Forum:  Mehrdim. Differentialrechnung
Thema: Kettenregel Syntax
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Maren_Knappig
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Themenstart: 2019-06-12 20:59

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Könnte mir hier jemand versuchen gedanklich auf die Sprünge zu helfen?


Neymar
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-12 21:15

Ich versuche es mal, so haben wir das letztes Semester in Physik gemacht.

Wenn du ,,nach t ableiten" schreibst, so ist dies insofern vage, als du einmal ,,total" als auch ,,partiell" nach $t$ ableiten könntest.

Ich verstehe es so, dass hier total nach $t$ abgeleitet wird, siehe auch
elearning.physik.uni-frankfurt.de/data/FB13-PhysikOnline/lm_data/lm_8846/daten/teil_7/node62.htm

So, du hast also erst einmal $du = \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} dx + \frac{\partial u(x,y)}{\partial t} dt$

Aber jetzt möchtest du ja nach t ableiten, also wenn wir durch ,,dt" teilen (so würden wir das sicherlich in Physik machen, ob es mathematisch sauber bzw. gerechtfertigt ist, ist eine andere Sache):

$$\frac{du}{dt} = \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial u(x,y)}{\partial t} \frac{dt}{dt}$$

Jetzt ,,kürzt" man noch $\frac{dt}{dt} = 1$ und führt $u_x := \frac{\partial u(x,y)}{\partial x}$ ein; diese Notation ist mir aus Mathe letztes Semester wohlbekannt, also macht man so.

Ich hoffe, es hilft, ob es was mit der Kettenregel zu tun hat, kann dir ja vielleicht jemand anderes erklären, auf jeden Fall nicht mit der Eindimensionalen Kettenregel, die man normalerweise in der Schule behandelt.


Gruß,
Neymar


hippias
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Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-13 09:24

Im folgenden Sinne liegt hier eine verkettete Funktion vor: Du hast eine Funktion <math>u=u(r,s)</math>, die von den beiden Veränderlichen <math>r,s</math> abhängt. Ferner  definiere ich eine Funktion <math>\gamma</math> mit <math>\gamma(t)= (x(t),t)</math>; sie hat also eine Veränderliche <math>t</math>, welche sie auf das Paar <math>(x(t),t)</math> abbildet.

Durch Einsetzen von <math>\gamma</math> in <math>u</math> entsteht eine neue Funktion <math>f(t)= u(\gamma(t)))= u(x(t), t)</math>. Somit liegt eine Verkettung von Funktionen vor.

Um die Ableitungsregel zu begründen kannst Du wie folgt vorgehen.

Es gilt <math>f"(t)= \lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}= \frac{u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t)}{h}</math>. Wer jetzt nicht aufpasst, kriegt die Motten, denn <math>u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t)= u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t+h)+u(x(t), t+h)-u(x(t), t)</math>.
Damit folgt
<math>f"(t)= \lim_{h\to 0}\frac{u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t+h)}{h}+ \lim_{h\to 0}\frac{u(x(t), t+h)-u(x(t), t)}{h}</math>
Der zweite Grenzwert ist genau die Definition der Ableitung von <math>u</math> nach der zweiten Variablen an der Stelle <math>(x(t),t)</math>, also das, was Du <math>u_{t}</math> genannt hast.

Die ganze Zeit bin ich davon ausgegangen, dass alle beteiligten Funktion hinreichend gutartig sind, sodass alle Grenzwerte existieren. Unter solchen Voraussetzungen kann ich sagen, dass der erste Grenzwert in beiden Veränderlichen unabhängig gebildet werden kann:
<math>\lim_{h\to 0}\frac{u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t+h)}{h}= \lim_{h,h"\to 0}\frac{u(x(t+h), t+h")-u(x(t), t+h")}{h}= \lim_{h"\to 0}\lim_{h\to 0}\frac{u(x(t+h), t+h")-u(x(t), t+h")}{h}</math>.
Details findest Du in jedem Analysisbuch.

Man kann also bei fester 2. Variabler nach der 1. Variablen ableiten, was mit Hilfe der Schulkettenregel geschieht, und dann geht <math>h"</math> gegen <math>0</math>:
 <math>\lim_{h"\to 0}\lim_{h\to 0}\frac{u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t+h)}{h}= \lim_{h"\to 0}u_{x}(x(t),t+h")x"(t)= u_{x}(x(t),t)x"(t)</math>.

Insgesamt <math>f"(t)= u_{x}(x(t),t)x"(t)+u_{t}</math>.


Maren_Knappig
Junior
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-13 10:53

2019-06-12 21:15 - Neymar in Beitrag No. 1 schreibt:
Ich versuche es mal, so haben wir das letztes Semester in Physik gemacht.

Wenn du ,,nach t ableiten" schreibst, so ist dies insofern vage, als du einmal ,,total" als auch ,,partiell" nach $t$ ableiten könntest.

Ich verstehe es so, dass hier total nach $t$ abgeleitet wird, siehe auch
elearning.physik.uni-frankfurt.de/data/FB13-PhysikOnline/lm_data/lm_8846/daten/teil_7/node62.htm

So, du hast also erst einmal $du = \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} dx + \frac{\partial u(x,y)}{\partial t} dt$

Aber jetzt möchtest du ja nach t ableiten, also wenn wir durch ,,dt" teilen (so würden wir das sicherlich in Physik machen, ob es mathematisch sauber bzw. gerechtfertigt ist, ist eine andere Sache):

$$\frac{du}{dt} = \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial u(x,y)}{\partial t} \frac{dt}{dt}$$

Jetzt ,,kürzt" man noch $\frac{dt}{dt} = 1$ und führt $u_x := \frac{\partial u(x,y)}{\partial x}$ ein; diese Notation ist mir aus Mathe letztes Semester wohlbekannt, also macht man so.

Ich hoffe, es hilft, ob es was mit der Kettenregel zu tun hat, kann dir ja vielleicht jemand anderes erklären, auf jeden Fall nicht mit der Eindimensionalen Kettenregel, die man normalerweise in der Schule behandelt.


Gruß,
Neymar

Danke für Deine Antwort. Diese hat mir schon sehr geholfen.
Die Notation besagt, dass die Gleichung eine Funktion enthält, die von x(t) anhängt sprich:
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Wenn ich nun ableite, muss ich die Funktion f(x(t)) selbst erst einmal nach x ableiten, bevor ich sie nach t ableiten kann.

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Kann man sagen, dass die Notation u(x(t),t) bedeutet, dass f(x(t)) und t in der noch nicht definierten Gleichung additiv zusammen hängen?
Es könnte ja auch so etwas sein: x(t)*t anstatt f(x(t))+t?



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


Maren_Knappig
Junior
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-13 11:02

2019-06-13 09:24 - hippias in Beitrag No. 2 schreibt:
Im folgenden Sinne liegt hier eine verkettete Funktion vor: Du hast eine Funktion <math>u=u(r,s)</math>, die von den beiden Veränderlichen <math>r,s</math> abhängt. Ferner  definiere ich eine Funktion <math>\gamma</math> mit <math>\gamma(t)= (x(t),t)</math>; sie hat also eine Veränderliche <math>t</math>, welche sie auf das Paar <math>(x(t),t)</math> abbildet.

Durch Einsetzen von <math>\gamma</math> in <math>u</math> entsteht eine neue Funktion <math>f(t)= u(\gamma(t)))= u(x(t), t)</math>. Somit liegt eine Verkettung von Funktionen vor.

Um die Ableitungsregel zu begründen kannst Du wie folgt vorgehen.

Es gilt <math>f"(t)= \lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}= \frac{u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t)}{h}</math>. Wer jetzt nicht aufpasst, kriegt die Motten, denn <math>u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t)= u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t+h)+u(x(t), t+h)-u(x(t), t)</math>.
Damit folgt
<math>f"(t)= \lim_{h\to 0}\frac{u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t+h)}{h}+ \lim_{h\to 0}\frac{u(x(t), t+h)-u(x(t), t)}{h}</math>
Der zweite Grenzwert ist genau die Definition der Ableitung von <math>u</math> nach der zweiten Variablen an der Stelle <math>(x(t),t)</math>, also das, was Du <math>u_{t}</math> genannt hast.

Die ganze Zeit bin ich davon ausgegangen, dass alle beteiligten Funktion hinreichend gutartig sind, sodass alle Grenzwerte existieren. Unter solchen Voraussetzungen kann ich sagen, dass der erste Grenzwert in beiden Veränderlichen unabhängig gebildet werden kann:
<math>\lim_{h\to 0}\frac{u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t+h)}{h}= \lim_{h,h"\to 0}\frac{u(x(t+h), t+h")-u(x(t), t+h")}{h}= \lim_{h"\to 0}\lim_{h\to 0}\frac{u(x(t+h), t+h")-u(x(t), t+h")}{h}</math>.
Details findest Du in jedem Analysisbuch.

Man kann also bei fester 2. Variabler nach der 1. Variablen ableiten, was mit Hilfe der Schulkettenregel geschieht, und dann geht <math>h"</math> gegen <math>0</math>:
 <math>\lim_{h"\to 0}\lim_{h\to 0}\frac{u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t+h)}{h}= \lim_{h"\to 0}u_{x}(x(t),t+h")x"(t)= u_{x}(x(t),t)x"(t)</math>.

Insgesamt <math>f"(t)= u_{x}(x(t),t)x"(t)+u_{t}</math>.
Vielen Dank für die sehr ausführliche Darstellung. Das hat meine Gedanken bestätigt und ich kann mit dieser Notation etwas anfangen !!! danke nochmal


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
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Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-13 11:57
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Hallo Maren_Knapping,

die anderen beiden haben die Sache bereits richtig erklärt. Von mir kommt nur nochmal eine etwas andere Sichtweise.

Die eindimensionale Kettenregel ist ja bekannt: $\frac{\d}{\d t} f\circ g=\frac{\d g}{\d t}\cdot\frac{\d f}{\d t}\circ g$. Die ist aber nur ein Spezialfall der allgemeinen, mehrdimensionalen Kettenregel:

Sei $g:\R^n\to\R^m,~f:\R^m\to\R^k$, beide differenzierbar. Dann ist

\[\D(f\circ g)=(\D f)\circ g\cdot \D g\]
Dabei ist $\D(f\circ g)$ die Jacobimatrix von $f\circ g$, und $\D f,~\D g$ die von $f$ und $g$. Die eindimensionale Kettenregel ist davon insofern ein Spezialfall, dass die Jacobimatrizen eindimensionaler Funktionen einfach nur 1x1-Matrizen sind, also im wesentlichen Skalare, nämlich die Ableitung. Dann ist $\frac{\d f}{\d t}=\D f,~\frac{\d g}{\d t}=\D g,~\frac{\d}{\d t} f\circ g=\D(f\circ g)$.

Wenn man die jetzt auf deinen Fall anwendet, dann ist $u(x(t),t)=f\circ g$ mit $f(x,t)=u(x,t)$ und $g(t)=(x(t),t)$. Jetzt gilt:

\[\D f=\matrix{\partial_x u&\partial_t u}\\
\D g=\matrix{\partial_t x\\ \partial_t t}=\matrix{\partial_t x\\ 1}\]
Damit ist nach Kettenregel

\[\begin{align*}\frac{\d}{\d t}u(x,t)&=\D (f\circ g)\\
&=\D f\circ g\cdot\D g\\
&=\matrix{\partial_x u(x,t)&\partial_tu(x,t)}\cdot\matrix{\partial_t x\\1}\\
&=\partial_x u(x,t)\partial_t x+\partial_t u(x,t)\end{align*}\]
Das war jetzt sozusagen die Sicht von “oben“, wenn die allgemeine Kettenregel schon bekannt ist. Vielleicht hilft es ja, noch besser zu verstehen, und wenn nicht, dann ist das was die anderen beiden gemacht haben auch richtig.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)



Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
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Druckdatum: 2019-12-11 03:20