Forum:  Kongruenzen
Thema: vollständiges Restsystem
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LisaB
Aktiv
Dabei seit: 11.01.2018
Mitteilungen: 43
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Themenstart: 2019-09-19 02:52

Hallo! Die Fragestellung lautet:

\( \text{Sei } x_1, ..., x_m \text{ ein vollständiges Restsystem mod } m. \text{ Beweise, dass } m \text{ ein Teiler von } (n - x_1) (n - x_2) ... (n - x_m)    \text{ für jede ganze Zahl } n \text{ ist. (Zeige dies zunächst für den Fall } x_i = i \text{ für jedes } j \text{).}  \)

\( \text{Für den Fall } x_i = i \text{ kann ich ein Theorem mit folgender Aussage verwenden:}  \)

\( \text{Sei } m \text{ eine positive ganze Zahl. Dann existiert genau eine Zahl von } m \text{ aufeinanderfolgenden ganzen}       \)
\( \text{Zahlen mit } \equiv a  \text{ (mod } m) \text{, wobei } a \in \mathbb{Z}.     \)

\( \text{Für den Fall } x_i = i \text{ existiert folglich genau ein } k \in \{ 1, ..., m \} \text{, sodass } k \equiv n \text{ (mod } m). \text{ Damit gilt } m | k - n, \text{ also auch } m | n - k \text{ und wir erhalten } m | (n-1)(n-2) ...(n-m).      \)

Ich frage mich nun wie man den allgemeinen Fall beweisen kann.

Vielen Dank!


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5999
Aus: Milchstraße
Beitrag No.1, eingetragen 2019-09-19 18:48

Hallo LisaB,

ist dies nicht fast trivial? Eines Umwegs über einfachere Aussagen braucht es dazu gar nicht. Was heißt es denn, ein vollständiges Restsystem zu sein?


LisaB
Aktiv
Dabei seit: 11.01.2018
Mitteilungen: 43
Aus:
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-19 20:03

\(   \text{Ein vollständiges Restsystem mod } m \text{ ist eine Menge ganzer Zahlen, sodass jede ganze Zahl}   \)
\( \text{zu genau einer dieser Zahlen der Menge kongruent mod } m \text{ ist. Das würde doch implizieren, dass } \)
\( \text{ein } \bar{k} \in \{ x_1, ..., x_m \} \text{ existiert mit } \)
\( n \equiv \bar{k} \text{ mod } m. \)
\(  \text{Damit würde ähnlich wie oben direkt folgen, dass } m | (n-x_1)...(n-x_m) \text{ gilt, richtig? }                      \)


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5999
Aus: Milchstraße
Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-19 20:32

Ja, mehr ist nicht zu tun.

Ich würde es vielleicht ohne den Umweg über k aufschreiben:

Es existiert ein i, sodass \(n\equiv x_i\mod m\). Also \(m|n-x_i\).




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Druckdatum: 2020-07-05 22:11