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Thema: Folgen Beweis
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HDMIii
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Dabei seit: 21.03.2017
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Themenstart: 2019-04-23 10:55

Hallo,

ich habe eine Aufgabe gegeben in der ich einen Beweis durchführen soll. Die Schritte in der Musterlösung kann ich mathematisch auch soweit nachvollziehen. Aber ich weiß nicht wie man da drauf kommen soll.

Beispielweise wird bei: "Sei nun..." einfach ein Ausdruck für Epsilon definirt. Klar, den Ausdruck kann man dann ganz am Ende in die Formal einsetzen, aber wie soll man das vorher schon wissen?

Auch die Schritte bei der vollständigen Induktion kann ich nachvollziehen. Aber ich wäre nicht drauf gekommen, dass man das machen muss.

Meine Frage an euch wäre nun: Wie würdet ihr an diesen Beweis ran gehen.
D.h. mit was würdet ihr beginnen, etc.

Ich hätte jetzt gestartet mit:
Wir müssen ja laut Cauchy zeigen, dass:
|a_n-a_m|<=..............=Epsilon.
Nun muss man für Epsilon einen Ausdruck finden, dass die Gleichung für alle n,m >N erfüllt ist.

Und nun? Wie würdet ihr weiter machen?

Es wäre super, wenn ihr mal euren Gedankengang schildern könntet.
Danke vorab :)



weird
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Dabei seit: 16.10.2009
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-23 11:49

2019-04-23 10:55 - HDMIii im Themenstart schreibt:
Ich hätte jetzt gestartet mit:
Wir müssen ja laut Cauchy zeigen, dass:
|a_n-a_m|<=..............=Epsilon.
Nun muss man für Epsilon einen Ausdruck finden, dass die Gleichung für alle n,m >N erfüllt ist.

Und nun? Wie würdet ihr weiter machen?

Tja, was soll man da sagen, außer: Ich würde genauso vorgehen, wie in dem Lösungsvorschlag nach der Devise: "Divide et impera!" Da der Bissen mit $|a_n-a_m|<\varepsilon$ natürlich viel zu groß ist, um ihn auf einmal hinunterzuschlingen, muss man ihn zuerst "zerkleinern", was hier mittels der Dreiecksungleichung geschieht, indem man $m=n+p$ für ein $p>0$ setzt:

$|a_n-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_{n+2}|+...+|a_{n+p-1}-a_{n+p}|<\varepsilon$

Die einzelnen Summanden kann man dann leicht, wie im Lösungsvorschlag für ein vorgegebens $n$ abschätzen und nun kommt die "Gretchenfrage", wie man das $\varepsilon>0$ hier wählen muss, damit die ganze Sache "funktioniert". Diese wird zunächst - anders als im Lösungsvorschlag - offengelassen und erst ganz am Schluss beanwortet, wenn man bei der Ungleichung

$|a_{n+p}-a_n|\le \frac{q^n|a_1-a_0|}{1-q}$

angelangt ist. An dieser Stelle macht man folgenden Überlegung: Wäre hier

$\frac{q^n|a_1-a_0|}{1-q}<\varepsilon$ (*)

so würde insgesamt dann

$|a_{n+p}-a_n|<\varepsilon$

daraus folgen, also genau das, was man haben möchte. Man muss also $\varepsilon$ einfach nur so wählen, dass es die Ungleichung (*) erfüllt, und das ist genau das, was hier auch vorgeschlagen wurde.  wink


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
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Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-23 12:08

Hallo,

ich empfehle dir einmal diesen Artikel zu studieren: matheplanet.de/default3.html?article=1805


Diese Aufgabe wird dort zwar nicht abgehandelt und das heißt auch nicht, dass es besonders einfach ist, diesen Beweis zu finden, aber es zeigt, wie man strukturiert an solche Beweise herangehen kann.

Es ist praktisch in jedem Schritt klar, was man tun muss.
Vor allem mit dem gegebenen Hinweis:

1) Zeige die Ungleichung mit vollständiger Induktion. Das ist einfach.

2) Benutze die Vollständigkeit von $\mathbb{R}$ um zu zeigen, dass die Folge konvergiert.

Nun muss man sich überlegen, wie man dies umsetzt.
Dazu hat man gar nicht so viele Möglichkeiten.

Nun guckt man nach, was es nochmal bedeutet, dass $\mathbb{R}$ vollständig ist. Dann sieht man: Aha, jede Cauchyfolge konvergiert. Ich kann also auch einfach zeigen, dass die Folge eine Cauchyfolge ist.

Dann sieht man nach, wie eine Cauchyfolge definiert war und muss sich nun überlegen, wie man das $\varepsilon$ zu wählen hat.

Solche Beweise mit $\varepsilon$ werden meistens in zwei Schritten geführt. Erst einmal eine vorab Überlegung, wo man dieses $\varepsilon$ 'findet'. Dort führt man praktisch den Beweis schon und überlegt sich dann welche Wahl von $\varepsilon$ das erfüllt. So wie von weird beschrieben.

Das wird in Vorlesungen, oder Lehrbüchern so aber nicht aufgeschrieben.

Auf den Trick mit der Teleskopsumme kommt man vielleicht nicht so leicht.

Man kann es sich aber so überlegen.

Man hat $|a_{n+p}-a_n|$. Natürlich wollen wir die gezeigte Ungleichung anwenden.
Diese gilt aber nur für benachbarte Folgeglieder.

Wir blähen die Summe also künstlich auf:

$|a_{n+p}+(-a_{n+p-1}+a_{n+p-1})+(-a_{n+p-2}+a_{n+p-2})+(-\dotso a_{n+1}+a_{n+1})-a_n|$

Das wiederum ist ein Standardtrick im Umgang mit Beträgen.
Etwa um die Dreiecksungleichung zu benutzen.
Was hier ja getan wird.

Dass man dann diese Summe erhält, kann man dann erkennen.
Ist aber eigentlich nicht notwendig, weil man hier ja dann auch einfach so die Dreiecksungleichung benutzt.

Ist man soweit erstmal gekommen, ist der Rest nur noch ausrechnen.


HDMIii
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Dabei seit: 21.03.2017
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23 15:03

Hi, danke schon mal für eure Antworten.
Ich lese sie mir heute Abend in Ruhe durch und melde mich nochmal falls Rückfragen aufkommen :)




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Druckdatum: 2019-06-20 13:41