Forum:  Eigenwerte
Thema: L-invariante UVR
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shirox
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Themenstart: 2019-09-08 11:57

Hallo :)

Der Endomorphismus L des endlich-dimensionalen K-Vektorraumes V sei diagonalisierbar, und U ≠{0} sei ein unter L invarianter Untervektorraum von V. Zeigen Sie:
(a) U enthält mindestens einen Eigenvektor von L.
(b) L|U besitzt eine Jordanbasis.
(c) L|U ist diagonalisierba
Ich gehe momentan zur Klausurvorbereitung Übungsaufgaben und bin mir bei obiger noch nicht ganz sicher

meine Überlegung, da es ja um Eigenvektoren und L-invariante UVR geht, was ja heißt, dass L(U)⊂V ist

Jetzt habe ich im Skript gesehen, dass die Haupträume und Hauptvektoren anschaue, also (L-λE)^m(v)=0  mit E'(λ)\{0}  als Hauptvektor und E(λ)⊂E'(λ) und E'(λ) als L-invarianten UVR, somit wäre das ja quasi schon gelöst aber bei U ist ja ein allgemeiner L-invarianter UVR geben ohne die Null jetzt müsste ich ja zeigen, dass alle L-invarianten UVR von V dieselben Eigenwerte haben wie der Hauptraum?



zippy
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-08 12:20

2019-09-08 11:57 - shirox im Themenstart schreibt:
meine Überlegung, da es ja um Eigenvektoren und L-invariante UVR geht, was ja heißt, dass L(U)⊂V ist

Für jeden Untervektorraum $U$ von $V$ gilt $L(U)\subseteq\color{red}V$.

Dass $U$ $L$-invariant ist, bedeutet $L(U)\subseteq\color{red}U$.

2019-09-08 11:57 - shirox im Themenstart schreibt:
Null jetzt müsste ich ja zeigen, dass alle L-invarianten UVR von V dieselben Eigenwerte haben wie der Hauptraum?

Was ist denn hier der Hauptraum? Und was soll es bedeuten, dass ein Untervektorraum Eigenwerte hat?

--zippy


shirox
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-08 13:10

Erstmal Vielen Dank, da habe ich die Definitionen falsch aufgeschrieben.

Also ein Hauptraum ist ja ein Untervektorraum ich hab da wohl ein wenig was durcheinander gebracht, ich dachte aus E(λ)⊂E'(λ) folgt auch eine Teilmengen  beziehung zwischen den Eigenwerten aber das sind ja die Eigenräume bzw die Eigenvektoren dann, die im UVR liegen
Aber dann bleibt ja trotzdem noch meine Frage, ob es einen Eigenvektor gibt der in allen UVR ist bzw ob jeder beliebige UVR mindestens einen Eigenvektor enthält für den Hauptraum weiß ich ja das der mindestens einen Eigenvektor enthält aber darauf folgt ja nicht dass es zwangsläufig für alle UVR gilt


shirox
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-08 13:23

zu a) habe ich jetzt folgendes im Skript gefunden was das denke ich löst

Es seien U =\{0} ein L-invarianter Untervektorraum von V und Ch bzw. Ch0 das charakteristische Polynom von L
bzw. L |U . Dann ist Ch0 ein Teiler von Ch. Zerfällt also Ch in Linearfaktoren, dann auch Ch0.

gäbe es noch eine Möglichkeit darauf zu kommen

folgt daraus auch direkt b)?

für c) müsste ich jetzt ja zeigen, dass für jeden Eigenwert geometrischer Vielfachheit der algebraischen entspricht


zippy
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Beitrag No.4, eingetragen 2019-09-08 13:57

2019-09-08 13:23 - shirox in Beitrag No. 3 schreibt:
Es seien U =\{0} ein L-invarianter Untervektorraum von V und Ch bzw. Ch0 das charakteristische Polynom von L
bzw. L |U . Dann ist Ch0 ein Teiler von Ch. Zerfällt also Ch in Linearfaktoren, dann auch Ch0.

Das hilft dir so noch nicht weiter, da für einen diagonalisierbaren Endomorphismus das charakteristische Polynom nicht notwendigerweise in verschiedene Linearfaktoren zerfällt.

Du bräuchtest einen entsprechenden Satz für das Minimalpolynom. (Wenn du den nicht kennst, kanst du ihn sehr leicht herleiten.)


shirox
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-08 14:28

Ich bin mir eigentlich ziemlich sicher, dass wenn die Matrix diagonalisierbar ist das charakteristische Polynom in linear Faktoren zerfällt und zusätzlich für jeden Eigenwert gilt das dessen algebraischer Vielfachheit der geometrischen entspricht oder hättest du ein Gegenbeispiel?

Das Minimalpolynom darf ich leider nicht benutzen, da wir es in der Vorlesung nicht hatten.


zippy
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Beitrag No.6, eingetragen 2019-09-08 14:34

2019-09-08 14:28 - shirox in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich bin mir eigentlich ziemlich sicher, dass wenn die Matrix diagonalisierbar ist das charakteristische Polynom in linear Faktoren zerfällt und zusätzlich für jeden Eigenwert gilt das dessen algebraischer Vielfachheit der geometrischen entspricht oder hättest du ein Gegenbeispiel?

Ich habe mich falsch ausgedrückt: An dem charakteristischen Polynom allein kann man nur ablesen, dass ein Endomorphismus diagonalisierbar ist, wenn es in lauter verschiedene Linearfaktoren zerfällt. Und diese Bedingung ist nur hinreichend, aber nicht notwendig.

2019-09-08 14:28 - shirox in Beitrag No. 5 schreibt:
Das Minimalpolynom darf ich leider nicht benutzen, da wir es in der Vorlesung nicht hatten.

Dann hilft dir dein Satz über das charakteristische Polynom erstmal bei (a) und (b). Für (c) kannst du dir dann überlegen, welcher Zusammenhang zwischen der JNF von $L|_U$ und $L$ besteht.


shirox
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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-12 10:53

Irgendwie sehe ich noch keinen richtigen Zusammenhang,dabei




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Druckdatum: 2019-11-22 23:52