Forum:  Ringe
Thema: Beispiele für spezielle Ringe gesucht
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Moritz21
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Dabei seit: 30.06.2018
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Themenstart: 2019-06-13 10:32

Hallo 😁

Ich schaue im Internet nach Beispiele für folgende Ringe:

1) Nicht-kommutativer Ring mit Eins (außer Matrizenring)

2) Kommutativer Ring ohne Eins (außer $(2 \mathbb{Z}, +, \cdot)$)

3) Nicht- kommutativer Ring ohne Eins


zur 1) und 2) habe ich Beispiele gefunden, aber ich frage mich, ob es vielleicht noch mehr gibt, weil ich überall nur diese gefunden habe (also Matrizenring und $(2 \mathbb{Z}, +, \cdot)$).


Zu 3) habe ich leider  noch nichts gefunden und selber kann ich mir kein Beispiel herleiten, weil jeder Ring, der mir einfällt, entweder das Einselement enthält oder kommutativ ist.


Kann mir da jemand helfen? Das wäre klasse!


mfg, Moritz


DavidM
Senior
Dabei seit: 11.06.2012
Mitteilungen: 306
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-13 11:44

Hallo Moritz,

ein Beispiel für 2) ist der Ring aller stetigen Funktionen $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ mit kompaktem Träger, das heißt $\{x \in \mathbb{R} | f(x) \neq 0 \}$ ist beschränkt. Addition und multplikation sind dabei punktweise definiert.

Viele Grüße,
David


Creasy
Senior
Dabei seit: 22.02.2019
Mitteilungen: 541
Aus: Bonn
Beitrag No.2, eingetragen 2019-06-13 12:36

Hey,

bei 1) kann man auch Schiefkörper nehmen, z.B. die Quaternionen



Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2321
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-13 12:50
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

ein einfaches Beispiel für 3) ist: $(2M_n(\IZ), +,\cdot)$. Dabei ist $M_n(\IZ)$ die Menge der $n\times n$-Matrizen mit ganzzahligen Einträgen.
\(\endgroup\)

xiao_shi_tou_
Senior
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1250
Aus: Bonn
Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-13 13:15
\(\begingroup\)\(\)
Hi.
Ein wichtiges Beispiel für einen nicht kommutativen Ring mit $1$:

Sei $F$ ein Körper (oder Ring) der Charakteristik $p>0$, zum Beispiel $\F_p(t)$.
Sei $F\{\tau\}$ der Polynomring in $\tau$, wobei Multiplikation nicht wie üblich, sondern wie folgt definiert sei:
$\tau a=a^p\tau$.
Das heißt, man stellt sich die Variable wie eine Abbildung vor die $a$ auf $a^p$ schickt.
In der Tat kann man $\tau$ als den Frobenius Homomorphismus $F\to F,a\mapsto a^p$ auffassen.
Nun ist klar, dass $1\in F$ das Einselement ist und dass der Ring nicht kommutativ sein kann.

Falls es dich interessiert:
Als interessante Übung kannst du nun nachrechnen, dass dieser Ring isomorph ist zu dem Ring der additiven Polynome:
$F_{add}[T]\defeq \set{f(T)\in F[T]}{\exists g\in F[T]\colon f(T)=g(T^p)}$.
Die Multiplikation im ring der Additiven Polynome ist durch Verkettung von Polynomen gegeben und der Isomorphismus wird durch $\tau\mapsto T^p$ gegeben.

Bemerkung:
Ringe ohne $1$ werden oft nicht als Ringe bezeichnet und haben kaum eine Bedeutung. Nicht Kommutative Ringe gibt es hingegen schon mehr.
Beachte, dass die Theorie sich drastisch vereinfacht wenn man annimmt, dass ein Ring kommutativ und mit $1$ ist. Das sieht man schon an der Gestalt der Ideale in Ringen mit und ohne $1$.  
\(\endgroup\)

Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
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Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-13 13:19

Hallo,

ich meine es gibt einen Satz der in etwa wie folgt lautet: Sei $R$ ein nicht kommutativer Ring und $R$ ein endlich erzeugter $S$-Modul. Dann ist $R$ ein Quotient / Unterring von $M_n(S)$. Für $S=\IZ,\IQ,\mathbb{F}_p$ muß man dann nach weniger trivialen Beispielen suchen, wie z.B. das von DavidM aus #1.

Ich meine so etwas in der Darstellungstheorie gelesen zu haben - kann aber komplett falsch liegen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


Dune
Senior
Dabei seit: 30.03.2009
Mitteilungen: 3051
Aus: Rostock
Beitrag No.6, eingetragen 2019-06-13 15:55

@TomTom:

Du meinst vermutlich Folgendes: Sei $A$ eine $R$-Algebra ($R$ kommutativ) und $M$ ein $A$-Modul. Dann gibt es einen kanonischen Homomorphismus $A \to \mathrm{End}_R(M)$ von $R$-Algebren.

Umgekehrt macht jeder $R$-Homomorphismus $A \to \mathrm{End}_R(M)$ einen $R$-Modul $M$ zu einem $A$-Modul.

VG Dune




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Druckdatum: 2020-09-18 19:59