Forum:  Moduln
Thema: Intuition: Struktursatz von Moduln über PIDs
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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
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Themenstart: 2019-09-18 15:23

Hi,

kennt jemand intuitive Argumente/Erklärungen für den Struktursatz von Moduln über Hauptidealringe (oder für endlich erzeugte Gruppen)?

Also irgendwelche "high level" Argumente, die Indizien dafür geben, dass diese Struktur gelten sollte.


Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-18 15:33

Schau einmal hier: mathoverflow.net/questions/12009/

Dort gibt es viele "knackige" Beweise für den Fall $\IZ$, und für beliebige PID kann man fast genauso vorgehen. Zu Emertons Beweis schreibt dort David Lehavi:

I read this proof as "we classify finitely generated sheaves over spec Z; we use the facts that Z is one dimensional to reduce the problem to line bundles classification, and the fact that the Picard group is trivial to classify locally"


Kezer
Aktiv
Dabei seit: 04.10.2013
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19 04:00

Vielen Dank, Triceratops!  smile


kurtg
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Dabei seit: 27.08.2008
Mitteilungen: 1194
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-19 05:54

Man kann dieses Argument auch geometrischer für Dedekindschemata formulieren.


Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19 20:48

Awesome.

Fast täglich sehe ich etwas, das mir zuflüstert, dass ich endlich algebraische Geometrie lernen sollte...

Vielen Dank für Deinen Kommentar, kurtg. Ich werde es mir auf jeden Fall überlegen, wenn ich mehr Kenntnisse habe.


Triceratops
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Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4020
Aus: Berlin
Beitrag No.5, eingetragen 2019-09-20 21:19

Hier noch eine Zusammenfassung des Struktursatzes über Dedekindringen:

en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_domain#Finitely_generated_modules_over_a_Dedekind_domain

Jeder endlich-erzeugte Modul über einem Dedekindring $R$ zerlegt sich als $T \oplus F$, wobei $T$ ein Torsionsmodul und $F$ ein torionsfreier Modul ist. Dabei zerlegt sich $T$ wiederum in eine direkte Summe von zyklischen Moduln der Form $R/\mathfrak{p}^i$ für Primideale $\mathfrak{p} \subseteq R$ und $i \geq 1$, und es ist $F \cong R^{n-1} \oplus I$ für eine (eindeutige) natürliche Zahl $n$ und einem invertierbaren $R$-Modul $I$. Der einzige Unterschied ist also i. W. dass invertierbare $R$-Moduln hier nicht $\cong R$ sein müssen.




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Druckdatum: 2019-11-12 20:31