Forum:  Gruppen
Thema: Hierarchie von Gruppen
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Stevenwind
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Dabei seit: 12.07.2019
Mitteilungen: 1
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Themenstart: 2019-07-12 11:04

Guten morgen, ich versuche mir zurzeit selber so eine Art "Skript" für mich zu erstellen, was Algebra angeht. Dazu möchte ich versuchen, die Gruppen, die mir in der VL präsentiert wurden, hierarchisch zu strukturieren.

Wir haben zum Beispiel die Symmetrische Gruppe kennengelernt, $(\mathbb{Z}_{n}, +)$, Zyklische Gruppe, Faktorgruppe usw. kennengelernt.


Dabei fiel mir auf, dass manche Gruppen eine höhere Ordnung haben.

Zum Beispiel ist die Gruppe $(\mathbb{Z}_{n}, +)$ eine zyklische Gruppe. Aber es gibt auch andere zyklische Gruppen.

Das heißt, dass die zyklische Gruppe keine spezielle Gruppe ist, sondern ein Oberbegriff für andere Gruppen mit bestimmten Eigenschaften.

Die Faktorgruppe ist auch keine spezielle Gruppe, sondern kann man für jede Gruppe (denke ich zumindest) bilden.


ich hoffe, es ist klar, was ich meine. Gibt es so eine Art Hierarchie für Gruppen? Falls ja, wie sieht sie denn aus?



lg, Steven


qwertzusername
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Dabei seit: 05.06.2015
Mitteilungen: 1318
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-12 16:33

Hallo Stevenwind,

zyklisch ist eine Eigenschaft, die eine Gruppe haben kann.
Wie auch z.B. abelsch, nilpotent o.ä.

Hat eine zyklische Gruppe n Elemente (d.h. die Ordnung der Gruppe ist n) so ist sie isomorph zu $(\mathbb Z_n,+)$.
Unendliche zyklische Gruppen sind isomorph zu $(\mathbb Z, +)$.

Faktorgruppe ist eine Bezeichnung für die Konstrukstionsart der gegebenen Gruppe.


[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Gruppen' von qwertzusername]


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 1630
Aus:
Beitrag No.2, eingetragen 2019-07-12 17:10

Hallo,

ergänzend zu dem, was qwertzusername schon gesagt hat:

- Jede Gruppe ist isomorph zu einer Faktorgruppe einer freien Gruppe.
- Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe.




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Druckdatum: 2019-11-14 08:25