Forum:  Funktionalanalysis
Thema: Banachscher Fixpunktsatz, Lipschitzkonstante finden
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Claw
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Dabei seit: 14.06.2019
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Themenstart: 2019-06-14 19:22

Hallo,

ich soll zeigen, dass die Funktion fed-Code einblenden fed-Code einblenden fed-Code einblenden fed-Code einblenden
Um den Banachschen Fixpunktsatz verwenden zu können möchte ich zuerst zeigen, dass f eine Kontraktion ist, es also ein L mit 0<L<1 gibt, sodass gilt:
fed-Code einblenden
Da ich jedoch weiß, dass die Exponentialfunktion nicht Lipschitzstetig ist für x>0 weiß ich nicht, wie ich das zeigen soll.
Kann jemand helfen?

Vielen Dank und viele Grüße
Claw


Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2019-06-14 19:48
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo Claw und herzlich Willkommen hier auf Matroids Matheplanet!

Das mit der Lipschitzstetigkeit der Exponentialfunktion ist so eine Sache. Zwar hast du mit deiner Aussage im Prinzip auch recht, aber andererseits ist die Exponentialfunktion auf jedem Intervall \((-\infty,b)\) sehr wohl Lipschitz-stetig (weil auf einem solchen Intervall ihre Ableitung beschränkt ist). Und ein derartiges Intervall ist hier ja vorgegeben.

Also: bringe vielleicht mal den Faktor \(1/3\) auf die rechte Seite und versuche dein Glück nochmal, eine Konstante L für diesen Fall zu finden.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Claw
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Dabei seit: 14.06.2019
Mitteilungen: 4
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-14 20:13

Hallo Diophant,

danke schonmal für die Antwort!
Wenn ich das 1/3 auf die rechte Seite bringe, dann muss ich ein L zwischen 0 und 1 finden mit: fed-Code einblenden
und ich weiß schon, dass fed-Code einblenden
Bin ich so auf dem richtigen Weg? Ich komme irgendwie nicht darauf, wie ich hier richtig abschätzen soll.

Viele Grüße, Claw



Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4917
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.3, eingetragen 2019-06-14 20:32
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

ja, passt*. Die Abschätzung nimmst du und dann kannst du das ja jetzt wieder durch 3 dividieren, damit es auf deine Aufgabe passt.

Ich würde nur die 3 auf der rechten Seite nicht in die Klammer nehmen, sondern so ansetzen:

\[\left|e^x-e^y\right|\le 3L|x-y|\]
Und mit deiner obigen Abschätzung findest du ja den entsprechenden Wert für L jetzt leicht.

*Edit: ich muss mich korrigieren. Die 3 ist ein ganz klein wenig zu groß...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Claw
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Dabei seit: 14.06.2019
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-14 20:49

Hallo,

wenn ich jetzt wieder durch die 3 teile, dann muss ja folgen, dass fed-Code einblenden
Wie finde ich denn jetzt ein L, sodass fed-Code einblenden
Es kann ja auch passieren, dass x=y und dann gibt es so ein L ja garnicht, oder?

Gruß, Claw


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Beitrag No.5, eingetragen 2019-06-14 23:55
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

du kannst hier doch wegen der Differenzierbarkeit der Exponentialfunktion den Ansatz \(L=sup(|f'(x)|)\) verwenden.

Damit bekommst du die Beziehung

\[3L=e^{ln(3-\varepsilon)}=3-\varepsilon\]
Damit kannst du dich jetzt der eigentlichen Aufgabe widmen. :-)


Gruß, Diophant

\(\endgroup\)



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Druckdatum: 2020-10-27 02:37