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Thema: Terme im Integral abschätzen
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Themenstart: 2019-06-13 13:10

Hallo,

ich versuche gerade eine Sache aus der Vorlesung zu verstehen, aber irgendwie ist mir das nicht sonderlich klar.

Sei \(0\le K_N < N_{\gamma}\)~\(N\) und \(0<n<N_{\gamma}\). Für \(N\to\infty\) wollen wir zeigen, dass
\[ \int_{0}^{N_{\gamma}} \frac{1}{y}(1-(1-y/N_{\gamma})^{N_{\gamma}})(1-y/N_{\gamma})^{n-1}dy \sim log(N_\gamma)\].

Jetzt wird gesagt, dass \(K_n \to \infty\) langsam und wir unterteilen es in 3 Intervalle \([0,K_N],[K_N,N_{\gamma}/logN]\) und \([N\gamma/logN,N\gamma]\). Mit \((1-(1-y/N_{\gamma})^{N_{\gamma}}) \to 1\) außerhalb des ersten Intervalls und \((1-y/N_{\gamma})^{n-1} \to 1\) außerhalb des 3ten Intervalls ist das obere

\[O(K_N) + \int_{K_N}^{N_{\gamma}/log N} \frac{1}{y}dy + O(loglogN)\].

Ich kann zum Beispiel verstehen, dass
\[\int_{K_N}^{N_\gamma/logN} \frac{1}{y}(1-(1-y/N_{\gamma})^{N_{\gamma}})(1-y/N_{\gamma})^{n-1}dy \le \int_{K_N}^{N_{\gamma}/log N} \frac{1}{y}dy\] ist, weil die beiden Terme nach oben durch 1 abgeschätzt werden können, aber ich verstehe nicht, warum die beiden Integrale das gleiche sein sollen bzw. warum die beiden Terme ignoriert werden können und wir $$\int_{K_N}^{N_{\gamma}/log N} \frac{1}{y}dy$$ schreiben können ohne die Grenzen zu unendlich zu ändern.




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Druckdatum: 2019-10-19 17:15