Forum:  Aussagenlogik
Thema: Beweisführung / Quantoren
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timeout75
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Themenstart: 2019-07-18 18:21

Daniel Velleman schreibt in seinem Buch "How to prove it. A structured approach. 2nd edition" auf Seite 60 folgende Saetze:
"For example, consider the statement ∀x∃y (x + y = 5), where the universe of discourse is the set of all real numbers."
Der Autor gibt dann zwei Beispiele. Er schaut sich die Situation fuer x = 2 und x = 7 in der Gleichung fuer ∃y (x + y = 5) und kommt zu dem wenig ueberraschenden Schluss, dass beispielsweise die Loesung fuer  x = 7 -> y =-2 ist. Das ist alles eigentlich ziemlich banal und dies muss man auch nicht weiter erlaeutern. Interessant wird es dann im naechsten Satz: "In fact, you have probably realized by now that no matter what value we plug in for x, the equation x + y = 5 will always have the solution y = 5 - x, so the statement ∃y (x + y = 5) will be true. Thus, the original statement ∀x∃y (x + y = 5) is true."
Ja, ich habe das "realized by now", aber dies ist doch kein Beweis oder ist die geraden Gleichung der Beweis? Muss man hier nicht zeigen, dass es fuer alle x (mindestens) ein y gibt? (Schon klar, bei Geraden gibt es immer nur eins). Allerdings stellt sich mir noch immer die Frage, wie man das zeigt.  

Viele Gruesse
Timeout75


ochen
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-07-18 18:25

Hallo,

was meinst du genau? wenn du für jedes $x\in \mathbb{R}$ ein konkretes $y\in \mathbb{R}$ mit $x+y=5$ angeben kannst, dann sollte das doch als Beweis genügen oder was fehlt dir?

Viele Grüße


timeout75
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-18 18:45

Ich kann Beispiele geben und die werden alle Stimmen (wie beispielsweise im Buch mit x=2 und x=7), aber wie schreibe ich es auf, dass es fuer alle x Element R gilt? Wie sieht hier die genaue Notation aus, so dass man dies als Beweis (an)erkennt?


ochen
Senior
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-07-18 18:48

Für $x\in \mathbb R$ wähle $y=5-x$. Überzeugt dich das nicht?


timeout75
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-18 21:20

Der eigentliche Grund fuer meine Frage ist folgender:

 ∀x∃!y (2x – 3y = 1).


Dies ist Teil eines Quizzes und ganz offensichtlich hat der Fragesteller sich nahe an dem Buch Beispiel orientiert.

Den B Teil habe ich beantwortet. Ich gab ein Gegenbeispiel: x = 1 -> y = 1/3 und 1/3 ist nicht im 'universe of discourse.'

Im A Teil ist mir die Antwort auch klar. y = (2x -1) / 3. Jedes Beispiel landet im 'universe of discourse' und es gibt 'offensichtlich' auch nur ein Ergebnis fuer jeden X Wert den wir in die Geradengleichung einsetzen, aber ist dies als Antwort genug? Ich kann doch nicht einfach hinschreiben: x ∈ ℚ und y = (2/3)x - 1/3 und den Rest kann sich der Prof denken oder etwa doch?


darkhelmet
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Beitrag No.5, eingetragen 2019-07-18 21:34

2019-07-18 21:20 - timeout75 in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich kann doch nicht einfach hinschreiben: x ∈ ℚ und y = (2/3)x - 1/3 und den Rest kann sich der Prof denken oder etwa doch?

Der Rest wäre der Beweis, dass $2x-3\left(\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}\right)=1$ gilt. In der Regel wird man den weglassen, weil er offensichtlich ist, bzw. weil es die gleichen Schritte nur in umgekehrter Richtung sind, die man schon beim Auflösen nach $y$ durchgeführt hat.

Aber allgemein: Ein Beweis von $\exists x:P(x)$ besteht aus einer Definition von $x$ und einem Beweis von $P(x)$.

In deinem ersten Beispiel also $y:=5-x$ und ein Beweis für $x+(5-x)=5$.


timeout75
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-18 21:44

Danke!




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Druckdatum: 2020-02-28 18:04