14:55 - cyrix in Beitrag No. 115 schreibt:
Hinweis: Ich lese das Ausrufezeichen als Satzende, nicht als Fakultät, da die andere Variante keine Änderung der Aufgabe nach sich zieht, außer, dass man überall <math>n</math> durch <math>n!</math> ersetzen müsste.

In der Aufgabenstellung steht doch überhaupt kein Ausrufezeichen?! Siehe #95. Ich finde es aber sehr interessant eine andere Lösung zu lesen und weiß nun zumindest, dass mein Ergebnis stimmt. Also Danke dafür!

Gruß,

Küstenkind


Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.118, eingetragen 2019-04-27 15:36

Ah, ich habe mimch an Manuelas Transkript hier orientiert (und deine Lösung in diesem Thread übersehen).

Sorry. :)

Cyrix


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1630
Aus:
Beitrag No.119, eingetragen 2019-04-27 17:01
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Aufgabe 080924:
Vier Personen A, B, C und D machen je drei Angaben über eine gleiche Zahl x. Nach Vereinbarung soll bei jedem mindestens eine Angabe wahr und mindestens eine Angabe falsch sein.
A sagt:
(1) Das Reziproke von x ist nicht kleiner als 1.
(2) x enthält in der dekadischen Darstellung keine 6.
(3) Die 3. Potenz von x ist kleiner als 221.
B sagt:
(1) x ist eine gerade Zahl.
(2) x ist eine Primzahl.
(3) x ist ein ganzzahliges Vielfaches von 5.
C sagt:
(1) x ist irrational.
(2) x ist kleiner als 6.
(3) x ist Quadrat einer natürlichen Zahl.
D sagt:
(1) x ist größer als 20.
(2) x ist eine positive ganze Zahl, deren dekadische Darstellung mindestens 3 Stellen enthält.
(3) x ist nicht kleiner als 10.
Ermitteln Sie x.

Lösung
Da eine der Aussagen von B wahr ist, muss $x$ eine ganze Zahl sein.

Wäre Aussage D2 wahr, so wären as auch D1 und D3. Also ist D2 falsch, d.h. es muss $x<100$ sein.
Da D1 die Aussage D3 impliziert und mindestens eine der Aussagen D1 bzw. D3 wahr sein muss, ist D3 wahr. Also ist $x$ eine ganze Zahl mit $x\geq 10$.

C1 ist falsch, da $x$ ganz ist.
C2 ist falsch, da $x\geq 10$ ist.
Also muss C3 wahr sein, d.h. $x$ ist eine Quadratzahl.

Aussage A1 ist falsch, denn $\frac 1x \leq \frac 1{10}<1$.
Aussage A3 ist falsch, denn $x^3\geq 10^3 >221$.
Also ist A2 wahr. Damit bleiben nur noch die Möglichkeiten $25,49$ oder $81$ für $x$ übrig.

Da $x$ Quadratzahl ist, ist B2 falsch. Also muss $x$ gerade oder durch 5 teilbar sein. Somit bleibt als einzige Option $x=25$ übrig.

Tatsächlich erfüllt $x=25$ die Anforderungen der Aufgabe:
A1, B1, C1, D2 sind falsch und A2, B3, C3, D1 sind wahr.

\(\endgroup\)

Conny42
Aktiv
Dabei seit: 25.07.2018
Mitteilungen: 79
Aus:
Beitrag No.120, eingetragen 2019-04-27 17:04

Aufgabe 041046:
In den Klassen 5 bis 8 einer Schule gibt es 300 Schüler. Von ihnen lesen regelmäßig
120 Schüler die Zeitschrift ”Technikus”
90 Schüler die Zeitschrift ”Fröhlichsein und Singen”
180 Schüler die Zeitschrift ”Die Trommel”
60 Schüler die Zeitschriften ”Die Trommel” und ”Technikus”
16 Schüler die Zeitschriften ”Technikus” und ”Fröhlichsein und Singen”
24 Schüler die Zeitschriften ”Die Trommel” und ”Fröhlichsein und Singen”
6 Schüler alle drei genannten Zeitschriften.

I.
a) Wieviel Schüler lesen genau eine dieser Zeitschriften regelmäßig?\\
b) Wieviel Schüler lesen keine dieser Zeitschriften regelmäßig?\\
II.
Lösen Sie die Aufgabe allgemein, indem Sie die Schülerzahl mit s bezeichnen und die übrigen angegebenen Zahlen der Reihe nach durch die Variablen a bis g ersetzen!


Eine eher lange Lösung:


Sei

$x_0$ die Anzahl der Schüler, die keine dieser Zeitschriften regellmäßig lesen,
$x_1$ die Anzahl der Schüler, die nur die Zeitschrift "Technikus" regelmäßig lesen,
$x_2$ die Anzahl der Schüler, die nur die Zeitschrift "Fröhlichsein und Singen" regelmäßig lesen,
$x_3$ die Anzahl der Schüler die nur die Zeitschrift "Die Trommel" regelmäßig lesen,
$x_4$ die Anzahl der Schüler, die nur die Zeitschriften "Die Trommel" und "Technikus" regelmäßig lesen,
$x_5$ die Anzahl der Schüler, die nur die Zeitschriften "Technikus" und "Fröhlichsein und Singen" regelmäßig lesen,
$x_6$ die Anzahl der Schüler, die nur die Zeitschriften "Die Trommel" und "Fröhlichsein und Singen" regelmäßig lesen und
$x_7$ die Anzahl der Schüler, die alle drei der genannten Zeitschriften regelmäßig lesen.

I) Aus den genannten Informationen ergeben sich die folgenden Gleichungen:

$(1)\; \sum_{i=0}^7 x_i = 300$,
$(2)\; x_1 + x_4 + x_5 + x_7 = 120$,
$(3)\; x_2 + x_5 + x_6 + x_7 = 90$,
$(4)\; x_3 + x_4 + x_6 + x_7 = 180$,
$(5)\; x_4 + x_7 = 60$,
$(6)\; x_5 + x_7 = 16$,
$(7)\; x_6 + x_7 = 24$,
$(8)\; x_7 = 6$.

Aus Gleichung (8) und (7) ergibt sich $x_6 = 18$, aus Gleichung (8) und (6) ergibt sich $x_5 = 10$ und aus Gleichung (8) und (5) ergibt sich $x_4 = 54$. Damit ergibt sich weiter

$x_3 = 180 - x_4 - x_6 - x_7 = 102$,
$x_2 = 90 - x_5 - x_6 - x_7 = 56$,
$x_1 = 120 - x_4 - x_5 - x_7 = 50$,
$x_0 = 300 - \sum_{i=1}^7 x_i = 4$.

Somit lesen $x_1+x_2+x_3 = 208$ Schüler genau eine der angegebenen Zeitschriften regelmäßig und $x_0=4$ lesen keine dieser Zeitschriften regelmäßig.

II)
Sei nun $s$ die Anzahl der Schüler und

$a$ die Anzahl der Schüler, die die Zeitschrift "Technikus" regelmäßig lesen,
$b$ die Anzahl der Schüler, die die Zeitschrift "Fröhlichsein und Singen" regelmäßig lesen,
$c$ die Anzahl der Schüler, die die Zeitschrift "Die Trommel" regelmäßig lesen,
$d$ die Anzahl der Schüler, die die Zeitschriften "Die Trommel" und "Technikus" regelmäßig lesen,
$e$ die Anzahl der Schüler, die die Zeitschriften "Technikus" und "Fröhlichsein und Singen" regelmäßig lesen,
$f$ die Anzahl der Schüler, die die Zeitschriften "Die Trommel" und "Fröhlichsein und Singen" regelmäßig lesen und
$g$ die Anzahl der Schüler, die alle drei genannten Zeitschriften lesen.

Es ergeben sich folgende Gleichungen:

$(1)\; \sum_{i=0}^7 x_i = s$,
$(2)\; x_1 + x_4 + x_5 + x_7 = a$,
$(3)\; x_2 + x_5 + x_6 + x_7 = b$,
$(4)\; x_3 + x_4 + x_6 + x_7 = c$,
$(5)\; x_4 + x_7 = d$,
$(6)\; x_5 + x_7 = e$,
$(7)\; x_6 + x_7 = f$,
$(8)\; x_7 = g$.

Aus Gleichung (8) und (7) ergibt sich $x_6 = f-g$, aus Gleichung (8) und (6) ergibt sich $x_5 = e-g$ und aus Gleichung (8) und (5) ergibt sich $x_4 = d-g$. Damit ergibt sich weiter

$x_3 = c - x_4 - x_6 - x_7 = c - (d-g) - (f-g) - g = c - d - f + g$,
$x_2 = b - x_5 - x_6 - x_7 = b - (e-g) - (f-g) - g = b - e - f + g$,
$x_1 = a - x_4 - x_5 - x_7 = a - (d-g) - (e-g) - g = a - d - e + g$,
$x_0 = s - \sum_{i=1}^7 x_i \\
= s - (a-d-e+g) - (b-e-f+g) -(c-d-f+g) - (d-g) - (e-g) - (f-g) - g\\
= s - a - b - c + d + e + f - g$.

Somit lesen $x_1+x_2+x_3 = a+b+c - 2(d+e+f) + 3g$ genau eine der Zeitschriften regelmäßig und $x_0=s-a-b-c+d+e+f-g$ lesen keine der Zeitschriften regelmäßig.


Eine alternative recht "verbale" Lösung, die auf dem Prinzip der Inklusion und Exklusion beruht:


Wir verwenden die Bezeichnungen wir in der ersten Lösung.

I) Addieren wir die Anzahlen an Schülern, die die Zeitschrift "Technikus" lesen, die, die die Zeitschrift "Fröhlichsein und Singen" lesen und die, die die Zeitschrift "Die Trommel" regelmäßig lesen, so zählen wir diejenigen, die zwei der Zeitschriften regelmäßig lesen, doppelt, und diejenigen, die alle drei der genannten Zeitschriften regelmäßig lesen, dreifach. Da wir an der Anzahl an Schülern interessiert sind, die genau eine der Zeitschriften regelmäßig lesen, müssen wir das Doppelte der Anzahlen an Schülern, die zwei der Zeitschriften regelmäßig lesen, subtrahieren. Dadurch subtrahieren wir das 6-fache der Anzahl an Schülern, die alle drei Zeitschriften regelmäßig lesen und wir müssen insgesamt das 3-fache Addieren, um schließlich die Anzahl an Schülern, die genau eine der Zeitschriften lesen, zu erhalten; somit lesen

$120 + 90 + 180 - 2\cdot (60+16+24) + 3 \cdot 6 = 208$

genau eine der Zeitschriften regelmäßig.

Mit einer analogen Begründung ist die Anzahl der Schüler, die genau zwei der Zeitschriften regelmäßig lesen gegeben durch

$60+16+24 - 3 \cdot 6 = 82$.

Somit ist die Anzahl der Schüler, die keine der Zeitschriften regelmäßig lesen, gegeben durch

$300 - 208 - 82 - 6 = 4$.

II) Wie in I) ergibt sich, dass

$a+b+c - 2(d+e+f) +3g$

der Schüler genau eine der Zeitschriften regelmäßig lesen und dass

$d+e+f - 3g$

der Schüler genau zwei der Zeitschriften regelmäßig lesen.
Somit ist die Anzahl der Schüler, die keine der Zeitschriften regelmäßig lesen, gegeben durch

$s-[a+b+c-2(d+e+f) + 3g] - (d+e+f-3g)- g = s - a - b - c + d + e + f -g$.


Liebe Grüße,
Conny


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.118 begonnen.]


HyperPlot
Aktiv
Dabei seit: 06.01.2019
Mitteilungen: 358
Aus: Kneedeep in the Dead
Beitrag No.121, eingetragen 2019-04-27 17:38



<math>
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} %

\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} %
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen


% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Annotationen - Dreick
\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;

\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};
%% Mittelsenkrechte
%\draw[thick] (U) -- ($(B)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) node[midway, above]{$m_a$};
%\draw[fill=black!1] (Ma) circle (2pt);
%\draw pic [angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.2,
%draw,   "$\cdot$"
%] {angle =U--Ma--B};
%\path[thick] (B) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
%\path[thick] (C) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
%\draw[thick] (U) -- (B) node[midway, below]{$R$};





% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm+22mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,R/R}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Gamma:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\gamma$",
] {angle =R--Q--P};


%%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%R = \R \text{ cm}  &  \\
%\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
%b = \b \text{ cm}  & \\
%c = \c \text{ cm}  &  \\
%\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
%\beta = \Beta^\circ    &  \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};

% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
</math>



030913
a) und b) Planfigur und Konstruktion.
<math>
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} %

\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} %
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen


% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Annotationen - Dreick
\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;

\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};
%% Mittelsenkrechte
%\draw[thick] (U) -- ($(B)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) node[midway, above]{$m_a$};
%\draw[fill=black!1] (Ma) circle (2pt);
%\draw pic [angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.2,
%draw,   "$\cdot$"
%] {angle =U--Ma--B};
%\path[thick] (B) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
%\path[thick] (C) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
%\draw[thick] (U) -- (B) node[midway, below]{$R$};





% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm+22mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,R/R}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Gamma:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
"$\gamma$",
] {angle =R--Q--P};


%%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%R = \R \text{ cm}  &  \\
%\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
%b = \b \text{ cm}  & \\
%c = \c \text{ cm}  &  \\
%\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
%\beta = \Beta^\circ    &  \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};

% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
</math>

<math>% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} %

\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} %
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{
\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) coordinate(#2bogen) arc (#3:#4:#5) coordinate(#2Bogen);}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt},  show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at (0,0);
\draw[name path=umkreis] (U) circle[radius=\R];

% Rahmen
\clip  ([shift={(-\R-0.3,\R+0.6)}]U) rectangle ([shift={(3.7*\R,-\R-3)}]U);

% Punkt B
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (0,\R);
\path[name path=kreisC, overlay, draw=none] (C) circle[radius=\a];
\path[name intersections={of=umkreis and kreisC, name=B}];
\coordinate[Punkt={right}{B}] (B) at (B-2);

% Bogen
\path let
\p0 = (C), % Zentrum
\p1 = (B),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % "pt" abstreifen
\Bogen[]{C}{\Winkel+10}{\Winkel-90}{\a}
\path[] (C) --+ (-77:\a) node[fill=black!1, xshift=-4pt]{$\bigodot(C,a)$};

% Punkt A
\draw[name path=AC, densely dashed] (C) --+ (\Winkel-\Gamma:2*\R+0.3) node[ fill=black!1]{$g_A$};
\path[name intersections={of=umkreis and AC, name=A}];
\coordinate[Punkt={left}{A}] (A) at (A-2);

\draw[thick, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle;

% Annotationen - Dreieck
%\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};

%% Punkte
\foreach \P in {U,A,B,C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

%% Test
%\draw[red] (C) -- ($(C)!\a cm!(B)$);
%\draw[red] (A) -- ($(A)!\c cm!(B)$);
%\draw[red] (A) -- ($(A)!\b cm!(C)$);


% Annotation
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\pgfmathsetmacro{\textbreite}{2*\R+1} %

\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textbreite cm, draw=none, inner sep=1pt,
xshift=\R cm+3mm,  yshift=5mm,
font=\normalsize, fill=black!1, draw=none,
] at (C){\vspace{-1em}
\begin{enumerate}
\item Beschreibe einen Kreis $\bigodot(U, R)$ um $U$ vom Radius $R$, um den Umkreis zu erhalten.
\item Whle einen beliebigen Punkt auf dem Umkreis als Ecke $C$.
\item Beschreibe einen Kreis $\bigodot(C, a)$ um $C$ vom Radius $a$; Schnittpunkt des Kreises mit dem Umkreis ist die Ecke $B$ so, dass $B$, $C$ auf dem Umkreis im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen werden.
\item Lege durch $C$ eine Gerade $g_A$ so, dass sie mit der Verbindung $|BC|$ den Winkel $\gamma$ einschliet. Schnittpunkt von $g_A$ mit dem Umkreis ist die Ecke $A$. (Hinweis: soll auch der spezielle Winkel $\gamma=60^\circ$ konstruiert werden, so ist ber $|BC|$ das gleichseitige Dreieck zu konstruieren.)
\item Erhalte durch entsprechende Verbindung der Punkte $A,B,C$ das Dreieck $ABC$.
\end{enumerate}
};






% Dreieckskonstruktion

%% Dreieckskonstruktion
%\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
%\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
%\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
%\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
%
%
%% Umkreis
%%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
%%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
%
%\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
%\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
%\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
%\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %
%
%\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
%
%%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
%\draw[] (U) circle[radius=\R];
%
%% Annotationen - Dreick
%\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
%\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;
%\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
%"$\gamma$",  thick,
%] {angle =A--C--B};
%
%
%% Annotationen - Aufgabe
%\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
%\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm+22mm,0)$)}]
%% Strecken
%\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,R/R}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
%};}%%
%\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Gamma:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
%"$\gamma$",
%] {angle =R--Q--P};
%
%
%%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%R = \R \text{ cm}  &  \\
%\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
%b = \b \text{ cm}  & \\
%c = \c \text{ cm}  &  \\
%\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
%\beta = \Beta^\circ    &  \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};
%
%
%% Punkte
%\foreach \P in {U}
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}</math>

<math>
%\begin{tikzpicture}
\pagecolor{black!1}

\textbf{Zusatz} zu b) Berechnung der fehlenden Seitenlngen und Innenwinkel aus den gegebenen Gren $a,R,\gamma$.

\begin{tabular}{@{\ttfamily(}l@{\ttfamily )~~}
l
@{\hskip 3em  (\glqq}l<{\grqq)}}
1 & $2R = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}~~ \Rightarrow c$ & erweiterter Sinussatz\\[1em]
2 & $\dfrac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = \dfrac{a}{c}
~~ \Rightarrow \alpha$ &        Sinussatz     \\[1em]
3 & $\beta = 180^\circ -\alpha -\gamma$ &  Winkelsumme    \\[1em]
4 & $b = \sqrt{a^2+c^2-2ac\cos(\beta)}$ &         Kosinussatz
\end{tabular}</math>

c) Abstand.
<math>% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} %

\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} %
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen


% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Annotationen - Dreick
%\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
%\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};


% Mittelsenkrechte
\draw[thick] (U) -- ($(B)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) node[midway, above]{$d(U, a)$};
\draw[fill=black!1] (Ma) circle (2pt);
\draw pic [angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =U--Ma--B};
\path[thick] (B) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
\path[thick] (C) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
\draw[thick] (U) -- (B) node[midway, below]{$R$};

\node[below, anchor=north west, align=left,
draw=none, inner sep=1pt,
xshift=2cm,  yshift=5mm,
font=\normalsize, fill=black!1, draw=none,
] at (Ma){
$d(U, a) = \sqrt{R^2 -\dfrac{a^2}{4}}$
};


% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}</math>

d) Bedingungen.
<math>
%\begin{tikzpicture}
\pagecolor{black!1}
\begin{itemize}
\item Man entliest der Konstruktionszeichnung, dass $a$ maximal gleich $2R$ sein darf, also $$
a \leq 2R ~~~\text{ bzw. }~~~ R \geq \dfrac{a}{2}
$$
\item Es ist $\beta = 180^\circ -\alpha -\gamma$. Aus der Forderung $\beta>0^\circ$ folgt $\gamma < 180^\circ-\alpha$; und da nach dem erweiterten Sinussatz $\sin(\alpha) = \dfrac{a}{2R}$ gilt, erhlt man die Bedingung $$\gamma < 180^\circ-\arcsin\left(  \dfrac{a}{2R} \right)$$
\end{itemize}</math>


<math>% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} %

\pgfmathsetmacro{\aMax}{2*\R} %
\pgfmathsetmacro{\Rmin}{\a/2} %
\pgfmathsetmacro{\GammaMax}{180-asin(\a/(2*\R))} %

\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} %
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen


% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Annotationen - Dreick
\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;

\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};

%% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, %fill=lightgray!50,
PosUnten,
PosLinks, font=\normalsize,
]{
$\begin{array}{l l}
\textbf{Beispielwerte:}  &  \\
a = \a \text{ cm}  &  \\
R = \R \text{ cm}  &  \\
\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
a_{\max} = \aMax \text{ cm}  &  \\
R_{\min} = \Rmin \text{ cm}  &  \\ \hline
\gamma_{\max} = \GammaMax^\circ    &  \\ \hline
b = \b \text{ cm}  & \\
c = \c \text{ cm}  &  \\
\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
\beta = \Beta^\circ    &  \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\end{array}$
};

% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
</math>


Ich habe die Codes auf die LaTeX-Datei aus #74 zugeschneidert, d.h. die Teildateien können ohne Weiteres in "main.tex" (s.u.) eingebunden werden. (Nur das Paket "array" habe ich ergänzt!)

LaTeX   (030913-main.pdf zum Direkteinbinden oder Anschauen)

030913-Planfigur.tex
latex
% 030913-Planfigur.tex
\documentclass[margin=0pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\usepackage{varwidth}
\begin{document}
 
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %  
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} % 
 
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %  
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} % 
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, %show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); 
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
 
 
% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %  
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %    
 
\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); 
 
%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %  
\draw[] (U) circle[radius=\R];
 
% Annotationen - Dreick
\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;
 
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};
%% Mittelsenkrechte
%\draw[thick] (U) -- ($(B)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) node[midway, above]{$m_a$};
%\draw[fill=black!1] (Ma) circle (2pt);
%\draw pic [angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.2, 
%draw,   "$\cdot$"
%] {angle =U--Ma--B}; 
%\path[thick] (B) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
%\path[thick] (C) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
%\draw[thick] (U) -- (B) node[midway, below]{$R$};
 
 
 
% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm+22mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,R/R}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Gamma:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\alpha$}, pic text options={}, 
"$\gamma$", 
] {angle =R--Q--P};
 
 
%%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%R = \R \text{ cm}  &  \\
%\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
%b = \b \text{ cm}  & \\
%c = \c \text{ cm}  &  \\
%\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
%\beta = \Beta^\circ    &  \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
%\end{array}$
%};
 
% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);
 
\end{tikzpicture}
 
\end{document}


030913-Konstruktion.tex
latex
% 030913-Konstruktion.tex
% https://mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/03/OMKlasse_09.pdf
\documentclass[margin=0pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\usepackage{varwidth}
\begin{document}
 
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %  
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} % 
 
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %  
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} % 
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{
\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) coordinate(#2bogen) arc (#3:#4:#5) coordinate(#2Bogen);}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, % show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at (0,0); 
\draw[name path=umkreis] (U) circle[radius=\R];
 
% Rahmen  
\clip  ([shift={(-\R-0.3,\R+0.6)}]U) rectangle ([shift={(3.7*\R,-\R-3)}]U);
 
% Punkt B
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (0,\R); 
\path[name path=kreisC, overlay, draw=none] (C) circle[radius=\a];
\path[name intersections={of=umkreis and kreisC, name=B}];
\coordinate[Punkt={right}{B}] (B) at (B-2); 
 
% Bogen
\path let             
\p0 = (C), % Zentrum
\p1 = (B),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\Bogen[]{C}{\Winkel+10}{\Winkel-90}{\a}
\path[] (C) --+ (-77:\a) node[fill=black!1, xshift=-4pt]{$\bigodot(C,a)$};
 
% Punkt A
\draw[name path=AC, densely dashed] (C) --+ (\Winkel-\Gamma:2*\R+0.3) node[ fill=black!1]{$g_A$};
\path[name intersections={of=umkreis and AC, name=A}];
\coordinate[Punkt={left}{A}] (A) at (A-2); 
 
\draw[thick, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; 
 
% Annotationen - Dreick
%\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};
 
%% Punkte
\foreach \P in {U,A,B,C}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
%% Test
%\draw[red] (C) -- ($(C)!\a cm!(B)$);
%\draw[red] (A) -- ($(A)!\c cm!(B)$);
%\draw[red] (A) -- ($(A)!\b cm!(C)$);
 
 
% Annotation
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\pgfmathsetmacro{\textbreite}{2*\R+1} %  
 
\node[below, anchor=north west, align=left, text width=\textbreite cm, draw=none, inner sep=1pt, 
xshift=\R cm+3mm,  yshift=5mm, 
font=\normalsize, fill=black!1, draw=none,
] at (C){\vspace{-1em}
\begin{enumerate}
\item Beschreibe einen Kreis $\bigodot(U, R)$ um $U$ vom Radius $R$, um den Umkreis zu erhalten.
\item Wähle einen beliebigen Punkt auf dem Umkreis als Ecke $C$.
\item Beschreibe einen Kreis $\bigodot(C, a)$ um $C$ vom Radius $a$; Schnittpunkt des Kreises mit dem Umkreis ist die Ecke $B$ so, dass $B$, $C$ auf dem Umkreis im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen werden.
\item Lege durch $C$ eine Gerade $g_A$ so, dass sie mit der Verbindung $|BC|$ den Winkel $\gamma$ einschließt. Schnittpunkt von $g_A$ mit dem Umkreis ist die Ecke $A$. (Hinweis: soll auch der spezielle Winkel $\gamma=60^\circ$ konstruiert werden, so ist über $|BC|$ das gleichseitige Dreieck zu konstruieren.)
\item Erhalte durch entsprechende Verbindung der Punkte $A,B,C$ das Dreieck $ABC$.
\end{enumerate}
};
 
 
\end{tikzpicture}
 
\end{document}


030913-Rechnung.tex
latex
% 030913-Rechnung.tex
% https://mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/03/OMKlasse_09.pdf
\documentclass[margin=0pt, varwidth]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\usepackage{array}
 
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{enumitem}
 
\usepackage{varwidth}
\begin{document}
\textbf{Zusatz} zu b) Berechnung der fehlenden Seitenlängen und Innenwinkel aus den gegebenen Größen $a,R,\gamma$.
 
\begin{tabular}{@{\ttfamily(}l@{\ttfamily )~~}  
l  
@{\hskip 3em  (\glqq}l<{\grqq)}}
1 & $2R = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}~~ \Rightarrow c$ & erweiterter Sinussatz\\[1em]
2 & $\dfrac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = \dfrac{a}{c}
~~ \Rightarrow \alpha$ &        Sinussatz     \\[1em]
3 & $\beta = 180^\circ -\alpha -\gamma$ &  Winkelsumme    \\[1em]
4 & $b = \sqrt{a^2+c^2-2ac\cos(\beta)}$ &         Kosinussatz     
\end{tabular}
 
\end{document}


030913-Abstand.tex
latex
\documentclass[margin=15pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\usepackage{varwidth}
\begin{document}
 
%\begin{varwidth}{0.9\linewidth}
%\rule{\linewidth}{0.5pt}
 
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %  
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} % 
 
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %  
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} % 
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt}, %show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); 
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
 
 
% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %  
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %    
 
\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); 
 
%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %  
\draw[] (U) circle[radius=\R];
 
% Annotationen - Dreick
%\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
%\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};
 
 
% Mittelsenkrechte
\draw[thick] (U) -- ($(B)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{M_a}] (Ma) node[midway, above]{$d(U, a)$};
\draw[fill=black!1] (Ma) circle (2pt);
\draw pic [angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.2, 
draw,   "$\cdot$"
] {angle =U--Ma--B}; 
\path[thick] (B) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
\path[thick] (C) -- (Ma) node[midway, right]{$a/2$};;
\draw[thick] (U) -- (B) node[midway, below]{$R$};
 
\node[below, anchor=north west, align=left, 
draw=none, inner sep=1pt, 
xshift=2cm,  yshift=5mm, 
font=\normalsize, fill=black!1, draw=none,
] at (Ma){
$d(U, a) = \sqrt{R^2 -\dfrac{a^2}{4}}$ 
};
 
 
% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);
 
\end{tikzpicture}
 
%\end{varwidth}
 
\end{document}



030913-Bedingungen.tex
latex
% 030913-Bedingungen.tex
% https://mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/03/OMKlasse_09.pdf
\documentclass[margin=0mm, varwidth]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\usepackage{array}
 
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{enumitem}
 
\usepackage{varwidth}
\begin{document}
\begin{itemize}
\item Man entliest der Konstruktionszeichnung, dass $a$ maximal gleich $2R$ sein darf, also $$
a \leq 2R ~~~\text{ bzw. }~~~ R \geq \dfrac{a}{2}
$$
\item Es ist $\beta = 180^\circ -\alpha -\gamma$. Aus der Forderung $\beta>0^\circ$ folgt $\gamma < 180^\circ-\alpha$; und da nach dem erweiterten Sinussatz $\sin(\alpha) = \dfrac{a}{2R}$ gilt, erhält man die Bedingung $$\gamma < 180^\circ-\arcsin\left(  \dfrac{a}{2R} \right)$$
\end{itemize}
\end{document}



030913-Beispiel.tex  (Beispielwerte)
latex
% 030913-Beispiel
\documentclass[margin=0pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\usepackage{varwidth}
\begin{document}
 
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.6} %  
\pgfmathsetmacro{\R}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{60} % 
 
\pgfmathsetmacro{\aMax}{2*\R} %  
\pgfmathsetmacro{\Rmin}{\a/2} %  
\pgfmathsetmacro{\GammaMax}{180-asin(\a/(2*\R))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %  
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{asin(\a*sin(\Gamma)/\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} % 
\pgfmathsetmacro{\b}{sqrt(\a^2+\c^2-2*\a*\c*cos(\Beta))} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners, inner sep=0pt},% show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); 
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
 
 
% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %  
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %    
 
\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); 
 
%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %  
\draw[] (U) circle[radius=\R];
 
% Annotationen - Dreick
\draw[thick] (U) --+ (133:\R) node[midway, above]{$R$};
\draw[thick] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};;
 
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\gamma$",  thick,
] {angle =A--C--B};
 
%% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, %fill=lightgray!50,
PosUnten,
PosLinks, font=\normalsize,
]{
$\begin{array}{l l}
\textbf{Beispielwerte:}  &  \\
a = \a \text{ cm}  &  \\
R = \R \text{ cm}  &  \\
\gamma = \Gamma^\circ    &  \\ \hline
a_{\max} = \aMax \text{ cm}  &  \\
R_{\min} = \Rmin \text{ cm}  &  \\ \hline
\gamma_{\max} = \GammaMax^\circ    &  \\ \hline
b = \b \text{ cm}  & \\
c = \c \text{ cm}  &  \\
\alpha = \Alpha^\circ    &  \\
\beta = \Beta^\circ    &  \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
\end{array}$
};
 
% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);
 
\end{tikzpicture}
 
%\end{varwidth}
 
\end{document}



main.tex
latex
% main.tex
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{tikz,fullpage,enumerate,icomma}
\usetikzlibrary{arrows,calc,intersections,patterns,arrows.meta,backgrounds, positioning,angles, quotes, babel}
\usepackage{standalone}
\usepackage{geometry}
\geometry{
   left=2.5cm,
   textwidth=16cm,
   marginpar=3cm,
   top=2cm,
   bottom=2cm}
\setlength{\parindent}{0pt}  
\usepackage{framed}
\usepackage{hyperref} %brauche ich für das Titelblatt
 
%%%%%%%%%%
\usepackage{array} %%%%%%%%%% NEU
\begin{document}
a) und b) Planfigur und Konstruktion. \par
{\centering\input{030913-Planfigur} \par}
\bigskip
\input{030913-Konstruktion} \par
\input{030913-Rechnung} \par
 
\bigskip\bigskip\bigskip
c) Abstand.
\input{030913-Abstand} \par
 
\bigskip
d) Bedingungen.
\input{030913-Bedingungen} \par
\input{030913-Beispiel} \par
\end{document}
 






Kornkreis
Senior
Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 800
Aus: Chemnitz
Beitrag No.122, eingetragen 2019-04-27 18:03

Aufgabe 2 - 061242
Es sei n $\neq$ 0 eine natürliche Zahl. Eine Zahlenfolge werde kurz eine Folge ”Fn” genannt, wenn untereinander verschiedene Zahlen z1, z2, ..., zn existieren, so dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
(1) Jedes Glied der Folge ist eine der Zahlen z1, z2, ..., zn.
(2) Jede der Zahlen z1, z2, .., zn kommt mindestens einmal in der Folge vor.
(3) Je zwei unmittelbar aufeinanderfolgende Glieder der Folge sind voneinander verschiedene Zahlen.
(4) Keine Teilfolge der Folge hat die Form {a, b, a, b} mit a $\neq$ b.
Bemerkung:
Als Teilfolge einer gegebenen Folge {x1, x2, x3, ...} oder {x1, x2, x3, ..., xs}
bezeichnet man jede Folge der Form {xm1, xm2, xm3, ...} oder {xm1, xm2, xm3, ..., xmt}
mit natürlichen Zahlen m1 < m2 < m3 < ...

Beantworten Sie folgende Fragen:
a) Gibt es bei fest gegebenen n beliebig lange Folgen Fn?
b) Wenn Frage a) fur ein n zu verneinen ist:
Welches ist die größtmögliche Anzahl von Gliedern, die (bei gegebenem n) eine Folge Fn haben kann?

Lösung
a) Nein, denn
b) Mit vollständiger Induktion beweisen wir im Folgenden, dass für $n\geq 1$ immer eine Folge $F_n$ der Länge $2n-1$ existiert und diese Länge maximal ist. Für $n=1$ ist dies klar. Sei nun $n>1$ beliebig und die Behauptung für $F_1, ..., F_{n-1}$ bewiesen.

Betrachte die Folge
$F = z_1, S_1, z_1, S_2, ..., z_1, S_r , z_1$, wobei $S_i$ ($i\in\{1,...,r\}, 1\leq r<n$) die Folgeglieder einer Folge von Zahlen aus $\{z_2,...,z_n\}$ bezeichne, welche die Bedingungen (3) und (4) der Aufgabenstellung erfüllt.
Wie man leicht sieht, erfüllt die obige Folge $F$ genau dann die Bedingungen der Aufgabe, wenn die $S_i$ paarweise disjunkt sind und die Gesamtheit der $S_i$ alle Zahlen außer $z_1$ beinhaltet.

Es ist klar, dass die Länge von $F$ maximal ist, wenn jedes $S_i$ maximale Länge hat. Nach Induktionsvoraussetzung ist dann die Länge von $F$ gleich $(r+1)+2(s_1+...+s_r)-r$, wobei $s_i$ die Anzahl der verschiedenen Zahlen in $S_i$ bezeichnet und $r+1$ die Anzahl der $z_1$ in $F$ ist.
Es ist $s_1+...+s_r=n-1$ und folglich ist die Länge von $F$ gleich $2n-1$.

Die Folge $F$ ist optimal: Eine beliebige Folge $F_n$ startet o.B.d.A. mit $z_1$. Falls danach nicht noch mal $z_1$ auftritt, können nach $z_1$ nur noch $2(n-1)-1$ Zahlen folgen (nach Induktionsvoraussetzung), die Länge wäre also nur $1+2(n-1)-1=2n-2$. In einer Folge maximaler Länge kommen also mindestens zwei $z_1$ vor. Keine der Zahlen $z_i$, die zwischen zwei nächstgelegenen $z_1$ stehen, dürfen später noch einmal vorkommen, da man sonst eine Teilfolge $\{z_1,z_i,z_1,z_i\}$ hätte. Diese Bedingungen werden von der Folge $F$ aber allgemein erfüllt, sodass die Länge $2n-1$ optimal ist und die Behauptung bewiesen.



Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.123, eingetragen 2019-04-27 18:59

Zur Aufgabe 061243: Man beweise folgenden Satz: Ist <math>n\geq 2</math> eine natürliche Zahl, sind <math>a_1</math>, <math>\dots</math> , <math>a_n</math> positive reelle Zahlen und wird <math>\sum_{i=1}^n a_i =s</math> gesetzt, so gilt <math>\sum_{i=1}^n \frac{a_i}{s-a_i}\geq \frac{n}{n-1}</math>.

Beweis:
Zuerst normieren wir via <math>b_i:=\frac{a_i}{s}</math> die zu zeigende Ungleichung, denn sie geht durch Kürzen der Brüche mit <math>s</math> äquivalent über in <math>\sum_{i=1} \frac{b_i}{1-b_i}\geq \frac{n}{n-1}</math>, wobei die <math>b_i</math> weiterhin positive reelle Zahlen sind, die aber nun zusätzlich <math>\sum_{i=1}^n b_i=1</math> erfüllen.

Setzen wir <math>\lambda_i:=b_i</math> und <math>f(x):=\frac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}</math>, so können wir die linke Seite der Ungleichung auch schreiben als <math>\sum_{i=1}^n \lambda_i f(b_i)</math>, wobei natürlich weiterhin alle <math>\lambda_i</math> positiv sind und ihre Summe 1 ergibt.

Da <math>f^{\prime}(x)=-(1-x)^{-2} \cdot (-1)=(1-x)^{-2}>0</math> und <math>f^{\prime\prime}(x)= -2(1-x)^{-3} \cdot (-1)=2(1-x)^{-3}>0</math> für alle <math>0<x<1</math> ist, und da alle <math>b_i</math> aus diesem Intervall <math>(0; 1)</math> stammen, können wir die Jensensche-Ungleichung anwenden und erhalten

<math>\sum_{i=1}^n \lambda_i f(b_i) \geq f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot b_i\right)=f\left(\sum_{i=1}^n b_i^2 \right)</math>.

Es ist das quadratische Mittel <math>q</math> der <math>b_i</math> definiert als <math>q:=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n b_i^2}{n}}</math> und ihr arithmetisches Mittel <math>a</math> als <math>a:=\frac{\sum_{i=1}^n b_i}{n}=\frac{1}{n}</math>. Nach der Ungleichung zwischen quadratischem und arithmetischem Mittel ist <math>q\geq a=\frac{1}{n}</math>, also <math>\frac{\sum_{i=1}^n b_i^2}{n} =q^2 \cdot n \geq \frac{1}{n}</math>.

Da <math>f</math> monoton wachsend ist, folgt damit <math>f\left(\sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \geq f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{1-\frac{1}{n}}=\frac{n}{n-1}</math> und insgesamt das zu zeigende. q.e.d.

Bemerkung: Aufgrund der strengen Monotonie und da die Ungleichung zwischen quadratischem und arithmetischen Mittel nur für Gleichheit aller <math>b_i</math> und damit aller <math>a_i</math> untereinander Gleichheit liefert, wird auch nur dann in der zu zeigenden Ungleichung der Gleichheitsfall angenommen.

Cyrix


ZePhoCa
Aktiv
Dabei seit: 15.09.2010
Mitteilungen: 245
Aus:
Beitrag No.124, eingetragen 2019-04-27 19:20

Aufgabe 080933:
Geben Sie alle Zahlentripel <math>(a, b, c)</math> an, die die Gleichungen
<math>a + b + c = s_1</math>
        <math>a - b + c = s_3</math>
<math>a + b - c = s_2</math>
        <math>a - b - c = s_4</math>
unter der zusätzlichen Bedingung erfüllen, dass die Menge der vier Zahlen <math>s_1, s_2, s_3, s_4</math> (ohne Rücksicht auf ihre Reihenfolge) mit der Menge der vier Zahlen 1, 2, 3, 4 übereinstimmt!

Lösung:
Addition der ersten und vierten Gleichung ergibt $2a=s_1+s_4$.
Addition der zweiten und dritten Gleichung ergibt $2a=s_2+s_3$.

Das geht nur, wenn $s_1=1$ und $s_4=4$ oder umgekehrt und $s_2=2, s_3=3$ oder umgekehrt oder wenn $s_1=2,s_4=3$ oder umgekehrt und $s_2=1,s_3=4$ oder umgekehrt. Daraus folgt $2a=5$, also $a=\frac{5}{2}$.

Für $s_1=1,s_4=4$ folgt dann $b+c=-\frac{3}{2}$. Auflösen nach $b$ und einsetzen in die zweite Gleichung ergibt $\frac{5}{2}+c+\frac{3}{2}+c=s_3$. Falls $s_3=2$ folgt $c=-1$, falls $s_3=3$ folgt $c=-\frac{1}{2}$. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt $b=-\frac{1}{2}$ bzw. $b=-1$.

Für $s_1=4,s_4=1$ folgt $b+c=\frac{3}{2}$. Auflösen nach $b$ und einsetzen in die zweite Gleichung ergibt $\frac{5}{2}+c-\frac{3}{2}+c=s_3$. Falls $s_3=2$ folgt $c=\frac{1}{2}$, falls $s_3=3$ folgt $c=1$. Einsetzen in die erste Gleichung ergibt $b=1$ bzw. $b=\frac{1}{2}$.

Für $s_1=2,s_3=1$ folgt analog $b=\frac{1}{2},c=-1$, für $s_1=2,s_3=4$ folgt $b=-1,c=\frac{1}{2}$, für $s_1=3,s_3=1$ folgt $b=1,c=-\frac{1}{2}$ und für $s_1=3,s_3=4$ folgt $b=-\frac{1}{2},c=1$.

Es gibt also insgesamt die Möglichkeiten
$(a,b,c) = (\frac{5}{2},-\frac{1}{2},-1)$ (wenn $(s_1,s_2,s_3,s_4=1,3,2,4)$)
$(a,b,c) = (\frac{5}{2},-1,-\frac{1}{2})$ (wenn $(s_1,s_2,s_3,s_4=1,2,3,4)$)
$(a,b,c) = (\frac{5}{2},1,\frac{1}{2})$ (wenn $(s_1,s_2,s_3,s_4=4,3,2,1)$)
$(a,b,c) = (\frac{5}{2},\frac{1}{2},1)$ (wenn $(s_1,s_2,s_3,s_4=4,2,3,1)$)
$(a,b,c) = (\frac{5}{2},\frac{1}{2},-1)$ (wenn $(s_1,s_2,s_3,s_4=2,4,1,3)$)
$(a,b,c) = (\frac{5}{2},-1,\frac{1}{2})$ (wenn $(s_1,s_2,s_3,s_4=2,1,4,3)$)
$(a,b,c) = (\frac{5}{2},1,-\frac{1}{2})$ (wenn $(s_1,s_2,s_3,s_4=3,4,1,2)$)
$(a,b,c) = (\frac{5}{2},-\frac{1}{2},1)$ (wenn $(s_1,s_2,s_3,s_4=3,1,4,2)$)
und eine Probe ergibt, dass dies tatsächlich Lösungen sind.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.122 begonnen.]


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1630
Aus:
Beitrag No.125, eingetragen 2019-04-27 19:33
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
@ZePhoCa:
Es gibt auch noch die Fälle $(s_1,s_2,s_3,s_4)= (2,1,4,3), (3,1,4,2), (2,4,1,3), (3,4,1,2)$.
\(\endgroup\)

ZePhoCa
Aktiv
Dabei seit: 15.09.2010
Mitteilungen: 245
Aus:
Beitrag No.126, eingetragen 2019-04-27 19:38

Aufgabe 080935:
Es ist zu beweisen, dass für jede ungerade Zahl <math>n</math> die Zahl <math>n^{12} - n^8 - n^4 + 1</math> durch 512 teilbar ist.

Lösung:

Sei $m=n^4$. Dann ist die Zahl $m^3-m^2-m+1$ zu untersuchen. Es gilt $m^3-m^2-m+1 = (m-1)^2(m+1)$. Da $n$ ungerade ist, gilt $n=2k+1$ und damit $m=(2k+1)^4 = 16k^4+32k^3+24k^2+8k+1$. Damit ist $m+1$ durch $2$ teilbar und es gilt $m-1 = 16k^4+32k^3+24k^2+8k = 16(k^4+2k^3+k^2)+8(k^2+k)$. Da $k^2+k = k(k+1)$ gerade ist, ist also $m-1$ durch $16$ teilbar. Also ist $m^3-m^2-m+1$ durch $16 \cdot 16 \cdot 2 = 512$ teilbar.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.124 begonnen.]


ZePhoCa
Aktiv
Dabei seit: 15.09.2010
Mitteilungen: 245
Aus:
Beitrag No.127, eingetragen 2019-04-27 19:40

@Nuramon: Ah verdammt die hatte ich wohl übersehen.. edit kommt hoffentlich gleich ;)


Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.128, eingetragen 2019-04-27 19:54

Aufgabe 051235:
Der Flächeninhalt des ebenen (nicht notwendig konvexen) Vierecks <math>ABCD</math> sei <math>S</math>, die Längen der Seiten <math>AB, BC, CD, DA</math> seien (in dieser Reihenfolge) <math>a, b, c, d</math>.
Man beweise, dass stets gilt
S≤(a+c)/2⋅(b+d)/2
und untersuche, wann das Gleichheitszeichen gilt.

Vorbemerkung. Falls $ABCD$ konkav ist, so erhalten wir durch "ausklappen" der konkaven Ecke ein konvexes Viereck, für die die Ungleichung ebenfalls gelten soll. Daher reicht es im folgenden nur ein konvexes Viereck zu betrachten. Gleichheit kann nur im nicht konkaven Fall auftreten.

Bestimmung des Flächeninhalts. Seine $P,Q,R,S$ die Seitenmittelpunkte der Seiten $AB,BC,CD,DA$, $e=|PR|,f=|QS|$ die Diagonalen des Vierecks $PQRS$. Dann läßt sich über Strahlensätze $PQ||AC||RS$ und $QR||BD||SP$ zeigen, d.h. $PQRS$ ist ein Parellelogramm mit dem Flächeninhalt $\frac{1}{2}ef\text{sin}(\epsilon)$, wobei $\epsilon$ den Winkel zwischen den Diagonalen bezeichnet. Desweiteren erhalten wir über Strahlensätze, dass der Flächeninhalt des Parallelogramms genau halb so groß wie S ist, als $S=ef\text{sin}(\epsilon)$ (Konvexität!). Insbesondere gilt $S=ef$ genau dann, wenn $e$ und $f$ orthogonal sind.

Die Ungleichung. Als Vektoren betrachte gilt. $\vec{PR} = \frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{DC})$, insbesondere haben wir nach Anwendung der Dreiecksungleichung $e\leq \frac{a+c}{2}$, wobei Gleichheit genau dann gilt, wenn $a$ und $c$ parallel sind. Alles zusammen:
\[S=ef\text{sin}(\epsilon)\leq ef\leq \frac{a+c}{2}\cdot \frac{b+d}{2}\] Nach den obigen Bemerkungen gilt $S=\frac{a+c}{2}\cdot \frac{b+d}{2}$ genau dann wenn die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks parallel und orthogonal zu den benachbarten Seiten sind, d.h. wenn $ABCD$ ein Rechteck ist.

Schlußbemerkung: Das Spiel mit dem inneren Parallelogramm war meine erste Begegnung mit "echter" Mathematik. Falls dieser Teil zu kurz geraten ist, könnte ich dieses noch etwas ausführen.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.123 begonnen.]


stpolster
Senior
Dabei seit: 27.03.2014
Mitteilungen: 1010
Aus: Chemnitz
Beitrag No.129, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-27 20:05

Hallo,
die bucklige Verwandtschaft hat sich wieder verzogen und ich kann mich wieder den wichtigen Dingen widmen, der Mathematik. smile

Jetzt sind es schon 130 Lösungen (Online!). Ihr seit einfach nur sensationell.

LG Steffen


Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.130, eingetragen 2019-04-27 20:30

zur Aufgabe 061236: Die Zahl <math>\sin 10^{\circ}</math> genügt einer algebraischen Gleichung dritten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten. Man stelle diese (bis auf einen gemeinsamen Teiler aller Koeffizienten eindeutig bestimmte) Gleichung auf und ermittle ihre beiden anderen Wurzeln.

Lösung:

Es ist <math>\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)</math>, <math>\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)</math> und <math>\sin(3x)=\sin(2x+x)=\sin(2x)\cos(x)+\cos(2x)\sin(x)=2\sin(x)\cos^2(x)+\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)=3(1-\sin^2(x))\sin(x)-\sin^3(x)=3\sin(x)-4\sin^3(x)</math>.

Mit <math>x=10^{\circ}</math>, <math>X_1=\sin(x)</math> und <math>\sin(3x)=\sin(30^{\circ})=\frac{1}{2}</math> folgt, dass <math>X_1=\sin(10^{\circ})</math> Lösung der Gleichung

<math>\frac{1}{2}=3X-4X^3</math> bzw. <math>8X^3-6X+1=0</math> ist.

Da <math>\sin(30^{\circ})=\sin(390^{\circ})=\sin(750^{\circ})</math> ist, erfüllen auch <math>X_2=\sin(x_2)</math> und <math>X_3=\sin(x_3)</math> mit <math>x_2=\frac{390^{\circ}}{3}=130^{\circ}</math> und <math>x_3=\frac{750^{\circ}}{3}=250^{\circ}</math> diese Gleichung. Offensichtlich sind <math>X_1=\sin(10^{\circ})</math>, <math>X_2=\sin(130^{\circ})=\sin(50^{\circ})</math> und <math>X_3=\sin(250^{\circ})=\sin(-70^{\circ})</math> paarweise verschieden, da die Sinus-Funktion streng monoton steigend im Intervall <math>[-90^{\circ}, 90^{\circ}]</math> ist. Also stellen <math>X_2</math> und <math>X_3</math> die gesuchten weiteren Lösungen der angegebenen Gleichung dar.

Cyrix


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Beitrag No.131, eingetragen 2019-04-27 20:49

Zur Aufgabe 061235: Es seien <math>n</math> Schüler mit Nummern versehen und in der Reihenfolge <math>1,2,3, \dots ,n</math> nebeneinander aufgestellt. Ein Umordnungsbefehl besteht darin, dass jeder Schüler entweder einmal seinen Platz miteinem anderen tauscht oder auf seinem Platz bleibt. Man gebe zwei   Befehle an, durch deren Hintereinanderausführung die Anordnung <math>n,1,2,3, \dots , n?1</math> entsteht.

Lösung:

Eine mögliche Variante lautet wie folgt:
1. Umordnungsbefehl: Jeweils zwei Schüler, deren Nummern sich zu <math>n+1</math> ergänzen, tauschen die Plätze. (Ist <math>n+1</math> gerade, so bleibt der Schüler mit Nr. <math>\frac{n+1}{2}</math> an seinem Platz stehen.)
2. Umordnungsbefehl: Jeweils zwei Schüler, deren Nummern sich zu <math>n</math> ergänzen, tauschen Plätze. (Der Schüler mit Nr. <math>n</math> und, falls existent, der Schüler mit Nr. <math>\frac{n}{2}</math> bleibt/ bleiben stehen.)

Durch den ersten Umordnungsbefehl befindet sich der Schüler mit Nummer <math>k</math> nach dessen Ausführung auf der Position <math>n+1-k</math>, da er mit dem Schüler dieser Nummer getauscht hat. (Ist n+1 gerade, so hätte nur der Schüler mit Nummer <math>k=\frac{n+1}{2}</math> keinen Tauschpartner. Aber er soll ja dann auch stehen bleiben und befindet sich genauso an der entsprechenden Position <math>n+1-k=\frac{n+1}{2}=k</math>.)

Tauscht nun im zweiten Umordnungsbefehl der Schüler mit Nummer <math>\ell</math> den Platz mit dem Schüler mit Nummer <math>n-\ell</math>, so befand sich jener zweiter nach dem ersten Umordnungsbefehl an Position <math>n+1-(n-\ell)=\ell+1</math>. Der Schüller mit Nummer <math>\ell</math> ist also durch beide Umordnungsbefehle nun an die Position <math>\ell+1</math>, also einen Platz nach rechts gerutscht. Einzige hierbei noch nicht betrachtete Schüler sind diejenigen, die beim zweiten Umordnungsbefehl stehen bleiben. Das ist einerseits der Schüler mit Nummer <math>n</math>. Dieser steht nach dem ersten Umordnungsbefehl auf Position <math>n+1-n=1</math>, also ganz vorn, und bleibt da auch -- wie gewünscht -- stehen. Und zweitens, falls <math>n</math> gerade ist, der Schüler mit Nummer <math>\frac{n}{2}</math>. Dieser befand sich nach dem ersten Umordnungsbefehl an Position <math> n+1-\frac{n}{2}=\frac{n}{2}+1</math>, war also gegenüber der Ausgangsanordnung schon um einen Platz nach rechts gerückt. Bleibt er beim zweiten Umordnungsbefehl nun stehen, ist er schon an der gewünschten Position.

Damit ist gezeigt, dass nach Ausführung dieser beiden Umordnungsbefehle aus der Start-Anordnung die gewünschte Zielanordnung erreicht wird.

Cyrix


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Beitrag No.132, eingetragen 2019-04-27 20:53

Aufgabe 051236:
Man beweise, dass für jede natürliche Zahl <math>n \geq 1</math> die folgenden Beziehungen gelten:
\[
(1)\qquad
\sin{x} + \sin{3x} + ... + \sin{(2n - 1)x} = \frac{\sin^2{nx}}{\sin{x}} \qquad \text{für alle reellen x mit } \sin{x} \neq 0
\] \[
(2)\qquad
\sin{x} + \sin{3x} + ... + \sin{(2n - 1)x} = 0 \qquad \text{für alle reellen x mit } \sin{x} = 0
\]

@Steffen: in der Aufgabenstellung hat sich ein Fehler eingeschlichen.

1) Für $n=1$ ist die Behauptung offensichtlich richtig. Daher reicht es im Induktionsschritt
\[\frac{\sin^2{nx}}{\sin{x}} + \sin{(2n + 1)x} = \frac{\sin^2{(n+1)x}}{\sin{x}}\] bzw.
\[\sin^2{nx}+ \sin{(2n + 1)x}\cdot\sin{x} = \sin^2{(n+1)x}\] zu zeigen. Mit $\sin^2{x}-\sin^2{y} = \sin{(x+y)}\cdot \sin{(x-y)}$ gilt:
\[\sin^2{(n+1)x} - \sin^2{nx} = \sin{((2n + 1)x)}\cdot\sin{x}.\] 2) Aus $\sin{x}=0$ folgt $x=k\pi$ mit $k\in\IZ$. Insbesondere habe alle $nx$ dieselbe Gestalt. Daher sind alle Summanden auf linken Seite der Gleichung 0.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.130 begonnen.]


ZePhoCa
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Beitrag No.133, eingetragen 2019-04-27 20:54

Aufgabe 080931:
Marlies erklärt Claus-Peter ein Verfahren, nach dem man, wie sie meint, die Quadrate der natürlichen Zahlen von 26 bis 50 leicht ermitteln kann, wenn man die Quadrate der natürlichen Zahlen bis 25 auswendig weiß.
”Wenn du beispielsweise das Quadrat von 42 berechnen willst, dann bildest du die Ergänzung dieser Zahl bis 50 und quadrierst sie. Das wäre in diesem Falle 64.
Davor setzt du die Differenz zwischen deiner Zahl und 25, in deinem Falle also 17.
Die so gebildete Zahl, hier also 1764, ist bereits das gesuchte Quadrat von 42.”
Prüfen Sie die Richtigkeit dieses Verfahrens für alle Zahlen des angegebenen Bereichs!

Lösung:

Wir betrachten drei Fälle. Sei immer $x$ die betrachtete Zahl.
1) Das Quadrat der Ergänzung der Zahl zu 50 ist einstellig (d.h. $x \in \lbrace 47,\ldots,50 \rbrace$). Da $(50-x)^2$ einstellig ist, ist die gebildete Zahl dann $10(x-25)+(50-x)^2 = x^2-90x+2250$. Das ist genau dann gleich $x^2$ wenn $x=25$, dies liegt aber nicht im betrachteten Bereich. Für diese Zahlen funktioniert das Verfahren also nicht.
2) Das Quadrat der Ergänzung der Zahl zu 50 ist zweistellig (d.h. $x \in \lbrace 41,\ldots,46 \rbrace$). Dann erhält man mit dem Verfahren die Zahl $100(x-25)+(50-x)^2 = x^2$, hier funktioniert das Verfahren also.
3) Das Quadrat der Ergänzung der Zahl zu 50 ist dreistellig (d.h. $x \in \lbrace 26,\ldots,40 \rbrace$). Dann erhält man mit dem Verfahren die Zahl $1000(x-25)+(50-x)^2 = x^2+900x-22500$ und dies ist genau dann gleich $x^2$ wenn $x=25$, was nicht im betrachteten Bereich liegt.

Also geht das Verfahren genau dann, wenn $x$ zwischen 41 und 46 liegt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.130 begonnen.]


Kuestenkind
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Beitrag No.134, eingetragen 2019-04-27 20:55

2019-04-27 20:30 - cyrix in Beitrag No. 130 schreibt:
Es ist <math>\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)</math>, <math>\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)</math> und <math>\sin(3x)=\sin(2x+x)=\sin(2x)\cos(x)+\cos(2x)\sin(x)=2\sin(x)\cos^2(x)+\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)=3(1-\sin^2(x))\sin(x)-\sin^3(x)=3\sin(x)-4\sin^3(x)</math>.

Das lässt sich auch gleich für 071245 nutzen:



Damit lässt sich die linke Seite schreiben als:

\(\displaystyle \sin x+\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{1}{3}\sin 3x=\sin x+\sin x \cos x+ \frac{1}{3}\sin x\left(3-4\sin^2 x\right)=\sin x\left(1+\cos x+1-\frac{4}{3}\left(1-\cos^2 x\right)\right)\)

Und damit geht in die Ungleichung über in:

\(\displaystyle \sin x\left(\frac{4}{3}\cos^2 x+ \cos x+\frac{2}{3}\right)>0\)

Und das sollte nun nicht mehr so schwer zu zeigen sein.

Gruß,

Küstenkind

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.130 begonnen.]


ZePhoCa
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Beitrag No.135, eingetragen 2019-04-27 21:37

Aufgabe 051044:
Man berechne die Differenz D aus der Summe der Quadrate aller geraden natürlichen Zahlen <math>\leq 100</math> und der Summe der Quadrate aller ungeraden natürlichen Zahlen <math>< 100</math>!

Lösung:

Es gilt: Summe der ungeraden Quadrate <100 = $\sum_{i=1}^{50} (2i-1)^2$ und Summe der geraden Quadrate $\leq$100 = $\sum_{i=1}^{50} (2i)^2$. Also gilt

$D = \sum_{i=1}^{50} (2i)^2 - \sum_{i=1}^{50} (2i-1)^2 = \sum_{i=1}^{50} 4i^2 - \sum_{i=1}^{50} (4i^2-4i+1) = -50+\sum_{i=1}^{50} 4i = -50+4 \cdot \frac{50}{2} \cdot 51 = 5050.$


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Beitrag No.136, eingetragen 2019-04-27 22:02

Und noch einmal Trigonometrie: Aufgabe 061233:

Es sind alle diejenigen reellen Zahlen <math>x</math> in den Intervallen <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math> und <math>\frac{\pi}{2}<x<\pi</math> anzugeben, für die

<math>f(x)=\sin x+ \cos x +\tan x + \cot x</math>

positiv ist und alle diejenigen reellen Zahlen <math>x</math> in den selben Intervallen, für die <math>f(x)</math> negativ ist.

Gibt es einen kleinsten positiven Wert, den <math>f(x)</math> in den obigen Intervallen annimmt, und wenn ja, welcher Wert ist dies?


Lösung:

Für <math>0<x<\frac{\pi}{2}</math> sind sowohl <math>\sin x</math> als auch <math>\cos x</math>, und damit auch <math>\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}</math> und <math>\cot x=\frac{1}{\tan x}</math> allesamt positiv, also auch <math>f(x)</math>.

Für <math>\frac{\pi}{2}<x<\pi</math> ist zwar weiterhin <math>\sin x</math> positiv, aber <math>\cos x</math> und damit auch <math>\tan x</math> und <math>\cot x</math> negativ. Wegen <math>0>\cos x>-1</math> ist <math>\frac{1}{\cos x}<-1</math>, also <math>\tan x < -\sin x</math> und damit <math>f(x)<\sin x + \cos x - \sin x + \cot x =\cos x + \cot x < 0</math>.

Positive Werte nimmt <math>f</math> also nur auf dem ersten Intervall an. Dort betrachten wir nun die zwei Funktionen <math>f_1(x)=\sin x + \cos x</math> und <math>f_2(x)=\tan x + \cot x=\tan x + \frac{1}{\tan x}</math>. Damit ist wegen <math>\tan x > 0</math> direkt <math>f_2(x)\geq 2</math>, wobei Gleichheit nur für <math>\tan x=1</math>, also <math>x=\frac{\pi}{4}</math> als einzigem Wert im betrachteten Intervall, angenommen wird.

Für die Analyse von <math>f_1</math> betrachten wir deren Ableitungsfunktion <math>f_1^{\prime}(x)=\cos x - \sin x</math>, welche im betrachteten Intervall wieder nur genau für <math>x=\frac{\pi}{4}</math> verschwindet. Da in diesem Intervall die Cosinus-Funktion streng monoton fallend und die Sinus-Funktion streng monoton steigend ist, ist auch <math>f_1^{\prime}</math> streng monoton fallend und nimmt demnach für Argumente <math>x</math> kleiner als <math>\frac{\pi}{4}</math> positive, und für größere Argumente negative Werte an. Demzufolge ist die Funktion <math>f_1</math> im Intervall <math>0<x<\frac{\pi}{4}</math> streng monoton wachsend und im Intervall <math>\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}</math> streng monoton fallend. Also ist <math>f_1(x)\geq f_1\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}</math>, wobei Gleichheit nur für <math>x=\frac{\pi}{4}</math> angenommen wird.

Zusammen ergibt sich also <math>f(x)=f_1(x)+f_2(x)\geq \sqrt{2}+2</math>, wobei Gleichheit genau für <math>x=\frac{\pi}{4}</math> angenommen wird. Es ist also <math>2+\sqrt{2}</math> der gesuchte, kleinste positive Wert, den <math>f</math> im betrachteten Intervall annimmt.

Cyrix


stpolster
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Beitrag No.137, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-27 22:38

Aktueller Stand: 137 Lösungen!

LG Steffen


Kuestenkind
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Beitrag No.138, eingetragen 2019-04-27 23:08

Ist mir auch schon aufgefallen: Es gab damals wirklich viele Trigonometrie Aufgaben. Ist das heute auch noch so? So auch diese:



Dafür darf man sicherlich die Sinus und Kosinuswerte für 0°, 30°, 45°, 60° und 90° benutzen, welche sich als \(\frac{1}{2}\sqrt{k}\) schreiben lassen, wobei \(k\) beim Sinus die Werte von 0 bis 4 und beim Kosinus vom 4 bis 0 durchläuft.

Zudem kann man wieder \(\sin 2x=2\sin x \cos x\) und \(\cos 2x=\cos^2 x- \sin^2 x=1-2\sin^2 x \) nutzen sowie die Additionstheoreme \(\sin(x-y)=\sin x \cos x-\cos x \sin y\) und \(\cos(x-y)=\cos x \cos y +\sin x \sin y\). Damit:

\(\displaystyle \tan(7°30')=\frac{\sin(7'30')}{\cos(7°30')}=\frac{2\sin(7'30')\sin(7'30')}{2\sin(7'30')\cos(7°30')}=\frac{1-\cos(15°)}{\sin(15°)}=\frac{1-\cos(45°-30°)}{\sin(45°-30°)}\)

Und somit:

\(\displaystyle \frac{1-\cos(45°-30°)}{\sin(45°-30°)}=\frac{1-\cos(45°)\cos(30°)-\sin(45°)\sin(30°)}{\sin(45°)\cos(30°)-\cos(45°)\sin(30°)}=\frac{1-\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}}=\frac{1-\frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}}{\frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}}=\frac{(4-\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})}=\frac{4\sqrt{6}+4\sqrt{2}-6-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}-2}{4}=\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{3}-2\)

Gruß,

Küstenkind

PS:
2019-04-27 20:05 - stpolster in Beitrag No. 129 schreibt:
Ihr seit einfach nur sensationell.

Seid wann?  razz


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.136 begonnen.]


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Beitrag No.139, eingetragen 2019-04-27 23:12

Und noch etwas Algebra für zwischendurch:

Aufgabe 071244: Sechzehn im Dezimalsystem geschriebene natürliche Zahlen mögen eine geometrische Folge bilden, von der die ersten fünf Glieder neunstellig, fünf weitere zehnstellig, vier elfstellig und zwei weitere zwölfstellig sind.
Man beweise, dass es genau eine Folge mit diesen Eigenschaften gibt.

Lösung:
Seien die Folgenglieder mit $a_0$, $a_1$, $\dots$, $a_{15}$ bezeichnet und es gelte (da die Folge geometrisch ist) $a_i=a_0 \cdot \left(\frac{p}{q}\right)^i$ mit teilerfremden natürlichen Zahlen $p$ und $q$.

Da $a_{15}=a_0 \cdot \frac{p^{15}}{q^{15}}$ ist und $p^{15}$ und $q^{15}$ teilerfremd sind, muss $q^{15}$ ein Teiler von $a_0$ sein. Es ist $a_0<10^9$. Also muss $q<4$ gelten, denn sonst wäre $a_0\geq q^{15}\geq 4^{15}=2^{30}=\left(2^{10}\right)^3=1024^3>1000^3=10^9$.

Wegen $a_9<10^{10}$ und $a_0\geq 10^8$ ist $\left(\frac{p}{q}\right)^9=\frac{a_9}{a_0}<10^2$. Insbesondere ist also $\frac{p}{q}<2$, da sonst $\left(\frac{p}{q}\right)^9\geq 2^9=512>10^2$ wäre.

Als mögliche Quotienten $\frac{p}{q}$ aufeinander folgender Folgenglieder verbleiben also nur die rationalen Zahlen zwischen 1 und 2, welche einen Nenner von höchstens 3 besitzen. Dies sind $\frac{4}{3}$, $\frac{3}{2}$ und $\frac{5}{3}$.

Wegen $a_{14}\geq 10^{11}$ und $a_9<10^{10}$ ist $\left(\frac{p}{q}\right)^5=\frac{a_{14}}{a_9}>10$. Es ist aber $\left(\frac{4}{3}\right)^5<\left(\frac{3}{2}\right)^5=\frac{3^5}{2^5}=\frac{243}{32}<10$, sodass als einzig möglicher Quotient $\frac{p}{q}$ der Wert $\frac{5}{3}$ verbleibt.

Damit gibt es eine natürliche Zahl $n$, sodass $a_i=n \cdot 3^{15-i} \cdot 5^i$ für alle $0\leq i \leq 15$ gilt.

Wegen $n \cdot 3^6 \cdot 5^9 = a_9<10^{10}$ und $3^6 \cdot 5^9=(3^2 \cdot 5^3)^3=(9 \cdot 125)^3=(1000+125)^3>1000^3+3\cdot 1000^2 \cdot 125 = 10^9 + 375 \cdot 10^6 > 1,25 \cdot 10^9=\frac{1}{8} \cdot 10^{10}$ ist $n<8$.

Aus $10^8\leq a_0=n \cdot 3^{15}$ folgt mit $3^{15}= 3^6 \cdot 3 \cdot (3^4)^2=9^3 \cdot 3 \cdot 81^2 = 729 \cdot 3 \cdot 6561 < 750 \cdot 20000 = 1,5 *10^7$, dass $n>6$ ist, denn sonst wäre $a_0 \leq 6 \cdot 1,5 \cdot 10^7=9\cdot 10^7<10^8$.

Damit folgt zusammen, dass die Folge genau aus den Zahlen $a_i=7 \cdot 3^{15-i} \cdot 5^i$ mit $0\leq i\leq 15$ bestehen muss.

Bemerkung: Die Anzahl der Stellen der einzelnen Folgenglieder kann man nun nachrechnen. Dafür eignet sich ein Rechenwerkzeug, kann aber auch von Hand nachvollzogen werden.

Cyrix

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


Ex_Senior
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Beitrag No.140, eingetragen 2019-04-27 23:38

Um mal eine kleine Lücke zu füllen: 080934:

Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck <math>ABC</math>. Man ermittle das Verhältnis der Inhalte von In- und Umkreisfläche dieses Dreiecks zueinander!

Lösung:

Im gleichseitigen Dreieck fallen Mittelsenkrechten, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende zusammen, insbesondere also auch ihre Mittelpunkte. Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1, wobei der längere Abschnitt in Richtung der Eckpunkte liegt. Demzufolge ist der Umkreisradius genau doppelt so groß wie der Inkreisradius und es ergibt sich ein Verhältnis von 4 zwischen Umkreisfläche und Inkreisfläche.

Cyrix


Nuramon
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Beitrag No.141, eingetragen 2019-04-28 00:09
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Aufgabe 6 - 080936
Es sei ABCD ein Rechteck, und es sei P ein Punkt, der nicht notwendig in der Ebene des
Rechtecks zu liegen braucht. P habe vom Eckpunkt A den Abstand a, vom Punkt B den
Abstand b und vom Punkt C den Abstand c.
Man berechne den Abstand d des Punktes P vom Eckpunkt D und zeige dabei, dass zur
Ermittlung dieses Abstandes d die Kenntnis der drei Abstände a, b, c ausreicht.

Lösung
Wir legen alle Punkte so in ein kartesisches Koordinatensystem, dass o.B.d.A. $P=0$ im Ursprung liegt. Das Standardskalarprodukt bezeichnen wir mit $\langle,\rangle$.
Dann ist $a^2=\langle A,A\rangle$, $b^2=\langle D,D\rangle$, $c^2=\langle C,C\rangle$.
Da $AB\perp BC$ gilt außerdem $\langle A-B,B-C\rangle=0$, also $\langle A,B\rangle+\langle B,C\rangle =b^2+\langle A,C\rangle$.

Da $D=A+B-C$ gilt, folgt
\[\begin{align*}
d^2 &= \langle D,D\rangle \\
&= \langle A+B-C,A+B-C\rangle\\
&=\langle A, A+C-B\rangle +\langle C-B,A+C-B\rangle\\
&=a^2+\langle A,C\rangle -\langle A,B\rangle+\langle C-B,A-B\rangle +\langle C-B,C\rangle\\
&= a^2+\langle A,C\rangle -\langle A,B\rangle+0 +c^2-\langle B,C\rangle \\
&= a^2+c^2+ \langle A,C\rangle-\langle A,B\rangle-\langle B,C\rangle\\
&= a^2+c^2-b^2
\end{align*}\] Also gilt $d=\sqrt{a^2+c^2-b^2}$.

\(\endgroup\)

Ex_Senior
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Beitrag No.142, eingetragen 2019-04-28 00:20

Bei Aufgabe 061225 ist ein Schreibfehler: Bei der Definition von <math>v</math> ist im Zähler die Differenz, nicht die Summe, der beiden <math>n</math>-ten Potenzen zu bilden.

061225: Es seien <math>n, p, r, s</math> natürliche Zahlen. Ferner sei

<math>u=\frac{(r+s\cdot\sqrt{p})^n+(r-s\cdot\sqrt{p})^n}{2}, v=\frac{(r+s\cdot\sqrt{p})^n-(r-s\cdot\sqrt{p})^n}{2\cdot \sqrt{p}}, t=r^2-s^2p, z=u^2-t^n</math>.

Man beweise:
a) <math>u</math> und <math>v</math> sind natürliche Zahlen.
b) Die (somit ganze) Zahl <math>z</math> ist durch <math>v^2</math> ohne Rest teilbar.

Lösung:
zu a) Nach dem binomischen Satz ist <math>(r+s\cdot\sqrt{p})^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} r^k(s\sqrt{p})^{n-k}</math> und analog <math>(r-s\cdot\sqrt{p})^n=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k} r^k(s\sqrt{p})^{n-k}</math>. Addiert man nun die beiden Summen, so ergänzen sich die jeweiligen Summanden mit ungeradem <math>n-k</math> zu 0, während die mit geradem <math>n-k</math> in beiden Summen erhalten bleiben und identisch sind. In diesen Fällen erhält man also jeden Summanden doppelt, wobei diese aufgrund des geraden Exponenten von <math>s\sqrt{p}</math> selbst natürliche Zahlen sind. Damit ist der Zähler eine gerade natürliche Zahl und auch nach der Division durch Zwei damit <math>v</math> eine natürliche Zahl.

Analog heben sich bei der Subtraktion die jeweiligen Summanden mit geradem <math>n-k</math> weg, während für diejenigen mit ungeradem <math>n-k</math> sich der doppelte Wert ergibt. In jedem solchem Summanden ist <math>\sqrt{p}</math> in ungerader Potenz enthalten, lässt sich also als geradzahliges, natürliches Vielfaches von <math>\sqrt{p}</math> darstellen, sodass nach der Division durch <math>2\sqrt{p}</math> eine natürliche Zahl <math>v</math> verbleibt.

zu b) Es ist <math>u^2=\frac{(r+s\sqrt{p})^{2n}+(r-s\sqrt{p})^{2n}+2\cdot((r+\s\sqrt{p})(r-s\sqrt{p}))^n}{4}=\frac{(r+s\sqrt{p})^{2n}+(r-s\sqrt{p})^{2n}}{4}+\frac{t^n}{2}</math> und analog <math>v^2=\frac{(r+s\sqrt{p})^{2n}+(r-s\sqrt{p})^{2n}}{4}-\frac{t^n}{2}</math>, also <math>z=u^2-t^n=v^2</math>, was natürlich direkt <math>v^2|z</math> beweist.

Cyrix

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.140 begonnen.]


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Beitrag No.143, eingetragen 2019-04-28 00:41

Und abschließend für heute eine kleine Geometrie:

061231: In ein und derselben Ebene seien <math>n</math> Punkte (<math>n>2</math>) so verteilt, dass es zu jedem von ihnen unter den übrigen nur einen nächstgelegenen gibt. Zu jedem dieser <math>n</math> Punkte werde der von ihm ausgehende und in dem ihm nächstgelegenen Punkt endende Vektor und nur dieser gezeichnet.
Man ermittle die größtmögliche Anzahl derjenigen unter diesen Vektoren, die dann in einem und demselben der <math>n</math> Punkte enden können.

Lösung:

Die größtmögliche Anzahl ist 5.

Um dies zu zeigen, nehmen wir zuerst an, es gäbe 6 Punkte <math>P_1</math> bis <math>P_6</math>, deren nächstgelegener Punkt jeweils der von ihnen alle verschiedene Punkt <math>Q</math> sei. O.B.d.A. seien die Punkte so bezeichnet, dass die von <math>P_i</math> nach <math>Q</math> verlaufenden Vektoren bei einem in mathematisch positiver Orientierung erfolgenden Umlauf um <math>Q</math> in aufsteigender Reihenfolge getroffen werden. Definieren wir für eine einfachere Notation noch zusätzlich <math>P_7:=P_1</math>, dann zerlegen nun also die 6 Winkel <math>\angle P_iQP_{i+1}</math> den Vollwinkel bei <math>Q</math>. Demzufolge ist mindestens einer unter diesen höchstens <math>60^{\circ}</math> groß, o.B.d.A. sei dies <math>\angle P_1QP_2</math>. Dann ist einer der beiden anderen Innenwinkel des Dreiecks <math>\triangle P_1QP_2</math> mindestens so groß, sei dies o.B.d.A. <math>\angle QP_1P_2</math>. Da aber dem größeren Innenwinkel in einem Dreieck immer auch die größere Seite gegenüberliegt, ist dann auf jeden Fall die Strecke <math>\overline{P_2Q}</math> mindestens so lang wie die Strecke <math>\overline{P_1P_2}</math>, also der Punkt <math>P_1</math> höchstens so weit entfernt von <math>P_2</math> wie <math>Q</math>. Dies ist aber ein Widerspruch zur Annahme, der eindeutig bestimmte nächstgelegene Punkt zu <math>P_2</math> wäre <math>Q</math> gewesen. Also können höchstens 5 Vektoren in einem Punkt ankommen.

Dass dies auch wirklich möglich ist, zeigt die Konstellation eines regelmäßigen Fünfecks sowie seines Mittelpunkts. Dann führt die eben durchgeführte Überlegung in jedem Fall dazu, dass die Verbindungsstrecke zweier "benachbarter" Eckpunkte immer länger ist als die jeweiligen Radien. (Und die übrigen Diagonalen sind sowieso noch länger.)

Cyrix


Nuramon
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Beitrag No.144, eingetragen 2019-04-28 02:23
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Aufgabe 080922:
Von einem Dreieck <math>\Delta ABC</math> seien die Längen zweier Seiten und die Länge der Winkelhalbierenden des von diesen beiden Seiten eingeschlossenen Winkels bekannt.
Berechnen Sie die Länge derjenigen Sehne des Umkreises des Dreiecks, die durch Verlängerung der erwähnten Winkelhalbierenden entsteht!

Lösung (ohne Skizze)
Es seien die Seitenlängen $c$ von $AB$ und $b$ von $AC$, so wie die Länge $w$ der Winkelhalbierende des Winkels $\sphericalangle BAC$ bekannt.
Es sei $E$ der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit der Seite $BC$ und es sei $D$ der Schnittpunkt der Verlängerung von $w$ mit dem Umkreis. Gesucht ist die Länge $x$ der Sehne $AD$.

Nach Umfangswinkelsatz gilt $\sphericalangle BCA = \sphericalangle BDA$.
Per Definition der Winkelhalbierenden $w$ gilt außerdem $\sphericalangle BAD = \sphericalangle EAC$.
Also stimmen die Dreiecke $ABD$ und $AEC$ in zwei Winkeln überein und sind somit ähnlich.
Insbesondere gilt also $\frac xc = \frac bw $, d.h. $x = \frac {bc}w$.

\(\endgroup\)

HyperPlot
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Beitrag No.145, eingetragen 2019-04-28 05:51
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-04-28 02:23 - Nuramon in Beitrag No. 144 schreibt:
Aufgabe 080922:
Von einem Dreieck <math>\Delta ABC</math> seien die Längen zweier Seiten und die Länge der Winkelhalbierenden des von diesen beiden Seiten eingeschlossenen Winkels bekannt.
Berechnen Sie die Länge derjenigen Sehne des Umkreises des Dreiecks, die durch Verlängerung der erwähnten Winkelhalbierenden entsteht!

Lösung (ohne Skizze)
Es seien die Seitenlängen $c$ von $AB$ und $b$ von $AC$, so wie die Länge $w$ der Winkelhalbierende des Winkels $\sphericalangle BAC$ bekannt.
Es sei $E$ der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit der Seite $BC$ und es sei $D$ der Schnittpunkt der Verlängerung von $w$ mit dem Umkreis. Gesucht ist die Länge $x$ der Sehne $AD$.

Nach Umfangswinkelsatz gilt $\sphericalangle BCA = \sphericalangle BDA$.
Per Definition der Winkelhalbierenden $w$ gilt außerdem $\sphericalangle BAD = \sphericalangle EAC$.
Also stimmen die Dreiecke $ABD$ und $AEC$ in zwei Winkeln überein und sind somit ähnlich.
Insbesondere gilt also $\frac xc = \frac bw $, d.h. $x = \frac {bc}w$.



Ich finde es besser, einfache Bezeichnungen und möglichst übliche Bezeichnungen zu verwenden.

"<math>\sphericalangle BAD</math>" usw. macht das ganze unnötig kompliziert, weil man dann immer überlegen muss, was gemeint ist.


Ohne Bild immer etwas verwirrend; daher mal mein Senf dazu:
________________________________________________
________________________________________________
Aufgabe 080922:
<math>
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
%\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
% Winkelhalbierende
\pgfmathsetmacro{\wa}{2*\b*\c*cos(\Alpha/2)/(\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\WD}{\b*\c/\wa-\wa} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen


% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Winkelhalbierende
\draw[thick] (A) -- (0.5*\Alpha:\wa) coordinate[Punkt={above=3pt}{W}] (Wa);
% Verlngerung
\draw[thick, red] (Wa) --+ ($(A)!\WD cm!(Wa)$) coordinate[Punkt={right}{D}] (D) node[midway, above, sloped]{$x$};

% Kreissehnen
\draw[densely dashed] (D) -- (B);

% Winkel
\draw pic [angle radius=5mm, angle eccentricity=1.7,
draw,   "$\alpha/2$", double
] {angle =B--A--Wa};
\draw pic [angle radius=6mm, angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\alpha/2$", double
] {angle =Wa--A--C};

\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\gamma$", red
] {angle =A--C--B};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\gamma$", red
] {angle =A--D--B};

% Abbotationen Dreieck
\draw[thick] (A) -- (B) node[midway, below] {$c$};
\draw[thick] (A) -- (C) node[midway, left] {$b$};
\draw[thick] (A) -- (Wa) node[near end, sloped, above] {$w$}; %w_\alpha

%% Punkte
\foreach \P in {Wa,D}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%R = \R \text{ cm}  &  \\
%w_\alpha = \wa \text{ cm}  &  \\ \hline
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};

\end{tikzpicture}
</math>

Zeichnet man die Verbindung <math>|DB|</math> ein, so erhält man gemäß dem Umfangswinkelsatz gleiche Umfangswinkel (<math>\gamma</math>) bei <math>C</math> und <math>D</math> über dem Kreisbogen <math>AB</math>.

Demnach sind die Dreiecke <math>AWC</math> und <math>ABD</math> ähnlich, da sie zwei gleiche Winkel haben (<math>\gamma</math> und <math>\dfrac{\alpha}{2}</math>).

Entsprechend gelten die Seitenverhältnisse
<math>
\dfrac{b}{w} = \dfrac{w+x}{c}
~~~\Leftrightarrow~~~
\dfrac{bc}{w}-w = x = |WD|
</math>     für die Verlängerung
bzw.     <math>
|AD| = x+w = \dfrac{bc}{w}
</math>     für die ganze Sehne.
________________________________________________
________________________________________________















Mit der richtigen Vorlage geht das schnell.
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
 
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{5} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
%\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} % 
% Winkelhalbierende
\pgfmathsetmacro{\wa}{2*\b*\c*cos(\Alpha/2)/(\b+\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\WD}{\b*\c/\wa-\wa} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0); 
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
 
 
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %  
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %    
 
\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); 
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %  
\draw[] (U) circle[radius=\R];
 
% Winkelhalbierende
\draw[thick] (A) -- (0.5*\Alpha:\wa) coordinate[Punkt={above=3pt}{W}] (Wa); 
% Verlängerung
\draw[thick, red] (Wa) --+ ($(A)!\WD cm!(Wa)$) coordinate[Punkt={right}{D}] (D) node[midway, above, sloped]{$x$}; 
 
% Kreissehnen
\draw[densely dashed] (D) -- (B); 
 
% Winkel
\draw pic [angle radius=5mm, angle eccentricity=1.7, 
draw,   "$\alpha/2$", double
] {angle =B--A--Wa}; 
\draw pic [angle radius=6mm, angle eccentricity=1.5, 
draw,   "$\alpha/2$", double
] {angle =Wa--A--C}; 
 
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.5, 
draw,   "$\gamma$", red
] {angle =A--C--B}; 
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.5, 
draw,   "$\gamma$", red
] {angle =A--D--B}; 
 
% Abbotationen Dreieck
\draw[thick] (A) -- (B) node[midway, below] {$c$}; 
\draw[thick] (A) -- (C) node[midway, left] {$b$}; 
\draw[thick] (A) -- (Wa) node[near end, sloped, above] {$w$}; %w_\alpha
 
%% Punkte
\foreach \P in {Wa,D}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);
 
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%R = \R \text{ cm}  &  \\ 
%w_\alpha = \wa \text{ cm}  &  \\ \hline
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
%\end{array}$
%};
 
\end{tikzpicture}
 
\end{document}


\(\endgroup\)

Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.146, eingetragen 2019-04-28 09:43

Eine Alternativ-Lösung zur 051231: Es ist zu beweisen, dass die Zahl <math>z=2^n+ 1</math> für keine natürliche Zahl <math>n\geq 0</math> Kubikzahl ist.

Lösung: Gäbe es ein solches <math>z</math>, dass Kubikzahl wäre, so also auch eine natürliche Zahl <math>k</math> mit <math>2^n+1=k^3</math> bzw. <math>2^n=k^3-1=(k-1)(k^2+k+1)</math>. Insbesondere wären sowohl <math>k-1</math> als auch <math>k^2+k+1</math> Teiler einer Zweierpotenz und damit selbst Zweierpotenzen. Wegen <math>k-1<k^2+k+1</math> müsste <math>k-1|k^2+k+1</math> folgen, was aber wegen <math>k^2+k+1-(k-1)(k+2)=k^2+k+1-(k^2+k-2)=3</math> auf <math>k=1</math> oder <math>k=3</math> führt. Jedoch sind weder <math>1^3-1=0</math> noch <math>3^3-1=26</math> Zweierpotenzen, sodass es keine solche Zahlen gibt.

Bemerkung: Damit spart man sich die m.E. etwas umständlichere Rechnung der im Skript angegebenen Lösung.

Cyrix


HyperPlot
Aktiv
Dabei seit: 06.01.2019
Mitteilungen: 358
Aus: Kneedeep in the Dead
Beitrag No.147, eingetragen 2019-04-28 09:58



<math>
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{4.3} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.7} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{90} %

\pgfmathsetmacro{\c}{sqrt(\a^2+\b^2)} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={left}{C}] (C) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (\b,0);
\coordinate[Punkt={above}{B}] (B) at (\Gamma:\a);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\bullet$", draw, thick,
] {angle =A--C--C};


% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={above}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];
% Umkreisradius
\draw[] (U) -- ($(U)!\R cm!-90:(B)$) node[midway, right]{$R$};


% Inkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\r}{\F/\s} %

% Inkreis
\pgfmathsetmacro{\ai}{\a/(2*\s)} %
\pgfmathsetmacro{\bi}{\b/(2*\s)} %
\pgfmathsetmacro{\ci}{\c/(2*\s)} %
\coordinate[Punkt={above=4pt}{I}] (I) at ($\ai*(A)+\bi*(B)+\ci*(C)$);

\draw[] (I) circle[radius=\r];
\foreach \P in {A,B,C} \draw[densely dashed, thin] (I) -- (\P);
% Berhrpunkte
\draw[] (I) -- ($(A)!(I)!(B)$) coordinate[Punkt={right}{T_c}] (Tc)  node[midway, right]{$r$};
\draw[] (I) -- ($(A)!(I)!(C)$) coordinate[Punkt={below}{T_b}] (Tb)  node[midway, left]{$r$};
\draw[] (I) -- ($(B)!(I)!(C)$) coordinate[Punkt={left}{T_a}] (Ta)  node[midway, below]{$r$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw
] {angle =I--Ta--B};
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =A--Tb--I};
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =B--Tc--I};

% Annotationen - Dreieck
\draw[red] (Ta) -- (B) node[midway, left]{$a-r$};
\draw[red] (Tc) -- (B) node[midway, right]{$a-r$};
\draw[blue] (Tc) -- (A) node[midway, right]{$b-r$};
\draw[blue] (Tb) -- (A) node[midway, below]{$b-r$};

%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%R = \R \text{ cm}  &  \\ \hline
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};

%% Punkte
\foreach \P in {Ta,Tb,Tc,I,U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

% Annotation
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\pgfmathsetmacro{\textbreite}{2*\R+1} %

\node[below, anchor=north west, align=left, text width=2.5*\R cm, draw=none, inner sep=1pt,
xshift=1.6*\R cm,  yshift=5mm,
font=\normalsize,
%fill=black!1, draw=red,
] at (B){%\vspace{-1em}
Sei $ABC$ ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $c$, d.h. $\gamma=90^\circ$; und sei $R$ der Umkreisradius, $r$ der Inkreisradius. \\
\begin{itemize}
\item Die Betrachtung der Berhrpunkte $T_a, T_b, T_c$ des Inkreises liefert $c = (a-r) + (b-r)$
\item Nach dem \emph{erweiterten Sinussatz} ist $\sin(\gamma) = \dfrac{c}{2R} = 1 = \sin(90^\circ)
~\Leftrightarrow~ c=2R$.
\item Damit wird $2R = (a-r) + (b-r)
~\Leftrightarrow~ 2r + 2R = a+b$.
\end{itemize}
};


\end{tikzpicture}
</math>

LaTeX
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{4.3} %  
\pgfmathsetmacro{\b}{3.7} %  
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{90} % 
 
\pgfmathsetmacro{\c}{sqrt(\a^2+\b^2)} %  
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Dreieckskonstruktion
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} % 
\coordinate[Punkt={left}{C}] (C) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (\b,0); 
\coordinate[Punkt={above}{B}] (B) at (\Gamma:\a); 
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % 
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\bullet$", draw, thick, 
] {angle =A--C--C};
 
 
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
 
\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %  
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %  
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %    
 
\coordinate[Punkt={above}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$); 
 
\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %  
\draw[] (U) circle[radius=\R];
% Umkreisradius
\draw[] (U) -- ($(U)!\R cm!-90:(B)$) node[midway, right]{$R$};
 
 
% Inkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} % 
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} % 
\pgfmathsetmacro{\r}{\F/\s} %  
 
% Inkreis
\pgfmathsetmacro{\ai}{\a/(2*\s)} %  
\pgfmathsetmacro{\bi}{\b/(2*\s)} %  
\pgfmathsetmacro{\ci}{\c/(2*\s)} %  
\coordinate[Punkt={above=4pt}{I}] (I) at ($\ai*(A)+\bi*(B)+\ci*(C)$); 
 
\draw[] (I) circle[radius=\r];
\foreach \P in {A,B,C} \draw[densely dashed, thin] (I) -- (\P);
% Berührpunkte
\draw[] (I) -- ($(A)!(I)!(B)$) coordinate[Punkt={right}{T_c}] (Tc)  node[midway, right]{$r$}; 
\draw[] (I) -- ($(A)!(I)!(C)$) coordinate[Punkt={below}{T_b}] (Tb)  node[midway, left]{$r$}; 
\draw[] (I) -- ($(B)!(I)!(C)$) coordinate[Punkt={left}{T_a}] (Ta)  node[midway, below]{$r$}; 
% Winkel
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw
] {angle =I--Ta--B};
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =A--Tb--I};
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =B--Tc--I};
 
% Annotationen - Dreieck
\draw[red] (Ta) -- (B) node[midway, left]{$a-r$};
\draw[red] (Tc) -- (B) node[midway, right]{$a-r$};
\draw[blue] (Tc) -- (A) node[midway, right]{$b-r$};
\draw[blue] (Tb) -- (A) node[midway, below]{$b-r$};
 
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%R = \R \text{ cm}  &  \\ \hline
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
%\end{array}$
%};
 
%% Punkte
\foreach \P in {Ta,Tb,Tc,I,U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
% Annotation
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\pgfmathsetmacro{\textbreite}{2*\R+1} %  
 
\node[below, anchor=north west, align=left, text width=2.5*\R cm, draw=none, inner sep=1pt, 
xshift=1.6*\R cm,  yshift=5mm, 
font=\normalsize, 
%fill=black!1, draw=red,
] at (B){%\vspace{-1em}
Sei $ABC$ ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse $c$, d.h. $\gamma=90^\circ$; und sei $R$ der Umkreisradius, $r$ der Inkreisradius. \\
\begin{itemize}
\item Die Betrachtung der Berührpunkte $T_a, T_b, T_c$ des Inkreises liefert $c = (a-r) + (b-r)$ 
\item Nach dem \emph{erweiterten Sinussatz} ist $\sin(\gamma) = \dfrac{c}{2R} = 1 = \sin(90^\circ)
~\Leftrightarrow~ c=2R$.
\item Damit wird $2R = (a-r) + (b-r)
~\Leftrightarrow~ 2r + 2R = a+b$.
\end{itemize}
};
 
 
\end{tikzpicture}
 
 
\end{document}



Nuramon
Senior
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Beitrag No.148, eingetragen 2019-04-28 10:43
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-04-28 05:51 - HyperPlot in Beitrag No. 145 schreibt:
Ohne Bild immer etwas verwirrend; daher mal mein Senf dazu
Da stimme ich dir zu. Ich hatte auch darauf gehofft, dass du mir die Arbeit abnimmst razz
Vielen Dank!

Aufgabe 090922:
Jemand behauptet:
Wenn von zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> jede die Eigenschaft hat, sich als Summe der Quadrate zweier natürlicher Zahlen darstellen zu lassen, dann hat auch das Produkt von <math>a</math> und <math>b</math> diese Eigenschaft.
a) Geben Sie ein Zahlenbeispiel an!
b) Beweisen Sie diesen Satz!

Lösung
a) $5\cdot 25= (1+4)(9+16)=125 =25+100= 5^2+10^2 $.
b) Sei $a=p^2+q^2, b= r^2+s^2$ mit $p,q,r,s\in \IN$. Dann gilt
\[\begin{align*}ab  &=(p^2+q^2)(r^2+s^2)\\
&= \det\begin{pmatrix}p& q\\ -q &p\end{pmatrix}\det \begin{pmatrix}r&s\\-s&r\end{pmatrix} \\
&= \det\begin{pmatrix}pr-qs & ps+qr \\ -(ps+qr) & pr-qs\end{pmatrix} \\
&= (pr-qs)^2+(ps+qr)^2
\end{align*}\]



\(\endgroup\)

Ex_Senior
Neu
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Beitrag No.149, eingetragen 2019-04-28 10:44

Zum Gleichungssystem 071225: Es sind alle geordneten Paare reeller Zahlen <math>(x,y)</math> anzugeben, für die das Gleichungssystem

<math>x \cdot (ax^2+by^2 -a) = 0</math> und <math>y \cdot (ax^2+by^2 -b) = 0</math> erfüllt ist. Dabei sind <math>a</math> und <math>b</math> reelle Zahlen mit <math>a\neq 0</math>, <math>b\neq 0</math> und <math>a\neq b</math>.

Lösung:

Wir führen eine Fallunterscheidung durch:

1. Fall: <math>x=0</math>. Dann geht die zweite Gleichung über in <math>y \cdot b \cdot (y^2-1)=0</math>, was wegen <math>b\neq 0</math> auf <math>y=0</math> oder <math>y=\pm 1</math> führt. Für alle drei Elemente <math>(x,y)\in\{(0,-1),(0,0),(0,1)\}</math> bestätigt die Probe, dass es sich tatsächlic um Lösungen des Gleichungssystems handelt.

2. Fall: <math>x\neq 0</math>. Dann folgt aus der ersten Gleichung <math>ax^2+by^2-a=0</math>, also aufgrund <math>a\neq b</math> damit <math>ax^2+by^2-b\neq 0</math>, sodass aus aus der zweiten Gleichung direkt <math>y=0</math> folgt. Dies in die eben erhaltene Gleichung eingesetzt, liefert <math>ax^2-a=0</math> bzw. <math>x=\pm 1</math>. Auch hier sind wieder alle Elemente der Menge <math>\{(-1,0), (1,0)\}</math> Lösungen des Gleichungssystems, wie die Probe bestätigt.

Damit hat das angegebenene Gleichungssystem insgesamt fünf Lösungen, die in den beiden Fällen notiert wurden.

Cyrix

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.147 begonnen.]


StrgAltEntf
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Beitrag No.150, eingetragen 2019-04-28 11:13

Aufgabe 041226

2019-04-25 21:09 - StrgAltEntf in Beitrag No. 82 schreibt:
2019-04-25 10:50 - Caban in Beitrag No. 70 schreibt:
Hallo

So jetzt sollte es passen:

Die gesuchte Fläche sind zwei Kreissegmente des Kreises mit dem Radius r und mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt M. Die Sehne des ersten Kreissegments liegt auf der Gerade y=x+r/2 und das Segment liegt oberhalb dieser Geraden. Die Sehne des zweiten Segments liegt auf der Gerade y=x-r/2, das Segment liegt unterhalb.

Ja, so passt es. Es ist noch zu ergänzen, dass die Ränder der beiden Kreissegmente nicht zur gesuchten Menge gehören.

Außerdem könnte man zur Lösung noch ergänzen:

Es ist \(|x-y|>r\) \(\iff\) \(x-y>r\) oder \(x-y<-r\) \(\iff\) \(y<x-r\) oder \(y>x+r\).
Folglich gehören nur solche Punkte \((x,y)\) zur Menge, die unterhalb der Gerade \(y=x-r\) oder oberhalb der Geraden \(y=x+r\) liegen.

Hier muss noch einmal nachgebessert werden - hatte ich übersehen. Die beiden Geraden lauten nicht y=x+r/2 und y=x-r/2, sondern y=x+r und y=x-r.


Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
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Aus:
Beitrag No.151, eingetragen 2019-04-28 11:58

Guten Morgen!

Hier noch eine Trigonometrie-Aufgabe.



Dabei verwende ich \(\sin x \sin y = \frac{1}{2}\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)\) und \(\sin x\cos y=\frac{1}{2}\left(\sin(x-y)+\sin(x+y)\right)\). Mit der Doppelwinkelfunktion des Sinus und den bekannten Sinuswerten für 30° und 45° lässt sich das Produkt zunächst schreiben als \(\frac{1}{64}\sqrt{2} \sin 10° \sin 50° \sin 70°\). Das verbleibende Produkt der Sinuswerte lässt sich vereinfachen zu:

\(\displaystyle \sin 10° \sin 50° \sin 70°=\frac{1}{2}\left(\cos 40°-\cos 60°\right)\sin 70°=\frac{1}{4}\left(2 \cos 40° \sin 70°-\sin 70°\right) =\frac{1}{4}\left(\sin 30°+\sin 110°- \sin 70°\right)=\frac{1}{8} \)

Somit ist der Produktwert \(\frac{1}{512}\sqrt{2}\).

Einen schönen Sonntag wünscht,

Küstenkind


weird
Senior
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4972
Aus:
Beitrag No.152, eingetragen 2019-04-28 12:02

2019-04-28 10:44 - cyrix in Beitrag No. 149 schreibt:
Zum Gleichungssystem 071225: Es sind alle geordneten Paare reeller Zahlen <math>(x,y)</math> anzugeben, für die das Gleichungssystem

<math>x \cdot (ax^2+by^2 -a) = 0</math> und <math>y \cdot (ax^2+by^2 -b) = 0</math> erfüllt ist. Dabei sind <math>a</math> und <math>b</math> reelle Zahlen mit <math>a\neq 0</math>, <math>b\neq 0</math> und <math>a\neq b</math>.

Lösung:

Wir führen eine Fallunterscheidung durch:

1. Fall: <math>x=0</math>. [..]
2. Fall: <math>x\neq 0</math>. [..]

Interessanterweise kann man die Aufgabe auch ohne jede Fallunterscheidung lösen - jetzt natürlich nur als Randbemerkung für Gourmets.  wink

Dazu muss man sich zunächst überlegen, dass $xy=0$ sein muss, da andernfalls die Klammerausdrücke in den zwei gegebenen Gleichungen 0 wären, was ja dann sofort auf den Widerspruch $a=b$ führen würde. Durch Ausmultiplizieren der Gleichungen, Einsetzen von $xy=0$ und Kürzen durch $a$ bzw. $b$ ergibt sich dann, dass das gegebene Gleichungssystem äquivalent ist zu einem anderen, in dem $a$ und $b$ dann gar nicht mehr vorkommen, nämlich
\[ xy=0,\ x^3=x, \ y^3=y\] mit den 5 offensichtlichen Lösungen $(x,y)\in\{(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0)\}$.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.150 begonnen.]


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1630
Aus:
Beitrag No.153, eingetragen 2019-04-28 12:37
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Aufgabe 3 - 071223
Beweisen Sie, dass für alle nicht negativen reellen Zahlen $a,b,c$ gilt:
\[a^3+b^3+c^3 \geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\]
Anmerkung: Ich gehe davon aus, dass es $\geq$ und nicht $>$ heißen soll (Tippfehler in der Aufgabensammlung?).

Beweis
Die Umordnungsungleichung besagt insbesondere, dass für beliebige reelle Zahlen $x_1\geq x_2 \geq x_3$ und $y_1\geq y_2\geq y_3$ gilt:
\[x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 \geq x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1 \] und
\[x_1y_1+x_2y_3+x_3y_2\geq x_1y_3+x_2y_2+x_3y_1.\]
Falls eine der Zahlen $a,b,c$ Null ist, dann ist
\[a^3+b^3+c^3 \geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\] erfüllt, denn es steht auf der linken Seite eine nichtnegative Zahl und auf der rechten Seite $0$.

Seien also $a,b,c$ positiv. Da die zu beweisende Ungleichung symmetrisch in $a,b,c$ ist, können wir o.B.d.A. annehmen, dass $a\geq b\geq c$.
Nach Division durch $\sqrt{abc}$ auf beiden Seiten bleibt zu zeigen, dass
\[\frac{a^{2,5}}{\sqrt{bc}}+\frac{b^{2.5}}{\sqrt{ac}}+\frac{c^{2.5}}{\sqrt{ab}} \geq a^{1.5}+b^{1.5}+c^{1.5}\] gilt.
Wegen $a^{2.5} \geq b^{2.5}\geq c^{2.5}$ und $\frac 1{\sqrt{bc}}\geq \frac 1{\sqrt{ac}}\geq \frac 1{\sqrt{ab}}$ gilt also nach Umordnungsungleichung
\[\begin{align*}
\frac{a^{2,5}}{\sqrt{bc}}+\frac{b^{2.5}}{\sqrt{ac}}+\frac{c^{2.5}}{\sqrt{ab}}
&\geq \frac{a^{2,5}}{\sqrt{ac}}+\frac{b^{2.5}}{\sqrt{ab}}+\frac{c^{2.5}}{\sqrt{bc}} \\
&= \frac{a^2}{\sqrt c}+\frac{b^2}{\sqrt a}+\frac{c^2}{\sqrt b}
\end{align*}\] Wegen $a^2\geq b^2\geq c^2$ und $\frac1{\sqrt c}\geq \frac1{\sqrt b}\geq \frac1{\sqrt a}$ gilt nach Umordnungsungleichung
\[\begin{align*}
\frac{a^2}{\sqrt c}+\frac{b^2}{\sqrt a}+\frac{c^2}{\sqrt b}
&\geq \frac{a^2}{\sqrt a}+\frac{b^2}{\sqrt b}+\frac{c^2}{\sqrt c}\\
&=a^{1.5}+b^{1.5}+c^{1.5},
\end{align*}\] woraus die Behauptung folgt.





[Die Antwort wurde nach Beitrag No.150 begonnen.]
\(\endgroup\)

Ex_Senior
Neu
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Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.154, eingetragen 2019-04-28 12:41

@Nuramon: Jep, da war ein Tippfehler in der Aufgabenstellung. (Für <math>a=b=c</math> -- und auch nur dann -- gilt ja Gleichheit.)

Schöne Lösung. :)

Cyrix


HyperPlot
Aktiv
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Mitteilungen: 358
Aus: Kneedeep in the Dead
Beitrag No.155, eingetragen 2019-04-28 13:22




<math>% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %  6
\pgfmathsetmacro{\b}{4} %  4
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} % 4.5
\pgfmathsetmacro{\d}{3} % 3

\pgfmathsetmacro{\a}{5} %  6
\pgfmathsetmacro{\b}{3} %  4
\pgfmathsetmacro{\c}{3} % 4.5
\pgfmathsetmacro{\d}{2.5} % 3

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\d^2+(\a-\c)^2-\b^2)/(2*\d*(\a-\c))}
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\b^2+(\a-\c)^2-\d^2)/(2*\b*(\a-\c))}
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Beta} %
\pgfmathsetmacro{\Delta}{180-\Alpha} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Trapezkonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\a,0);
\coordinate[Punkt={above}{D}] (D) at (\Alpha:\d);
%\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (180-\Beta:\b);
\draw[local bounding box=trapez] (A) -- (B) --+ (180-\Beta:\b) coordinate[Punkt={above}{C}] (C) -- (D) --cycle;

% Parallelogramm
\coordinate[Punkt={below}{H}] (H) at (\a-\c,0);
\draw[densely dashed] (H) -- (D) node[midway, right]{$b$};

% Annotationen Trapez
%\path[] (A) -- (B) node[midway, below]{$a$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$b$};
\path[] (C) -- (D) node[midway, above]{$c$};
\path[] (D) -- (A) node[midway, left]{$d$};

\path[] (A) -- (H) node[midway, below]{$a-c$};
\path[] (H) -- (B) node[midway, below]{$c$};


%%% Punkte
\foreach \P in {H}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);


% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c,\d)} %
\begin{scope}[shift={($(trapez.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 1] \s/\S in {a/a,b/b,c/c,d/d}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\alpha$}, pic text options={},
%"$\alpha$",
%] {angle =R--Q--P};


%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of trapez, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(trapez.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%d = \d \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%\delta = \Delta^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};

\node[anchor=north west, align=left,
text width=\textwidth, %2*\x cm,
xshift=0,  yshift=-1.5cm,
font=\normalsize,
inner sep=1pt,
%draw=red, fill=black!1
] at (strecken.south west){%\vspace{-1em}
Planfigur. Sei $a>c$. Whlt man auf der Seite $|AB|=a$ einen Punkt $H$ so, dass $|HB|=c$, erhlt man durch die Verbindung $|HD|$ das Parallelogramm $HBCD$. \\[1.5\baselineskip]
Damit ergibt sich folgende Konstruktion:
};




\end{tikzpicture}
</math>


LaTeX

Planfigur
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
 
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %  6
\pgfmathsetmacro{\b}{4} %  4
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} % 4.5
\pgfmathsetmacro{\d}{3} % 3
 
\pgfmathsetmacro{\a}{5} %  6
\pgfmathsetmacro{\b}{3} %  4
\pgfmathsetmacro{\c}{3} % 4.5
\pgfmathsetmacro{\d}{2.5} % 3
 
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\d^2+(\a-\c)^2-\b^2)/(2*\d*(\a-\c))} 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\b^2+(\a-\c)^2-\d^2)/(2*\b*(\a-\c))} 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Beta} % 
\pgfmathsetmacro{\Delta}{180-\Alpha} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Dreieck/.style={thick}, 
]
 
% Trapezkonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\a,0); 
\coordinate[Punkt={above}{D}] (D) at (\Alpha:\d); 
%\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (180-\Beta:\b); 
\draw[local bounding box=trapez] (A) -- (B) --+ (180-\Beta:\b) coordinate[Punkt={above}{C}] (C) -- (D) --cycle;
 
% Parallelogramm
\coordinate[Punkt={below}{H}] (H) at (\a-\c,0); 
\draw[densely dashed] (H) -- (D) node[midway, right]{$b$};
 
% Annotationen Trapez
%\path[] (A) -- (B) node[midway, below]{$a$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$b$};
\path[] (C) -- (D) node[midway, above]{$c$};
\path[] (D) -- (A) node[midway, left]{$d$};
 
\path[] (A) -- (H) node[midway, below]{$a-c$};
\path[] (H) -- (B) node[midway, below]{$c$};
 
 
%%% Punkte
\foreach \P in {H}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
 
% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c,\d)} %
\begin{scope}[shift={($(trapez.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 1] \s/\S in {a/a,b/b,c/c,d/d}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\alpha$}, pic text options={}, 
%"$\alpha$", 
%] {angle =R--Q--P};
 
 
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of trapez, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(trapez.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%d = \d \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%\delta = \Delta^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
%\end{array}$
%};
 
\node[anchor=north west, align=left,
text width=\textwidth, %2*\x cm, 
xshift=0,  yshift=-1.5cm, 
font=\normalsize,
inner sep=1pt, 
%draw=red, fill=black!1
] at (strecken.south west){%\vspace{-1em}
Planfigur. Sei $a>c$. Wählt man auf der Seite $|AB|=a$ einen Punkt $H$ so, dass $|HB|=c$, erhält man durch die Verbindung $|HD|$ das Parallelogramm $HBCD$. \\[1.5\baselineskip]
Damit ergibt sich folgende Konstruktion:
};
 
 
 
 
\end{tikzpicture}
 
 
\end{document}


Konstruktion
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{backgrounds}
\usetikzlibrary{patterns}
\usetikzlibrary{positioning}
\usetikzlibrary{angles, quotes, babel}
\usepackage{amsmath, amssymb, enumerate}
 
\begin{document}
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{6} %  6
\pgfmathsetmacro{\b}{4} %  4
\pgfmathsetmacro{\c}{4.5} % 4.5
\pgfmathsetmacro{\d}{3} % 3
 
%\pgfmathsetmacro{\a}{5} %  6
%\pgfmathsetmacro{\b}{3} %  4
%\pgfmathsetmacro{\c}{3} % 4.5
%\pgfmathsetmacro{\d}{2.5} % 3
 
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\d^2+(\a-\c)^2-\b^2)/(2*\d*(\a-\c))} 
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\b^2+(\a-\c)^2-\d^2)/(2*\b*(\a-\c))} 
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Beta} % 
\pgfmathsetmacro{\Delta}{180-\Alpha} % 
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
 
% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{
\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) coordinate(#2bogen) arc (#3:#4:#5) coordinate(#2Bogen);}
 
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },  
Kreis/.style={overlay, draw=none}, 
]
 
% Rahmen  \draw[red]
\clip (-2.8,3.8) rectangle (\textwidth+5mm,-\a);
 
% Trapezkonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0); 
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\a,0); 
\coordinate[Punkt={below}{H}] (H) at (\a-\c,0); 
 
\path[] (B) -- (H) node[midway, below] {$c$};
 
% Punkt D
\draw[name path=kreisA, Kreis] (A) circle[radius=\d];
\draw[name path=kreisH, Kreis] (H) circle[radius=\b];
\path[name intersections={of=kreisA and kreisH, name=D}];
\coordinate[Punkt={above}{D}] (D) at (D-1); 
% Bögen
\path let             
\p0 = (H), % Zentrum
\p1 = (D),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\Bogen[]{H}{\Winkel+7}{\Winkel-15}{\Radius}%\h*\sb zeichnen
\node[right] at (HBogen) {$\bigodot(H,b)$};
 
\path let             
\p0 = (A), % Zentrum
\p1 = (D),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\Bogen[]{A}{\Winkel+15}{\Winkel-20}{\Radius}%\h*\sb zeichnen
\node[below] at (Abogen) {$\bigodot(A,d)$};
 
% Punkt C
\pgfmathsetmacro{\k}{1.2} % 
\draw[name path=parallele, densely dashed, shorten <=-5mm] (D) --+ ($\k*(B)-\k*(A)$) coordinate(X);
\draw[name path=kreisB, Kreis] (B) circle[radius=\b];
\path[name intersections={of=kreisB and parallele, name=C}];
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (C-1); 
% Bogen
\path let             
\p0 = (B), % Zentrum
\p1 = (C),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\Bogen[]{B}{\Winkel+7}{\Winkel-15}{\Radius}%\h*\sb zeichnen
\node[xshift=0mm, fill=black!1] at (BBogen) {$\bigodot(B,b)$};
 
\draw[thick, local bounding box=trapez] (A) -- (B) -- (C) -- (D) --cycle;
 
%%% Punkte
\foreach \P in {A,B,C,D,H}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
 
%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of trapez, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(trapez.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%d = \d \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%\delta = \Delta^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
%\end{array}$
%};
 
 
% Annotation
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
\node[below, anchor=north west, align=left, 
text width=\textwidth-\a cm,
inner sep=1pt, 
xshift=5mm,  yshift=7mm, 
font=\normalsize, 
%fill=black!1, draw=red,
] at (X){\vspace{-1em}
\begin{enumerate}
\item Lege durch die Strecke $|AB|:=a$ die Punkte $A$ und $B$ fest.
\item Trage auf $|AB|$ vom Startpunk $B$ die Strecke $c$ ab; Endpunkt sei $H$.
\item Beschreibe einen Kreis $\bigodot(H, b)$ um $H$ vom Radius $b$. Beschreibe einen Kreis $\bigodot(A, d)$ um $A$ vom Radius $d$. Schnittpunkt beider Kreise ist die Ecke $D$ so dass, $A,H,D$ im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen werden.
\item Lege durch $D$ eine Parallele zu $|AB|$.
\item Beschreibe einen Kreis $\bigodot(B, b)$ um $B$ vom Radius $b$. Schnittpunkt des Kreises mit der Parallelen ist die Ecke $C$.
\item Erhalte durch entsprechende Verbindung der Punkte $A,B,C,D$ das Trapez $ABCD$.
\end{enumerate}
};
 
 
\end{tikzpicture}
 
 
\end{document}




Nuramon
Senior
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Beitrag No.156, eingetragen 2019-04-28 14:08
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Aufgabe 3 - 071043
Beweisen Sie folgende Behauptung!
Wenn a, b, c die Maßzahlen der Seitenlöngen eines Dreiecks sind, dann hat die Gleichung
\[b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0\] keine reellen Lösungen.

Beweis
Es ist zu zeigen, dass die Diskriminante des Polynoms $b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2$ negativ ist, also dass
\[(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2<0\] gilt.
Nach Kosinussatz gilt $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$ für den Winkel $\alpha$ zwischen den Dreiecksseiten $b,c$.
Somit ist
\[\begin{align*}
(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2
&= (2bc\cos\alpha)^2-4b^2c^2\\
&= 4b^2c^2(\cos^2\alpha-1)\\
&=- 4b^2c^2\sin^2\alpha\\
&< 0.
\end{align*}\]

\(\endgroup\)

Nuramon
Senior
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Beitrag No.157, eingetragen 2019-04-28 14:31
\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Aufgabe 5 - 071035
Fur welches reelle $a$ nimmt die Summe der Quadrate der Lösungen der Gleichung
$x^2+ax+a-2=0$ ihren kleinsten Wert an?

Lösung
Die Diskriminante des Polynoms $x^2+ax+a-2$ ist $a^2-4(a-2)=(a-2)^2+4$ ist für jedes reelle $a$ positiv, also gibt es auch für jedes reelle $a$ genau zwei Lösungen $x_1,x_2\in \IR$ der Gleichung $x^2+ax+a-2=0$ und diese sind keine doppelten Nullstellen.

Nach Vieta gilt $x_1+x_2 = -a$ und $x_1x_2 = a-2$.
Somit ist
\[x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2-2x_1x_2 = a^2-a+2 = \left(a-\frac 12\right)^2+\frac 74. \] Die Summe der Quadrate der Lösungen wird daher genau dann minimal, wenn $a=\frac 12$.

\(\endgroup\)

Ex_Senior
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Beitrag No.158, eingetragen 2019-04-28 14:51

Dann bearbeiten wir mal den zweiten Tag, Klasse 12, der Landesrunde der 7. Olympiade:

Aufgabe 071234: Es sei $y=f(x)$ eine für alle reellen Zahlen $x$ definierte Funktion, die für alle derartigen $x$ die folgende Gleichung erfüllt:

$f(x+1)=(x+1) \cdot f(x)$.

Außerdem sei $y=g(x)$ eine ebenfalls für alle reellen Zahlen $x$ definierte Funktion. Für alle $x$ sei $f(x)$ von 0 verschieden.

Beweisen Sie!

Die Funktion $\phi(x)=\f(x)\cdot g(x)$ erfüllt genau dann für alle reellen $x$ die Gleichung

$\phi(x)=(x+1)\phi(x)$,

wenn $g(x)$ eine periodische Funktion mit der Periodenlänge 1 ist.

Lösung:

Zuerst nehmen wir an, dass $g$ 1-periodisch ist, für alle reellen $x$ also $g(x+1)=g(x)$ gilt. Dann ist $\phi(x+1)=f(x+1)\cdot g(x+1)=(x+1) \cdot f(x) \cdot g(x)=(x+1) \cdot \phi(x)$, erfüllt also die gewünschte Funktionalgleichung.

Anders herum sei nun für jedes $x$ die Gleichung $\phi(x+1)=(x+1)\cdot \phi(x)$ erfüllt, was nach Einsetzen der Definition von $\phi$ äquivalent ist zu $f(x+1) \cdot g(x+1)=(x+1) \cdot f(x) \cdot g(x)=f(x+1) \cdot g(x)$. Da $f(x+1)\neq 0$, kann man diese zweite Gleichheit durch Division durch $f(x+1)$ zum Gewünschten $g(x+1)=g(x)$ äquivalent umformen.

Bemerkung: Die Annahme aus der Aufgabenstellung, dass $f(x)$ für alle reellen Zahlen ungleich 0 wäre, steht im Widerspruch zur Funktionalgleichung, die $f$ erfüllen soll, denn es ist sonst $f(0)=0 \cdot f(-1)=0$. Man kann die Aufgabe aber leicht retten, indem man sich nur auf positive Argumente $x$ einschränkt.



Aufgabe 071235: In einer Weberei wird Garn von genau sechs verschiedenen Farben zu Stoffen´von je genau zwei verschiedenen Farben verarbeitet. Jede Farbe kommt in mindestens drei verschiedenen Stoffsorten vor. (Dabei gelten zwei Stoffsorten dann und nur genau dann als gleich, wenn in ihnen dieselben zwei Farben auftreten.)

Beweisen Sie, dass man drei verschiedene Stoffsorten derart finden kann, dass in ihnen alle sechs Farben auftreten!


Lösung:

Die Farben seien von 1 bis 6 durchnummeriert. O.B.d.A. existiere der Stoff mit den Farben 1 und 2, den wir kurz mit 1-2 bezeichnen wollen. Dann gilt für die vier übrigen Farben der Menge $R=\{3,4,5,6\}$, dass sie untereinander noch jeweils mit mindestens einer weiteren Farbe aus $R$ in einem gemeinsamen Stoff vorkommen müssen, denn jede Farbe $f$ von ihnen muss neben den (ggf. existierenden) Stoffen 1-$f$ und 2-$f$ noch in mindestens einem weiteren Stoff vorkommen.

O.B.d.A. existiere der Stoff 3-4. Nun führen wir eine Fallunterscheidung danach durch, in welchen Stoffen die Farben 5 und 6 enthalten sind:

1. Fall: Es gibt den Stoff 5-6. Dann bilden die drei Stoffe 1-2, 3-4 und 5-6 eine gewünschte Auswahl von 3 Stoffen mit allen sechs Farben.

2. Fall: Es gibt den Stoff 5-6 nicht, aber die Farben 5 und 6 sind mit verschiedenen Farben aus $\{3,4\}$ in einem Stoff verwoben. O.B.d.A. existieren also die Stoffe 3-5 und 4-6. Dann bilden die Stoffe 1-2, 3-5 und 5-6 eine entsprechende Stoffauswahl.

3. Fall: Die Farben 5 und 6 tauchen nur gemeinsam mit einer der beiden Fabren 3 oder 4 in einem Stoff auf, d.h., es gibt o.B.d.A. die Stoffe 3-5 und 3-6, aber weder 4-5, 4-6 noch 5-6. Damit existiert aber für jede der Farben 4, 5 und 6 jeweils nur eine weitere Farbe aus $R$, mit der sie gemeinsam in einem Stoff vorkommt. Demnach muss für jede dieser drei Farben $f$ jeweils der Stoff 1-$f$ als auch 2-$f$ tatsächlich existieren, damit $f$ in mindestens drei verschiedenen Stoffen vorkommt. Dann bilden die Stoffe 1-4, 2-5 und 3-6 eine gewünschte Auswahl.


Aufgabe 071236: Beweisen Sie, dass es stets möglich ist, von 6 Punkten einer Ebene, wobei keine 3 Punkte kollinear (d.h., auf derselben Gerade gelegen) seien, 3 Punkte derart auszuwählen, dass diese die Ecken eines Dreiecks bilden, dass einen stumpfen Winkel von mindestens $120^{\circ}$ enthält!

Lösung:

Gibt es unter den sechs Punkten vier, $M$, $A$, $B$ und $C$ so, dass $M$ im Inneren des Dreiecks $ABC$ liegt, dann zerlegen die Strecken $MA$, $MB$ und $MC$ den Vollwinkel bei $M$ in drei Teilwinkel. Mindestens einer von diesen, o.B.d.A. $\angle AMB$ beträgt dann mindestens $\frac{1}{3} \cdot 360^{\circ}=120^{\circ}$ und mit dem Dreieck $AMB$ ist ein gewünschtes gefunden.

Andernfalls befindet sich keiner der Punkte im Inneren der durch die sechs Punkte aufgespannten konvexen Figur. Damit, da keine drei Punkte auf einer Geraden liegen, muss es sich bei dieser Figur um ein konvexes Sechseck handeln. Dieses besitzt eine Innenwinkelsumme von $(6-2) \cdot 180^{\circ}=720^{\circ}$, sodass mindestens einer der Innenwinkel mindestens $\frac{1}{6} \cdot 720^{\circ}=120^{\circ}$ beträgt. Das Dreieck, dass durch den Punkt, an dem dieser Innenwinkel liegt, sowie seinen beiden Nachbarn entsteht, erfüllt die gewünschte Eigenschaft.


Cyrix

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


Kornkreis
Senior
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Beitrag No.159, eingetragen 2019-04-28 15:22

051242
An einem Tanzabend hat jeder der anwesenden Herren mit mindestens einer der anwesenden Damen getanzt und jede der anwesenden Damen mit mindestens einem der anwesenden Herren.
Kein Herr hat mit jeder der anwesenden Damen und keine Dame mit jedem der anwesenden Herren getanzt.
Es ist zu beweisen, dass es unter den Anwesenden zwei solche Damen und zwei solche Herren gegeben hat, dass an dem Abend jede der beiden Damen mit genau einem der beiden Herren, und jeder der beiden Herren mit genau einer der beiden Damen getanzt hat.
Es wird vorausgesetzt, dass der Tanzabend nicht ohne Damen und Herren stattgefunden hat, d.h., die Menge, die aus allen anwesenden Damen und Herren besteht, ist nicht leer.

Lösung
Im Folgenden bezeichne "Aussage" die zu zeigende Aussage der Aufgabenstellung.
Aus den Voraussetzungen folgt, dass mindestens zwei Herren und zwei Damen anwesend waren, da sonst ein Herr mit allen Damen oder eine Dame mit allen Herren getanzt haben müsste.

Wir führen eine vollständige Induktion nach der Anzahl der Herren durch. Für zwei Herren und beliebig viele (größer gleich 2) Damen ist die Aussage wahr: Dazu schreiben wir die Tanzkonstellation in Matrixform und bezeichnen mit "+" und "-" dass ein Tanz stattgefunden bzw. nicht stattgefunden hat. Jede Spalte entspricht einem bestimmten Herren und jede Zeile einer bestimmten Dame, d.h. wir haben zwei Spalten und beliebig viele Zeilen. Falls die Aussage nicht wahr wäre, müsste die Konstellation die folgende Form haben
+ -
+ -
...
+ -
was aber bedeuten würde, dass ein Herr mit allen Damen getanzt hat (in diesem Fall sogar beide Herren).

Sei nun die Anzahl der Herren $n>2$ und die Aussage bereits für $n-1$ Herren bewiesen. Wir betrachten eine Tanzkonstellation, die den Bedingungen der Aufgabenstellung genügt
Falls man aus den $n$ Herren $n-1$ Herren auswählen kann, für die die Bedingungen der Aufgabenstellung erfüllt sind (d.h. jeder dieser $n-1$ Herren hat mit mindestens einer Dame getanzt und jede der Damen mit einem dieser Herren, und niemand dieser Herren hat mit allen Damen getanzt und keine der Damen mit allen dieser Herren), so zeigt die Induktionsvoraussetzung die Aussage.
Wir betrachten nun den Fall, dass so eine Auswahl nicht existiert. Dies bedeutet in der Matrixschreibweise, dass man keine $n-1$ Spalten auswählen kann, welche den Bedingungen der Aufgabenstellung genügen, d.h. in der Tanzkonstellation der $n$ Herren gibt es eine Zeile, in der genau ein "+" oder genau ein "-" steht, o.B.d.A. sei dies genau ein Plus ganz rechts in der letzten Spalte
(d.h. von der Form - - ... - - +).
Nun muss aber in einer anderen Zeile ganz rechts ein Minus stehen (sonst hätte der entsprechende Herr mit allen Damen getanzt) und irgendwo anders in derselben Zeile ein Plus (sonst hätte die entsprechende Dame mit keinem Herren getanzt).
D.h. man hat z.B. das Schema
- -  ...  - - +
     ...
- + ... + - -
Die Damen, die diesen beiden Zeilen entsprechen und die Herren, die der ganz rechten Spalte und der Spalte mit dem Plus irgendwo anders (von der Zeile mit dem Minus ganz rechts) entsprechen, zeigen nun die Aussage.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.157 begonnen.]


Ex_Senior
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Beitrag No.160, eingetragen 2019-04-28 15:52

Aufgabe 051226:
Kann ein von einem regelmäßigen Tetraeder begrenzter Körper bei parallelem und senkrecht auf die Bildebene auftreffendem Licht auf dieser einen quadratförmigen Schatten werfen?
Klar geht das. :)

Wähle die Mittelpunkte zweier gegenüberliegende Kanten. Sei $g$ die Gerade durch diese beiden Punkte. Die beiden Kanten und die Gerade $g$ sind paarweise orthogonal zueinander. Eine Parallelprojektion in Richtung $g$ bildet die beiden Kanten auf ein symmetrisches Kreuz ab, welche die Diagonalen eines Quadrats bilden. Die übrigen vier Kanten werden auf die Seiten des Quadrats abgebildet.


Ex_Senior
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Beitrag No.161, eingetragen 2019-04-28 17:12

Und noch eine Funktionalgleichung:

Aufgabe 071243: Geben Sie alle Funktionen $y=f(x)$ an, die jeweils in größtmöglichem Definitionsbereich (innerhalb des Bereichs der reellen Zahlen) der Gleichung

$a \cdot f(x^n) + f(-x^n) =bx$

genügen, wobei $b$ eine beliebige reelle Zahl, $n$ eine beliebige ungerade natürliche Zahl und $a$ eine reelle Zahl mit $|a|\neq 1$ ist!


Lösung:

Da $n$ ungerade ist, gilt für alle reellen $x$ die Identität $(-x)^n=-x^n$. Insbesondere erhält man also durch Einsetzen von $-x$ in die Funktionalgleichung eine zweite: $a \cdot f(-x^n)+f(x^n)=-bx$. Addition dieser beiden Gleichungen liefert $(a+1) \cdot (f(x^n)+f(-x^n))=0$, also wegen $a\neq -1$ schließlich $f(-x^n)=-f(x^n)$. Setzt man dies wiederum in die Ausgangs-Funktionalgleichung ein, erhält man $(a-1) \cdot f(x^n)=bx$ bzw. nach Division durch $a-1\neq 0$ und der passenden Substitution

$f(x)=\frac{b}{a-1} \cdot \sqrt[n]{x}$.

Man überprüft schnell, dass diese Funktion tatsächlich auch die Funktionalgleichung erfüllt, da

$f(x^n)=\frac{b}{a-1} \cdot \sqrt[n]{x^n}=\frac{b}{a-1} \cdot x$ und $f(-x^n)=\frac{b}{a-1} \cdot \sqrt[n]{-x^n}=\frac{b}{a-1} \cdot \sqrt[n]{(-x)^n}=\frac{b}{a-1} \cdot (-x)$, also

$a \cdot f(x^n) + f(-x^n)= a \cdot \frac{b}{a-1} \cdot x - \frac{b}{a-1} \cdot x = (a-1) \cdot \frac{b}{a-1} \cdot x = bx$

gilt.

Bemerkung: Damit diese Funktionen wohldefiniert sind, muss man für negative reelle Zahlen $x$ und ungerade Wurzelexponenten $n$ die Wurzel-Funktion in ihrem Definitionsbereich auf die gesamten reellen Zahlen erweitern via $\sqrt[n]{x}=-\sqrt[n]{-x}$, sodass sie auf dem Bereich der gesamten reellen Zahlen die Umkehrfunktion der Potenzfunktion $p: x \mapsto x^n$ ist. (Dies ist möglich, da $p$ eine eineindeutige Abbildung von den reellen Zahlen auf die reellen Zahlen ist.)

Cyrix


StrgAltEntf
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Beitrag No.162, eingetragen 2019-04-28 18:21

2019-04-28 15:22 - Kornkreis in Beitrag No. 159 schreibt:
051242
An einem Tanzabend hat jeder der anwesenden Herren mit mindestens einer der anwesenden Damen getanzt und jede der anwesenden Damen mit mindestens einem der anwesenden Herren.
Kein Herr hat mit jeder der anwesenden Damen und keine Dame mit jedem der anwesenden Herren getanzt.
Es ist zu beweisen, dass es unter den Anwesenden zwei solche Damen und zwei solche Herren gegeben hat, dass an dem Abend jede der beiden Damen mit genau einem der beiden Herren, und jeder der beiden Herren mit genau einer der beiden Damen getanzt hat.
Es wird vorausgesetzt, dass der Tanzabend nicht ohne Damen und Herren stattgefunden hat, d.h., die Menge, die aus allen anwesenden Damen und Herren besteht, ist nicht leer.

Lösung
Im Folgenden bezeichne "Aussage" die zu zeigende Aussage der Aufgabenstellung.
Aus den Voraussetzungen folgt, dass mindestens zwei Herren und zwei Damen anwesend waren, da sonst ein Herr mit allen Damen oder eine Dame mit allen Herren getanzt haben müsste.

Wir führen eine vollständige Induktion nach der Anzahl der Herren durch. Für zwei Herren und beliebig viele (größer gleich 2) Damen ist die Aussage wahr: Dazu schreiben wir die Tanzkonstellation in Matrixform und bezeichnen mit "+" und "-" dass ein Tanz stattgefunden bzw. nicht stattgefunden hat. Jede Spalte entspricht einem bestimmten Herren und jede Zeile einer bestimmten Dame, d.h. wir haben zwei Spalten und beliebig viele Zeilen. Falls die Aussage nicht wahr wäre, müsste die Konstellation die folgende Form haben
+ -
+ -
...
+ -
was aber bedeuten würde, dass ein Herr mit allen Damen getanzt hat (in diesem Fall sogar beide Herren).

Sei nun die Anzahl der Herren $n>2$ und die Aussage bereits für $n-1$ Herren bewiesen. Wir betrachten eine Tanzkonstellation, die den Bedingungen der Aufgabenstellung genügt
Falls man aus den $n$ Herren $n-1$ Herren auswählen kann, für die die Bedingungen der Aufgabenstellung erfüllt sind (d.h. jeder dieser $n-1$ Herren hat mit mindestens einer Dame getanzt und jede der Damen mit einem dieser Herren, und niemand dieser Herren hat mit allen Damen getanzt und keine der Damen mit allen dieser Herren), so zeigt die Induktionsvoraussetzung die Aussage.
Wir betrachten nun den Fall, dass so eine Auswahl nicht existiert. Dies bedeutet in der Matrixschreibweise, dass man keine $n-1$ Spalten auswählen kann, welche den Bedingungen der Aufgabenstellung genügen, d.h. in der Tanzkonstellation der $n$ Herren gibt es eine Zeile, in der genau ein "+" oder genau ein "-" steht, o.B.d.A. sei dies genau ein Plus ganz rechts in der letzten Spalte
(d.h. von der Form - - ... - - +).
Nun muss aber in einer anderen Zeile ganz rechts ein Minus stehen (sonst hätte der entsprechende Herr mit allen Damen getanzt) und irgendwo anders in derselben Zeile ein Plus (sonst hätte die entsprechende Dame mit keinem Herren getanzt).
D.h. man hat z.B. das Schema
- -  ...  - - +
     ...
- + ... + - -
Die Damen, die diesen beiden Zeilen entsprechen und die Herren, die der ganz rechten Spalte und der Spalte mit dem Plus irgendwo anders (von der Zeile mit dem Minus ganz rechts) entsprechen, zeigen nun die Aussage.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.157 begonnen.]

Vorhin habe ich auf einer Zugfahrt ebenfalls über diese Aufgabe nachgedacht und bin, so meine ich, auf eine etwas griffigere Lösung gekommen.

Sei \(d_1\) eine Dame mit den meisten Tanzpartnern und \(h_1\) ein Herr, mit dem \(d_1\) nicht getanzt hat. \(d_2\) sei eine Tanzpartnerin von \(h_1\). Dann gibt es einen Herrn \(h_2\), mit dem \(d_1\) aber nicht \(d_2\) getanzt hat. (Denn sonst hätte \(d_2\) mit allen Tanzpartnern von \(d_1\) und zusätzlich mit \(h_1\) getanzt, was der Maximalität von \(d_1\) widerspricht.) \(d_1\), \(d_2\), \(h_1\) und \(h_2\) bilden ein Quartett, wie es laut Aufgabenstellung behauptet wird.


Ex_Senior
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Beitrag No.163, eingetragen 2019-04-28 19:02

@StrgAltEntf: Schöne Anwendung des Extremalprinzips. :)

Nun noch ein paar Augaben aus der Landesrunde, Klasse 9, der 9. Olympiade:

Aufgabe 090933: Für eine bestimmte Arbeit benötigt <math>A</math> genau <math>m</math>-mal solang wie <math>B</math> und <math>C</math> zusammen; <math>B</math> benötigt genau <math>n</math>-mal so lange wie <math>C</math> und <math>A</math> zusammen und <math>C</math> genau <math>p</math>-mal solange wie <math>A</math> und <math>B</math> zusammen.

Berechnen Sie <math>p</math> in Abhängigkeit von <math>m</math> und <math>n</math>!

Lösung:

Wir betrachten die Leistungen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> von <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math>. Dann gilt nach Aufgabenstellung

<math>a=\frac{1}{m} (b+c)</math>, <math>b=\frac{1}{n} (a+c)</math> und <math>c=\frac{1}{p} (a+b)</math>.

Die erste Gleichung ist äquivalent zu <math>c=am-b</math>, die zweite zu <math>c=bn-a</math>. Insbesondere ist also <math>am-b=bn-a</math> bzw. <math>(m+1)a=(n+1)b</math>, also <math>b=\frac{m+1}{n+1} \cdot a</math> und <math>c=am-b=\frac{mn-1}{n+1} \cdot a</math>.

Ist <math>mn-1=0</math>, also <math>c=0</math>, dann leistet <math>C</math> keine Arbeit und also ist <math>p</math> nicht definiert. Andernfalls können wir im Folgenden durch <math>c\neq 0</math> dividieren.

Mit der dritten Gleichung erhalten wir schließlich durch Einsetzen

<math>p=\frac{a+b}{c}=\frac{\frac{n+1+m+1}{n+1} \cdot a}{\frac{mn-1}{n+1} \cdot a}=\frac{m+n+2}{mn-1}</math>.



Aufgabe 090934: Man beweise: Wenn zwei ganze Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> die Bedingung erfüllen, dass die Zahl <math>11a+2b</math> durch 19 teilbar ist, dann ist auch die Zahl <math>18a+5b</math> durch 19 teilbar.

Lösung: Mit <math>11a+2b</math> ist auch <math>12 \cdot (11a+2b) - 19 \cdot (6a+b)=132a+24b-114a-19b=18a+5b</math> durch 19 teilbar.


Aufgabe 090936: Es sei <math>f(x)</math> die für alle reellen Zahlen <math>x</math> definierte Funktion <math>f(x)=\frac{(x-1)x}{2}</math>.
Ferner sei <math>x_0</math> eine beliebig gegebene von 0 verschiedene reelle Zahl. Wie üblich seien die Funktionswerte der Funktion <math>f(x)</math> an den Stellen <math>x_0+1</math> und <math>x_0+2</math> mit <math>f(x_0+1)</math> bzw. <math>f(x_0+2)</math> bezeichnet.

Man beweise, dass dann <math>f(x_0+2)=\frac{(x_0+2)f(x_0+1)}{x_0}</math> gilt.


Lösung:

Es ist <math>\frac{(x_0+2)f(x_0+1)}{x_0}=\frac{(x_0+2) \cdot \frac{x_0(x_0+1)}{2}}{x_0}=\frac{(x_0+2)(x_0+1)}{2}=f(x_0+2)</math>.

Bemerkung: Da war ein Druckfehler in der Aufgabe.

Cyrix


Ex_Senior
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Beitrag No.164, eingetragen 2019-04-28 19:54

Eine etwas kürzere Lösungsalternative für die 060931:

Aufgabe: Zwei Primzahlen <math>p_1</math> und <math>p_2</math> (mit <math>p_1>p_2</math>) heißen Primzahlzwillinge, wenn <math>p_1-p_2=2</math> gilt. Beweisen Sie, dass für alle Primzahlzwillinge <math>p_1</math> und <math>p_2</math>, für die <math>p_2>3</math> ist, stets die Summe <math>p_1+p_2</math> durch 12 teilbar ist!

Lösung:

Von den drei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen <math>p_2</math>, <math>p_2+1=p_1-1=\frac{p_1+p_2}{2}</math> und <math>p_1</math> ist genau eine durch 3 teilbar. Da es wegen <math>p_1>p_2>3</math> die beiden Primzahlen nicht sind, ist es also <math>\frac{p_1+p_2}{2}</math>. Darüber hinaus ist diese Zahl als Nachfolger (und Vorgänger) einer ungeraden Zahl selbst gerade, also durch 6 teilbar. Damit ist <math>p_1+p_2=2 \cdot \frac{p_1+p_2}{2}</math> durch 12 teilbar.




Zu Aufgabe 090922: Jemand behauptet: Wenn von zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> jede die Eigenschaft hat, sich als Summe der Quadrate zweier natürlicher Zahlen darstellen zu lassen, dann hat auch das Produkt von <math>a</math> und <math>b</math> diese Eigenschaft. a) Geben Sie ein Zahlenbeispiel an! b) Bweisen Sie diesen Satz!


Lösung:
zu b) Seien <math>a_1, a_2, b_1, b_2</math> natürliche Zahlen mit <math>a=a_1^2+a_2^2</math> und <math>b=b_1^2+b_2^2</math>. Dann ist <math>ab=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)=a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2=(a_1b_1)^2-2a_1b_1a_2b_2+(a_2b_2)^2+(a_1b_2)^2+2a_1b_2a_2b_1+(a_2b_1)^2=(a_1b_1-a_2b_2)^2+(a_1b_2+a_2b_1)^2</math>.

Bemerkung: Man erhält diese Identität, indem man <math>a</math>, <math>b</math> und <math>ab</math> als Betragsquadrate der komplexen Zahlen <math>z_1:=a_1+i \cdot a_2</math>, <math>z_2:=b_1+i \cdot b_2</math> bzw. <math>z_1 \cdot z_2</math> interpretiert.



Cyrix


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Beitrag No.165, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-28 20:10

Hallo,
eine neue Datei mit 178 Lösungen ist online.

Heute habe ich gemerkt, dass die Aufgaben Klasse 9 II.Stufe der 9.Olympiade die der 10. sind. Sorry.
D.h., ich muss heute noch Aufgaben tauschen und ergänzen.
Eure Lösungen sind aber nicht verloren. Sie sind eben jetzt bei der 10.Olympiade.

LG Steffen


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Beitrag No.166, eingetragen 2019-04-28 20:21

Dann noch schnell die 090935:

Die Fläche des Dreiecks <math>\triangle ABC</math> werde durch eine Parallele zur Seite <math>AB</math> in zwei inhaltsgleiche Teilflächen zerlegt.
Ermitteln Sie das Verhältnis, in dem die zur Seite <math>AB</math> gehörende Höhe des Dreiecks die Paralele geteilt wird.

Lösung: Es seien <math>P</math> und <math>Q</math> die Schnittpunkte der Parallelen mit den Seiten <math>AC</math> bzw. <math>BC</math>. Darüber hinaus seien <math>h_{AB}</math> und <math>h_{PQ}</math> die Längen der Höhen des Punktes <math>C</math> auf <math>AB</math> bzw. die Parallele <math>PQ</math>. Nach Aufgabenstellung ist der Flächeninhalt <math>A_{PQC}</math> des Dreiecks <math>\triangle PQC</math> genau halb so groß wie der Flächeninhalt <math>A_{ABC}</math> des Dreiecks <math>\triangle ABC</math>.

Also ist <math>\frac{1}{2} |PQ| \cdot h_{PQ}=A_{PQC}=\frac{1}{2} A_{ABC} = \frac{1}{4} \cdot |AB| \cdot h_{AB}</math> bzw. <math>2=\frac{|AB|}{|PQ|} \cdot \frac{h_{AB}}{h_{PQ}}</math>.

Nach den Strahlensätzen ist <math>\frac{|AB|}{|PQ|} = \frac{h_{AB}}{h_{PQ}}</math>, also <math>h_{AB}=\sqrt{2} \cdot \h_{PQ}</math>. Damit wird die Höhe <math>h_{AB}</math> im Verhältnis <math>1:(\sqrt{2}-1)</math> durch die Parallele <math>PQ</math> zu <math>AB</math> geteilt.


Und die Aufgabe 061035: Ermitteln Sie alle reellen Zahlen <math>x</math>, die die folgende Ungleichung erfüllen: <math>\frac{1}{2} \lg(2x-1) + \lg\sqrt{x-9}>1</math>.

Lösung: Zuerst zum Definitionsbereich: Da die Logarithmus-Funktion nur für positive Argumente definiert ist, muss also wegen des ersten Summanden <math>x>\frac{1}{2}</math> und aufgrund des zweiten <math>x>9</math> gelten. Zusammen bleiben also genau die reellen Zahlen <math>x>9</math> zu betrachten.

Für die ist dann <math>\lg\sqrt{x-9}=\frac{1}{2} \cdot \lg(x-9)</math> und somit (nach Multiplikation mit 2 die zu betrachtende Ungleichung äquivalent zu <math>\lg((2x-1)\cdot(x-9))>2</math> bzw. aufgrund der Monotonie der Logarithmusfunktion auch zu <math>(2x-1)(x-9)>100</math>. Dies führt auf die quadratische Ungleichung <math>2x^2-19x-91>0</math> bzw. <math>x^2-\frac{19}{2}x-\frac{91}{2}>0</math>. Das quadratische Polynom <math>x^2-\frac{19}{2}x-\frac{91}{2}</math> beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen <math>x_{1/2}=\frac{19}{4} \pm \sqrt{\frac{361}{16}+\frac{91 \cdot 8}{16}}=\frac{19 \pm \sqrt{1089}}{4}=\frac{19\pm 33}{4}</math>, also <math>x_1=\frac{19-33}{4}= -\frac{7}{2}</math> und <math>x_2=\frac{19+33}{4}=13</math>. Damit nimmt das betrachtete quadratische Polynom genau für die reellen Zahlen <math>x</math> mit <math>x< -\frac{7}{2}</math> und diejenigen mit <math>x>13</math> positive Funktionswerte an.

Zusammen mit der Betrachtung des Definitionsbereichs der Ausgangsungleichung wird diese also genau von allen reellen Zaheln <math>x>13</math> erfüllt.

Cyrix

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Beitrag No.167, eingetragen 2019-04-28 20:48

Hallo Steffen, zu Aufgabe 051235 hätte ich noch ein Bild:

<math>
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (6,4);
\coordinate (C) at (9,-1);
\coordinate (D) at (7,-3);
\coordinate (P) at ($0.5*(A)+0.5*(B)$);
\coordinate (Q) at ($0.5*(B)+0.5*(C)$);
\coordinate (R) at ($0.5*(C)+0.5*(D)$);
\coordinate (S) at ($0.5*(D)+0.5*(A)$);

\draw[fill=green!50] (A) -- (B) -- (intersection of  A--C and B--D);
\draw[fill=red!50] (P) -- (intersection of  A--C and P--S) -- (intersection of  A--C and B--D) -- (intersection of  B--D and P--Q);
\draw (A) -- (B);
\draw (B) -- (C);
\draw (C) -- (D);
\draw (A) -- (D);
\draw (P) -- (Q);
\draw (Q) -- (R);
\draw (R) -- (S);
\draw (S) -- (P);
\draw (A) -- (C);
\draw (B) -- (D);
\draw (intersection of  A--C and P--S) -- (intersection of  B--D and P--Q);
\draw node[left] at (A){A};
\draw node[above] at (B){B};
\draw node[right] at (C){C};
\draw node[below] at (D){D};
\draw node[above] at (P){P};
\draw node[right] at (Q){Q};
\draw node[below] at (R){R};
\draw node[left] at (S){S};

\end{tikzpicture}
</math>


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Beitrag No.168, eingetragen 2019-04-28 21:10

@Steffen: Danke fürs Bereitstellen der Aufgaben sowie Sammeln und Zusammenfassen der Lösungen!

In deiner PDF, wie ich sie gerade offen habe, ist in Klasenstufe 9, III. Olympiade 1963 als einzige Aufgabe die 010921 angegeben, die doch in die ersten Olympiade gehört. Gegebenenfalls ist da was beim Kopieren schief gegangen...

Und beim Aufgabentext zur 090935 hat sich ein Artefakt einer "58.14508" eingeschlichen.


Abschließend noch ne kleine Algebra
Aufgabe 061045: Es sei <math>a</math> eine beliebig gegebene reelle Zahl. Ermitteln Sie alle reellen <math>x</math>, die der Gleichung genügen:
<math> \sqrt{a+x} - \sqrt{\frac{a^2}{a+x}}=\sqrt{2a+x}</math>

Lösung: Multiplikation der Gleichung mit <math>\sqrt{a+x}</math> überführt diese in (die wegen <math>a+x\neq 0</math> äquivalente Gleichung)
<math>a+x-|a| = \sqrt{(2a+x)\cdot (a+x)}</math>.

1. Fall: <math>a> 0</math>. Dann ist <math>|a|=a</math> und man erhält durch Quadrieren <math>x^2=x^2+3ax+2a^2</math> bzw. <math>x= -\frac{2}{3} \cdot a</math>. Damit erhält man <math>a+x=\frac{1}{3} \cdot a</math> bzw.
<math>\sqrt{a+x} - \sqrt{\frac{a^2}{a+x}}=\sqrt{\frac{1}{3} a} - \sqrt{\frac{a^2}{\frac{1}{3}a}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot\sqrt{a} - \sqrt{3a}=\sqrt{a} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3}-\sqrt{3}\right)<0\leq \sqrt{2a-x}</math>, also einen Widerspruch zur Ausgangsgleichung, sodass es in diesem Fall keine Lösungen gibt.

2. Fall: <math>a\leq 0</math>. Dann ist <math>|a|=-a</math>, sodass die Gleichung übergeht in <math>2a+x=\sqrt{(2a+x)\cdot (a+x)}</math>.

Fall 2.1: <math>2a+x=0</math>. (Wegen <math>a+x\neq 0</math> ist in diesem Fall <math>a\neq 0</math>, denn sonst würde aus <math>2a+x=0</math> nach Subtraktion von <math>a=0</math> sofort auch <math>a+x=0</math> folgen.) Dann ist <math>x=-2a</math> und <math>\sqrt{a+x} - \sqrt{\frac{a^2}{a+x}}=\sqrt{-a}- \sqrt{-a}=0=\sqrt{2a+x}</math>, sodass dies Lösungen der Ausgangsgleichung sind.

Fall 2.2: Es ist <math>2a+x\neq 0</math>, also auch <math>\sqrt{2a+x}\neq 0</math>, sodass wir dadurch dividieren können. Damit erhalten wir die Gleichung <math>\sqrt{2a+x}=\sqrt{a+x}</math> bzw. nach Quadrieren <math>2a+x=a+x</math>, also <math>a=0</math>. Tatsächlich vereinfacht sich aber in diesem Fall die Ausgangsgleichung zu <math>\sqrt{x}-\sqrt{\frac{0}{x}}=\sqrt{x}</math>, was für alle positiven reellen Zahlen <math>x</math> erfüllt ist.


Zusammenfassung: Für positive <math>a</math> hat die Gleichung keine Lösung, für negative <math>a</math> ist jeweils <math>x=-2a</math> die einzige Lösung und für <math>a=0</math> erfüllt jede positive reelle Zahl <math>x</math> die Gleichung.


Cyrix

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Beitrag No.169, eingetragen 2019-04-28 21:58

Abschließend für heute noch zwei kleine Aufgaben aus der 10:

Aufgabe 071034: Gesucht sind alle diejenigen Tripel natürlicher Zahlen <math>a_i</math> (<math>i=1,2,3</math>), die die Gleichung <math>\sqrt{2a_1^2-2a_2^2}=a_3</math> erfüllen und für die außerdem <math>1\leq a_i\leq 10</math> gilt!

Lösung:
Die Gleichung ist offenbar äquivalent zu <math>2(a_1-a_2)(a_1+a_2)=a_3^2</math>. Da 2 eine Primzahl ist, folgt aus <math>2|a_3^2</math> direkt <math>2|a_3</math>, sodass die rechte Seite der Gleichung durch 4 teilbar ist. Also muss auch <math>(a_1-a_2)(a_1+a_2)</math> gerade sein, und damit mindestens einer dieser beiden Faktoren. Da nur beide zugleich (oder keiner von beiden) gerade sein können, ist die rechte Seite der Gleichung also sogar durch 8 teilbar, sodass aufgrund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung <math>a_3</math> zumindest durch 4 teilbar sein muss.

Es verbleiben also zwei Fälle: <math>a_3=4</math> und <math>a_3=8</math>.

1. Fall: <math>a_3=4</math>. Dann ist also <math>(a_1-a_2)(a_1+a_2)=8</math> und, da beide Faktoren gerade sind, wegen <math>a_1+a_2>0</math> auch <math>a_1-a_2>0</math> und schließlich <math>a_1+a_2>a_1-a_2</math>, also <math>a_1+a_2=4</math> sowie <math>a_1-a_2=2</math>. Es ergibt sich als Lösungstripel <math>(a_1,a_2,a_3)=(3,1,4)</math>, was durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung auch bestätigt wird.

2. Fall: <math>a_3=8</math>. Dann ist <math>(a_1-a_2)(a_1+a_2)=32</math>. Nun ergeben sich folgende mögliche Zerlegungen in zwei positive und gerade Faktoren:
*) <math>a_1+a_2=16</math> und <math>a_1-a_2=2</math>, was auf <math>a_1=9</math> und <math>a_2=7</math> führt.
*) <math>a_1+a_2=8</math> und <math>a_1-a_2=4</math>, was dan auf <math>a_1=6</math> und <math>a_2=2</math> führt.
Beide mögliche Lösungen werden durch die Probe bestätigt.

Zusammenfassung: Im zu betrachtenden Bereich gibt es genau drei Lösungstripel, nämlich (3,1,4), (6,2,8) und (9,7,8).



Und 071044: Ermitteln Sie den Flächeninhalt eines regelmäßigen Dreiecks aus der Länge seiner Hypothenuse und der Summe der Sinus seiner spitzen Winkel! Welche Werte kann die Sinussumme annehmen?

Lösung:

Wir bezeichnen die Winkel und Seiten des Dreiecks auf kanonische Weise, sodass die Hypothenuse <math>c</math>, die Katheten <math>a</math> und <math>b</math> sowie die ihnen gegenüberliegenden Innenwinkel mit <math>\alpha</math> bzw. <math>\beta</math> lautet.

Nach der Definition der Sinusfunktion im rechtwinkligen Dreieck gilt <math>\sin \alpha = \frac{a}{c}</math> und analog <math>\sin \beta = \frac{b}{c}</math>, also <math>\sin \alpha + \sin \beta = \frac{a+b}{c}</math> bzw. <math>A=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{4} \cdot (2ab)= \frac{1}{4} \cdot ((a+b)^2-(a^2+b^2))= \frac{1}{4} \cdot \left((\sin \alpha + \sin \beta)^2 c^2 -c^2\right)=\frac{c^2}{4} \cdot ((\sin\alpha + \sin\beta)^2-1)</math>.

Für feste Hypothenusenlänge <math>c</math> kann sich, damit das Dreieck bei <math>C</math> einen rechten Winkel besitzt, nach dem Satz des Thales der Punkt <math>C</math> nur auf einem Kreis, der die Hypothenuse als Durchmesser hat, bewegen. Damit ist die Höhe auf <math>c</math> nach unten durch 0 und nach oben durch den Umkreisradius, also <math>\frac{c}{2}</math> beschränkt, sodass der Flächeninhalt des Dreiecks im Intervall <math>\left(0; \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{c}{2}\right]</math> aus Stetigkeitsgründen jeden Wert annehmen kann, die Sinussumme also genau die Werte aus dem Intervall <math>(0; 1]</math>. Dabei wird die Summe genau für <math>\alpha=\beta=45^{\circ}</math> maximal.

Cyrix


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Beitrag No.170, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-28 22:00

2019-04-28 21:10 - cyrix in Beitrag No. 168 schreibt:
@Steffen: Danke fürs Bereitstellen der Aufgaben sowie Sammeln und Zusammenfassen der Lösungen!

In deiner PDF, wie ich sie gerade offen habe, ist in Klasenstufe 9, III. Olympiade 1963 als einzige Aufgabe die 010921 angegeben, die doch in die ersten Olympiade gehört. Gegebenenfalls ist da was beim Kopieren schief gegangen...

Und beim Aufgabentext zur 090935 hat sich ein Artefakt einer "58.14508" eingeschlichen.
Danke für die vielen Lösungen.
Die Aufgabennummer war falsch, die Aufgabe richtig. Ist korrigiert.
Die "58.14508" war schlimmer. Ich habe 20 min gesucht, woran es liegt. Ich habe oft \Delta statt \triangle verwendet und in ein paar Abbildungen war ein Makro "\Delta" definiert, was anschließend alle meine \Deltas kaputt gemacht hat. Ich habe es aber gefunden.
Wieder etwas gelernt.
In etwa 30 Minuten werde ich die geänderte PDF hochladen, jetzt mit 181 Lösungen. Da kommt eine Menge zusammen. Sehr schön.

LG Steffen

PS: Datei ist online mit 183 Lösungen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.168 begonnen.]


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Beitrag No.171, eingetragen 2019-04-28 23:21

Einen hab' ich noch. ;)

Aufgab 071046: Man gebe alle reellen <math>x</math> an, die folgende Gleichung erfüllen:

<math>\sqrt{x+\sqrt{x}} - \sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{3}{2} \cdot \sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}</math>.

Lösung:

Offensichtlich ist <math>x\geq \sqrt{x}</math>, damit <math>\sqrt{x-\sqrt{x}}</math> definiert ist. Dies ist äquivalent zu <math>x\geq 1</math> oder <math>x=0</math>, wobei aber letzteres ausgeschlossen ist, da man sonst wegen <math>x+\sqrt{x}=0</math> einen Nullnenner im Bruch unter der Wurzel auf der rechten Seite erhalten würde. Sei also ab sofort <math>x\geq 1</math>.

Durch Multiplikation mit <math>\sqrt{x+\sqrt{x}} \neq 0</math> geht die Gleichung äquivalent über in

<math>x+\sqrt{x}-\sqrt{x^2-x}=\frac{3}{2} \sqrt{x}</math> bzw.
<math>x-\sqrt{x} \cdot \sqrt{x-1}=\frac{1}{2} \sqrt{x}</math>. Nach Division durch <math>\sqrt{x} \neq 0</math> und umsortieren erhält man
<math>\sqrt{x}-\frac{1}{2}=\sqrt{x-1}</math>.  Quadriert man diese Gleichung, was wegen <math>x\geq 1</math> und also <math>\sqrt{x}-\frac{1}{2}>0</math> eine Äquivalenzumformung ist, führt dies auf
<math>x-\sqrt{x}+\frac{1}{4}=x-1</math> bzw. <math>\sqrt{x}=\frac{5}{4}</math>, also <math>x=\frac{25}{16}</math>.

Tatsächlich bestätigt die (mathematisch nicht notwendige) Probe (da es sich ausschließlich um Äquivalenzumformungen gehandelt hat), dass <math>x=\frac{25}{16}</math> Lösung der Ausgangsgleichung ist. Diese ist auch, wie gezeigt, die einzige Lösung.

Cyrix


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Beitrag No.172, eingetragen 2019-04-29 02:07

Eine kürzere Alternative für

Aufgabe 070922: Für zwei rationale Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> gelten die vier Ungleichungen
<math>a+b\neq 3</math>; <math>a-b\neq 10</math>; <math>a \cdot b \neq 5</math>; <math>a : b \neq 18{,}75</math>.
Die Zahlen 3; 10; 5 und 18,75 stimmen jedoch (in einer anderen Reihenfolge) mit je einer der Zahlen <math>a+b</math>, <math>a-b</math>, <math>a \cdot b</math> und <math>a:b</math> übrtrin.
Ermitteln Sie die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

Lösung:
Da mit <math>a=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}>0</math> auch <math>b=\frac{a \cdot b}{a}</math> positiv ist, gilt <math>a-b<a+b</math>. Insbesondere kann also <math>a-b</math> nicht den größten der vier Werte annehmen. Es verbleiben zwei Fälle: <math>a-b=5</math> oder <math>a-b=3</math>. In beiden Fällen ist <math>a-b\in\mathbb{N}</math>. Wäre <math>a+b=18{,}75</math>, so würde <math>a\cdot b=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}\not\in\mathbb{N}</math> folgen, da im Zähler dieses Bruchs von einer nicht ganzen eine ganze Zahl subtrahiert wird, also noch nicht einmal der Zähler eine ganze Zahl ist. Aber <math>a \cdot b\not\in\mathbb{N}</math> wäre ein Widerspruch, da die übrigen drei Ergebnisse alle natürlich sind. Also folgt in beiden Fällen <math>a+b\neq 18{,}75</math>.

Fall 1: <math>a-b=5</math>. Dann verbleibt für <math>a+b</math> als einziger Wert die 10, was zu <math>a=\frac{15}{2}</math>, <math>b=\frac{5}{2}</math>, <math>a \cdot b=\frac{75}{4}=18{,}75</math> und <math>a:b=3</math>, also einer Lösung, führt.

Fall 2: <math>a-b=3</math>. Wäre <math>a+b=10</math>, so <math>a=\frac{13}{2}</math>, <math>b=\frac{7}{2}</math> und <math>a\cdot b=\frac{91}{4}</math>, was nicht in der Liste vorkommt. Also verbleibt hier noch die Möglichkeit <math>a+b=5</math> zu prüfen, die aber auf <math>a=4</math>, <math>b=1</math> und <math>a\cdot b=4</math>, also auch keine Lösung, führt.

Es gibt also genau ein Lösungspaar, nämlich <math>(a,b)=\left(\frac{15}{2}, \frac{5}{2}\right)</math>.


Und noch eine kürzere Alternativ-Lösung für die 070936:
Man ermittle alle reellen Zahlen <math>x</math>, die die Ungleichung erfüllen:
<math>\frac{3}{2x-1}-\frac{2}{x-\frac{1}{2}}>-\frac{1}{3}</math>.

Lösung:
Die Ungleichung ist wegen <math>\frac{2}{x-\frac{1}{2}}=\frac{4}{2x-1}</math> äquivalent zu <math>-\frac{1}{2x-1}>-\frac{1}{3}</math>, also nach Multiplikation mit (-1) und Reziprokenbildung auch zu <math>2x-1>3</math> oder <math>2x-1<0</math>, d.h. <math>x>2</math> oder <math>x<\frac{1}{2}</math>.

Bemerkung: Die abgedruckte Lösung geht auf mehr oder minder dem gleichen Weg vor, erkennt aber im ersten Schritt nicht, dass man den Subtrahenden einfach mit 2 erweitern kann, um einen gemeinsamen Nenner zu erhalten.
 
Cyrix


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Beitrag No.173, eingetragen 2019-04-29 03:26

Zur Aufgabe 090921: Bei einem Klassenfest stellen die Schüler ihrem Mathematiklehrer die folgende Aufgabe: Die Schüler teilen ihrem Lehrer mit, dass sie sich insgeheim so in drei Gruppen aufgeteilt haben, dass jeder Schüler der Klasse genau einer Gruppe angehört. Die Schüler der ersten Gruppe nennen sich die ”Wahren”, weil sie jede Frage wahrheitsgemäß beantworten. Die Schüler der zweiten Gruppe  nennen  sich  die ”Unwahren”, weil sie jede Frage falsch beantworten. Die Schüler der  dritten  Gruppe schließlich nennen sich die ”Unbeständigen”, weil jedervon ihnen Serien aufeinanderfolgender Fragen alternierend (abwechselnd) wahr und falsch beantwortet; dabei ist aber  ungewiss, ob er jeweils  die  erste  Frage  einer Serie wahr oder falsch beantwortet. Jeder Schüler  antwortet auf eine gestellte Frage nur mit ja oder nur mit nein; Fragen,  die andere Antworten erfordern, werden nicht zugelassen. Der Lehrer soll nun von einem beliebigen Schüler der Klasse durch Fragen, die er an diesen Schüler richtet und die sich nur auf die Zugehörigkeit zu einer der genannten Gruppen beziehen, feststellen, ob der Schüler ein ”Wahrer”, ein ”Unwahrer” oder ein ”Unbeständiger” ist.
a) Welches ist die kleinste Anzahl von Fragen, die dazu ausreicht?
b) Geben Sie eine Möglichkeit an, die Zugehörigkeit eines Schülers mit dieser kleinsten Anzahl von Fragen zu ermitteln!

Lösung:
a) Eine Frage genügt nicht, da damit nur zwei Fälle ("ja"- vs. "nein"-Antwort) unterschieden werden können, es aber drei Gruppen gibt. Dass es mit zwei Fragen geht, zeigt Teil b).
b) Man stelle zwei mal die gleiche Frage "Bist du ein 'Unbeständiger'?".
Ein "Wahrer" wird darauf zwei mal mit "nein" antworten, ein "Unwahrer" zwei mal mit "ja" und ein "Unbeständiger" einmal mit "ja" und einmal mit "nein" (in irgendeiner Reihenfolge).


Aufgabe 090922: Gegeben sei ein Würfel mit der Kantenlänge <math>a_1</math> und dem Volumen <math>V_1</math> sowie ein reguläres Tetraeder mit der Kantenlänge <math>a_2</math> und dem Volumen <math>V_2</math>. Für die Kantenlängen gelte <math>a_1 : a_2 = 1 : \sqrt{2}</math>. Berechnen Sie das Verhältnis <math>V_1 : V_2</math>.

Lösung:

Es ist <math>V_1=a_1^3</math> und <math>V_2=\frac{1}{12} \cdot \sqrt{2} \cdot a_2^3=\frac{1}{12} \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2} a_1)^3=\frac{1}{3} a_1^3= \frac{1}{3} V_1</math>, sodass das Verhältnis <math>V_1 : V_2</math> genau <math>3: 1</math> beträgt.

Bemerkung: Das Volumen <math>V</math> eines regulären Tetraeders mit Kantenlänge <math>a</math> ergibt sich (wie für jede Pyramide) zu <math>V=\frac{1}{3} \cdot A_G \cdot h</math>, wobei <math>A_G</math> der Flächeninhalt der Grundfläche und <math>h</math> die Länge der zugehörigen Höhe ist. Als Grundfläche ergibt sich ein gleichseitiges Dreieck mit Kantenlänge <math>a</math>. Dessen Fläche lässt sich (wie in jedem Dreieck) via <math>A_G=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_g</math> berechnen, wobei <math>h_g</math> die Länge einer Höhe im Dreieck ist. Da die Höhen im gleichseitigen Dreieck mit den Seitenhalbierenden zusammenfallen, teilt eine solche das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige, wobei eine der Katheten eines solchen Dreiecks die Höhe <math>h_g</math>, die zweite eine halbe Grundseite und die Hypothenuse die ungeteilte Dreiecksseite ist. Es ergibt sich nach dem Satz von Pythagoras <math>h_g^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=a^2</math>, also <math>h_g=\frac{\sqrt{3}}{2} a</math> und damit <math>A_G=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2</math>.

Für die Höhe im regulären Tetraeder beachte man, dass sie mit der entsprechenden Schwerelinie (Verbindung eines Eckpunkts mit dem Schwerpunkt der gegenüberliegenden Seitenfläche) zusammenfällt. So ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck mit "Spitze des Tetraeders", "Schwerpunkt der Grundfläche" und einem Eckpunkt der Grundfläche als Eckpunkte. Dessen Hypothenuse ist eine Kante des regulären Tetraeders, eine Kathete die Höhe <math>h</math> und die zweite Kathete der Abschnitt der Seitenhalbierenden in der Grundfläche zwischen Schwerpunkt und Eckpunkt.

Da der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis <math>2:1</math> teilt, wobei der Abschnitt zwischen Eckpunkt und Schwerpunkt der längere ist, und da im gleichseitigen Dreieck die Höhen und Seitenhalbierenden zusammenfallen, ist dieser Abschnitt hier also <math>\frac{2}{3} \cdot h_g=\frac{\sqrt{3}}{3} a</math> lang.

Es ergibt sich für das betrachtete rechtwinklige Dreieck zwischen Spitze, Schwerpunkt und Eckpunkt nach dem Satz von Pythagoras nun also
<math>h^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{3} a\right)^2=a^2</math>, also <math>h^2+\frac{3}{9} a^2=a^2</math> bzw. <math>h=\sqrt{\frac{2}{3}} a=\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} a</math>.

Zusammen mit der zuvor berechneten Grundfläche ergibt sich nun
<math>V=\frac{1}{3} \cdot A_G \cdot h=\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} a=\frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 4} a^3</math>, was wir oben verwendet haben.


Cyrix


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Beitrag No.174, eingetragen 2019-04-29 03:38

@ stpolster

Mir aufgefallen, dass Du angefangen hast, das ein oder andere aus den Planimetriethreads zu übernehmen.

Ich möchte dabei zu bedenken geben, dass sich
- Aufgabenskizze (also das mit den Längen bzw. Winkeln zur Übersicht)
- Planfigur
- Konstruktionszeichnung

üblicherweise deutlich unterscheiden. Es reicht im Allgmeinen nicht, nur eines davon anzugeben.


weird
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Beitrag No.175, eingetragen 2019-04-29 13:09

2019-04-29 02:07 - cyrix in Beitrag No. 172 schreibt:
Eine kürzere Alternative für

Aufgabe 070922: Für zwei rationale Zahlen <math>a</math> und <math>b</math> gelten die vier Ungleichungen
<math>a+b\neq 3</math>; <math>a-b\neq 10</math>; <math>a \cdot b \neq 5</math>; <math>a : b \neq 18{,}75</math>.
Die Zahlen 3; 10; 5 und 18,75 stimmen jedoch (in einer anderen Reihenfolge) mit je einer der Zahlen <math>a+b</math>, <math>a-b</math>, <math>a \cdot b</math> und <math>a:b</math> übrtrin.
Ermitteln Sie die Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.

Lösung:
Da mit <math>a=\frac{(a+b)+(a-b)}{2}>0</math> auch <math>b=\frac{a \cdot b}{a}</math> positiv ist, gilt <math>a-b<a+b</math>. Insbesondere kann also <math>a-b</math> nicht den größten der vier Werte annehmen. Es verbleiben zwei Fälle: <math>a-b=5</math> oder <math>a-b=3</math>. In beiden Fällen ist <math>a-b\in\mathbb{N}</math>. Wäre <math>a+b=18{,}75</math>, so würde <math>a\cdot b=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}\not\in\mathbb{N}</math> folgen, da im Zähler dieses Bruchs von einer nicht ganzen eine ganze Zahl subtrahiert wird, also noch nicht einmal der Zähler eine ganze Zahl ist. Aber <math>a \cdot b\not\in\mathbb{N}</math> wäre ein Widerspruch, da die übrigen drei Ergebnisse alle natürlich sind. Also folgt in beiden Fällen <math>a+b\neq 18{,}75</math>.

Fall 1: <math>a-b=5</math>. Dann verbleibt für <math>a+b</math> als einziger Wert die 10, was zu <math>a=\frac{15}{2}</math>, <math>b=\frac{5}{2}</math>, <math>a \cdot b=\frac{75}{4}=18{,}75</math> und <math>a:b=3</math>, also einer Lösung, führt.

Fall 2: <math>a-b=3</math>. Wäre <math>a+b=10</math>, so <math>a=\frac{13}{2}</math>, <math>b=\frac{7}{2}</math> und <math>a\cdot b=\frac{91}{4}</math>, was nicht in der Liste vorkommt. Also verbleibt hier noch die Möglichkeit <math>a+b=5</math> zu prüfen, die aber auf <math>a=4</math>, <math>b=1</math> und <math>a\cdot b=4</math>, also auch keine Lösung, führt.

Es gib