Forum:  Funktionalanalysis
Thema: Schwache Konvergenz
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yannickmeister
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Dabei seit: 18.07.2019
Mitteilungen: 1
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Themenstart: 2019-07-18 14:07

Moin,

Sei $X$ ein reflexiver normierter Raum. Ich denke da an einem $L^r$ auf einem beschränkten Gebiet, $r < \infty$. Sei $J(u) = ||u||^2_X$.

Folgt dann aus $x_k$ schwach gegen $x$, dass $J(x_k)$ stark gegen $J(x)$?

Für $J(u) = ||u||_X$ habe ich nur die schwache Unterhalbstetigkeit der Norm. Ich bin mir aber nicht sicher, ob das Quadrat da noch großartig was ändert. Wahrscheinlich fehlt mir ein Satz, der die schwache Konvergenz auf die schwach-*-Konvergenz übersetzt. Das wäre auf jeden Fall meine Vermutung oder geht das komplett anders?

Vielen Dank für eure Tipp und Grüße


Kampfpudel
Senior
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1791
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-18 15:17

Hey yannickmeister und Willkommen!

Das Quadrat ändert nichts und die Aussage stimmt so auch nicht.

Betrachte etwa \(X= \ell^2\) und die Folge \((e^k)_k \subset \ell^2\), wobei \(e_n^k=0\), falls \(n \neq k\) und \(e_n^k=1\), falls \(n=k\) (\(e^k\) ist also die reelle Folge, die 1 im k-ten Folgenglied ist und 0 sonst).
Diese Folge (von Folgen) konvergiert schwach in \(\ell^2\) gegen \(0 \in \ell^2\), aber \(\Vert e^k \Vert_{\ell^2}=1\) für alle \(k \in \mathbb{N}\).

Ich verstehe deine Überlegung mit der schwach*-Konvergenz noch nicht ganz.

Edit: vllt noch ein Beispiel und ein wenig mehr allgemeine Theorie.

Sei \(X=L^p(D)\), \(D=(0,1)\), \(1<p<\infty\) und betrachte \(f:(0, \infty) \to \mathbb{R}\),
\(f(x)= 1\), falls \(2k < x \leq 2k+1\), für ein \(k \in \mathbb{N}_0\) und
\(f(x)= -1\), falls \(2k+1 < x \leq 2k+2\), für ein \(k \in \mathbb{N}_0\).

Dann betrachte die Folge \(f_n: (0,1) \to \mathbb{R}\), \(f_n(x)= f(nx)\).
Man kann zeigen, dass \(f_n \rightharpoonup 0\) in \(L^p((0,1))\), aber \(\Vert f_n \Vert_{L^p((0,1))}=1\) für alle \(n \in \mathbb{N}\).

In uniform konvexen Banachräumen (z.B. \(L^p\), \(1<p<\infty\) sowie alle Hilberträume) gilt:
\(f_n \to f\) genau dann wenn
i) \(f_n \rightharpoonup f\) und
ii) \(\Vert f_n \Vert \to \Vert f \Vert\).

Das könnte die bei deinen Überlegungen auch weiterhelfen




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Druckdatum: 2020-08-15 00:28