Forum:  Holomorphie
Thema: Fragen zur Funktionentheorie
Themen-Übersicht
Sid123
Junior
Dabei seit: 08.08.2019
Mitteilungen: 14
Aus:
Themenstart: 2019-08-19 09:25

Hallo :)

Ich habe 3 verschiedene Fragen zum Thema Funktionentheorie:

1) Ist die Aussage wahr oder falsch: Es existiert eine ganze Funktion f: fed-Code einblenden

Das heißt ja, dass auf die 0 alle z abgebildet werden die vom Betrag kleiner 1 sind. Kann ich dann vielleicht mit dem Identitätssatz argumentieren? Das die Funktion eingeschränkt auf die Menge fed-Code einblenden
0 ist und daher überall 0 sein muss und es so keine Funktion mit der zusätzlichen Bedingung fed-Code einblenden
geben kann? Und was wäre dann mein Häufungspunkt? Oder liege ich mit meiner Argumentation ganz falsch?

2) Ist die Aussage wahr oder falsch: Sei G fed-Code einblenden
ein beschränktes Gebiet.Dann nimmt die Funktion G^_ (abschluss von G) fed-Code einblenden
ihr Maximum auf dem Rand von G an.

Hier weiß ich wirklich nicht weiter, da ich ja das Problem habe, dass der Betrag von z keine holomorphe Funktion ist und ich so das Maximumprinzip nicht anwenden kann :(

3) Ist die Aussage wahr oder falsch: Es gibt ein f fed-Code einblenden

Ich hätte jetzt gedacht, dass diese Aussage richtig ist nach dem Maximumprinzip, da das Maximum im inneren der Einheitskugel angenommen wird und so die Funktion konstant sein müsste. Also angenommen sie wäre konstant 1/2 dann wäre ja auch die zweite Bedingung erfüllt, oder?

Würde mich freuen, wenn mir jemand hefen könnte
Grüße
Sid


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1011
Aus:
Beitrag No.1, eingetragen 2019-08-19 10:14
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo Sid123,

1) Du hast Recht, es geht über den Identitätssatz. Als Häufungspunkt kannst du dir einen beliebigen Punkt auf der Einheitskreisscheibe wählen. Sie sind allesamt Häufungspunkte der Koinzidenzmenge (also der Einheitskreisscheibe).

2) Wenn beim Maximumprinzip die holomorphe Funktion $f$ betrachtet wird, dann soll $\vert f\vert$ ein Maximum annehmen, nicht $f$. Hier wäre also $f(z)=z$ und $\vert f(z)\vert=\vert z\vert$. So kannst du das Maximumprinzip anwenden.

3) Wenn $f(z)\equiv\frac{1}{2}$ wäre, dann wäre $f(0)=1$ nicht erfüllt.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)

Sid123
Junior
Dabei seit: 08.08.2019
Mitteilungen: 14
Aus:
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19 10:24

Danke für deine Antwort :)

Bei der letzten Frage habe ich mich wohl wirklich ein bisschen dumm angestellt. Also wäre die Aussage nur dann richtig wenn bei der zweiten Bedingung anstelle von < ein <= Zeichen stehen würde? Weil dann könnte ich ja einfach die konstante 1 Funktion nehmen, oder?

Grüße
Sid


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 1011
Aus:
Beitrag No.3, eingetragen 2019-08-19 10:28
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Genau. Da es da nicht steht, ist die Aussage aber nicht wahr. Denn die Funktion muss ja konstant den Wert 1 annehmen (vorgegeben durch $f(0)=1$), was aber $f(z)<1$ auf dem Rest der Scheibe widerspricht.
\(\endgroup\)

Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.4, eingetragen 2019-08-19 11:41

Maximumsprinzip ist schon etwas eine Kanone für den Spatzen der Aufgabe 2. Stetige Funktionen auf kompakten Mengen ... (bitte weiterführen)


Sid123
Junior
Dabei seit: 08.08.2019
Mitteilungen: 14
Aus:
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19 12:40

Stetige Funktionen nehmen auf Kompakten Mengen ihr Minimum bzw. Maximum an....?
Aber, dass sagt doch noch nichts darüber aus ob das Extremum tatsächlich auf dem Rand angenommen wird, oder?


Nuramon
Senior
Dabei seit: 23.01.2008
Mitteilungen: 2166
Aus:
Beitrag No.6, eingetragen 2019-08-19 13:19
\(\begingroup\)\(\newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo,

damit ist die Existenz eines Maximums nachgewiesen. Für die spezielle Funktion $\overline G \to \IR, z\mapsto |z|$ bleibt jetzt noch zu zeigen, dass ein Element aus dem Inneren von $G$ kein Maximum sein kann.
\(\endgroup\)

Sid123
Junior
Dabei seit: 08.08.2019
Mitteilungen: 14
Aus:
Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19 13:38

Aber dann ist es doch einfacher gleich mit dem Maximumprinzip zu argumentieren. Da
 f(z)=z ja nicht konstant ist weiß ich doch dass, das Maximum auf dem Rand angenommen wird....


Red_
Aktiv
Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 708
Aus: Erde
Beitrag No.8, eingetragen 2019-08-19 14:18

Hi,
in diesem Spezialfall f(z)=|z| ist es tatsächlich bloße Anschauung, dass das Maximum nicht im Inneren liegen kann, denn wenn doch, so... (nutze die Offenheit aus und dass f gerade der Abstand zum Nullpunkt ist).



Ex_Senior
Neu
Dabei seit: 00.00.0000
Mitteilungen: 0
Aus:
Beitrag No.9, eingetragen 2019-08-19 14:44

Ja, ist dann mit weniger Argumentation verbunden bei Verwendung des Maximumprinzips. Habe überlesen, dass das Maximum speziell auf dem Rand liegen soll.
In dem Fall ist die Kanone also gerechtfertigt.




Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=243193=402505
Druckdatum: 2020-07-07 07:03