Forum:  Stochastik und Statistik
Thema: Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Funktion einer zufallsverteilten Größe
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Florian_O
Junior
Dabei seit: 02.04.2018
Mitteilungen: 7
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Themenstart: 2019-06-13 13:22

Ich habe eine gaußverteilte Zufallsgröße $X$ (mit bekanntem Mittelwert und Standardabweichung). Aus dieser Verteilung werden nun $x$ gezogen und eine analytische Funktion $f$ an diesen Stellen ausgewertet. Ich interessiere mich für die Wahrscheinlichkeitsdichte, die die Verteilung der Funktionswerte beschreibt.

Numerisch ist mir das ganze völlig klar, aber gibt es dazu auch einen analytischen Ausdruck?


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1452
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-13 13:35
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

ich weiß nicht, ob ich dein Anliegen so ganz verstanden habe. Sei \(F_X\) die Verteilungsfunktion der bekannten Normalverteilung und \(Y\) die Zufallsvariable, die durch die Funktion \(f\) gegeben ist mit \(y=f(x)\). Dann wäre die gesuchte Verteilung doch einfach gegeben durch \(F_X(f^{-1}(y))\). Meinst du etwas in der Art?


Gruß, Diophant

\(\endgroup\)

Florian_O
Junior
Dabei seit: 02.04.2018
Mitteilungen: 7
Aus:
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-13 13:57

Hallo,

ja, genau das löst mein Problem. Ich hatte da einen kompletten Knoten im Kopf, vielen Dank! :)


Liebe Grüße,
Florian


Florian_O
Junior
Dabei seit: 02.04.2018
Mitteilungen: 7
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-19 14:29

Hallo,

ich habe leider Schwierigkeiten für den Fall, dass die Funktion nicht injektiv ist. Speziell geht es mir um die Funktion \(y = f(x) = x^2\). Die Wahrschienlichkeitsdichte für \(y\) müsste dann ja einfach \(F_X (\sqrt y) + F_X (-\sqrt y)\) sein (multipliziert mit Normierung natürlich)?

Ich habe das ganze mal numerisch ausprobiert. Um aus einer Wahrscheinlichkeitsdichte Zahlen zu ziehen, nehme ich viele x-Werte und berechne die zugehörigen Funktionswerte. Dann teile ich die Liste der Funktionswerte durch ihre Summe und betrachte diese als die Wahrscheinlichkeiten, mit der ich die zugehörigen x-Werte aus der Verteilung ziehe.

Im Bild habe ich für $F_X$ eine Gaußverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 0,1 genommen. Dann habe ich aus der Gaußverteilung 1000000 Zahlen gezogen, diese jeweils quadriert und sie im Histogramm als blaue Kurve dargestellt. Für die orange Kurve habe ich 1000000 Zahlen aus \(F_X (\sqrt y) + F_X (-\sqrt y)\) gezogen. Ich vertehe leider nicht, wo hier der Wurm drin ist.


Liebe Grüße,
Florian


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1452
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.4, eingetragen 2019-06-19 15:35
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

ich hatte vergessen, darauf hinzuweisen, dass hier mit \(f^{-1}(y)\) natürlich das Urbild von y und nicht die Umkehrfunktion gemeint ist. Das kann man hier in der Tat nicht so einfach durch Einsetzen bewerkstelligen.

Es ist ja hier \(P(Y\le k)=P(X^2\le k)=P(|X|\le \sqrt{k})\). Für k gilt jedoch jetzt \(k\ge 0\) so dass man das als Summe \(P(0\le X\le\sqrt{k})\)+\(P(-\sqrt{k}\le X \le 0)\)=\(P(X\le\sqrt{k})-P(X\le-\sqrt{k})\) darstellen müsste.


Gruß, Diophant




\(\endgroup\)

Florian_O
Junior
Dabei seit: 02.04.2018
Mitteilungen: 7
Aus:
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-19 17:23

Hallo,

wenn ich $Y$ in ein Intervall einbaue kriege ich tatsächlich genau das, was ich will (nämlich die (approximierte) Wahrscheinlichkeitsverteilung in Abhängigkeit von den Funktionswerten y): \[
P( y < Y < y+ \epsilon) = P(y < X^2 < y + \epsilon) = P(\sqrt y < X < \sqrt{y + \epsilon }) + P(-\sqrt{y + \epsilon } < X < -\sqrt y) = \int_{\sqrt y}^{\sqrt{y+ \epsilon}}F_{X}(x) dx + \int_{-\sqrt{y+ \epsilon}}^{-\sqrt y}F_{X}(x) dx
\approx \left[ F_{X}(\sqrt{y}) + F_{X}(-\sqrt{y}) \right] \cdot \left( \sqrt{y+ \epsilon} - \sqrt{y}\right)
\] Damit kommt auch das Histogramm wunderbar hin. Ist schon lustig, dass dieser sehr unschuldig aussehende rechte Term mein ganzes Problem war. Vielen Dank für die Hilfestellung! :)

Liebe Grüße,
Florian




Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
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Druckdatum: 2019-07-23 05:35