Forum:  Funktionalanalysis
Thema: Vollständigkeit
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Shaqrament
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Dabei seit: 19.06.2019
Mitteilungen: 53
Aus: Bayern
Themenstart: 2019-10-10 15:51

Hallo zusammen,
ich bin wieder über eine alte Aufgabe gestoßen, die ich leider bis heute nicht lösen konnte. Es geht darum, die Vollständigkeit des metrischen Raumes <math>(X,d)</math> zu zeigen, wobei
<math>X:=\lbrace f:[0,1]^2 \rightarrow \mathbb{R} : f\text{ hat Lipschitz-Konstante }1 \rbrace</math>
und <math>d: X \times X \rightarrow [0, \infty)</math>
<math>\displaystyle d(f,g):=\int^1_0 \int^1_0 \lvert f(x,y) - g(x,y) \rvert (x^2+y^2) \text{d}y \text{d} x</math>.
Vielleicht kann mir ja jemand von euch helfen. Vielen Dank im Voraus.

Viele Grüße


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2708
Aus: der Nähe von Schwerin
Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-10 17:36

Hallo,

beginne so wie immer:

Sei $(f_n)_{\mathbb{N}}\subset X$ eine Cauchyfolge. Weiter sei $x\in [0,1]^2$ beliebig. Zeige, dass $\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)$ existiert. Setze nun $f(x):=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)$ für jedes einzelne $x\in[0,1]^2$. Diese Funktion $f$ wird dein Kandidat fuer den Grenzwert der Folge $(f_n)_n$ sein. Zeige nun, dass $f$ in $X$ liegt. Anschließend zeige, dass $\lim_{n\to\infty}d(f_n,f)=0$.


Edit: Hier stand Quatsch.


Shaqrament
Aktiv
Dabei seit: 19.06.2019
Mitteilungen: 53
Aus: Bayern
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-10 21:59

Hallo ochen,
danke schon einmal. Tatsächlich scheitert es vor allem daran, dass ich es nicht schaffe, die Konvergenz von <math>(f_n(x))_{n\in \mathbb{N}} \subseteq \mathbb{R}</math> für <math>x\in [0,1]^2</math> zu zeigen. Mir ist klar, dass <math>f_n(x)</math> nur eine Cauchy-Folge sein muss. Natürlich würde ich am liebsten eine Abschätzung der Form
<math>\lvert f_n(x)-f_m(x) \rvert \leq Cd(f_n,f_m)</math>
für ein <math>C>0</math> finden, nur bekomme ich das in diesem Fall nicht hin. Wäre super, wenn jemand hier einen Vorschlag hat.

Viele Grüße,
Shaqrament


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4319
Aus: Berlin
Beitrag No.3, eingetragen 2019-10-23 08:15

Das dürfte auch schwierig sein, diesen Ansatz zum Ziel zu führen.

Eine Bemerkung vorab: die Metrik kommt von einer Norm her. Ich würde also direkt mit der Norm

$\displaystyle |f| := \int_{[0,1]^2} |f(x,y)| (x^2+y^2) \, dx \, dy$
 
arbeiten, die ja eine Abwandlung der $L^1$-Norm ist. Daher bietet es sich auch an, den Standard-Beweis der Vollständigkeit von $L^1$-Räumen anzusehen: Hier arbeitet man mit Reihen.
 
Also für eine Cauchyfolge $(f_k)$ können wir eine Teilfolge finden mit $|f_{n_{k+1}} - f_{n_k}| \leq 2^{-k}$ und dann betrachten wir die Reihe $\sum_k (f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$.

Reicht das erst einmal als Tipp?


Shaqrament
Aktiv
Dabei seit: 19.06.2019
Mitteilungen: 53
Aus: Bayern
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-07 18:36

Hallo Triceratops,
diesen Thread habe ich völlig vergessen. Ja der Tipp ist sehr gut, herzlichen Dank. Ich denke, dass ich das hinbekommen werde.

Beste Grüße


qzwru
Senior
Dabei seit: 24.09.2013
Mitteilungen: 334
Aus:
Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-07 19:55

Hallo Shaqrament,

je nach Vorwissen brauchst du nicht viel zu rechnen:

Sei $\mu$ das Maß auf $([0,1]^2, \mathcal B( [0,1]^2))$ mit Dichte $(x,y) \mapsto x^2 + y^2$ bzgl. des Lebesguemaßes. Aus der Integrationstheorie sollte bekannt sein, dass $L^1(\mu)$ ein Banachraum ist. Da $d(f,g) = \|f-g\|_{L^1(\mu)}$ für alle $f,g \in X$ reicht es also die Abgeschlossenheit von $X$ in $L^1(\mu)$ zu zeigen.

Überlege dir, dass eine Menge $M \subset X$ beschränkt ist bzgl. $d$ genau, dann wenn sie beschränkt bzgl. der Supremumsnorm ist. Überlege dir, dass $X$ abgeschlossen bzgl. punktweiser Grenzwerte ist.

Dann folgt die Aussage aus Arzela-Ascoli.


Shaqrament
Aktiv
Dabei seit: 19.06.2019
Mitteilungen: 53
Aus: Bayern
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-07 22:41

Hallo qzwru,
das wäre ein sehr eleganter Weg. Tatsächlich war diese Aufgabe in einer alten Analysis II-Klausur (vor Maßtheorie), weshalb ich das damals noch nicht wusste. Aber ja, mit Maßtheorie ist das Problem tatsächlich vermutlich nicht mehr so kompliziert. Aus Interesse: Funktioniert das mit den punktweisen Grenzwerten so?: (<math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq X \rightarrow f</math> punktweise und <math>x,y \in [0,1]^2</math>)
<math>\lvert f(x) - f(y) \rvert \leq \lvert f_n(x) -f(x) \rvert + \lvert f(x) - f(y) \rvert + \lvert f_n(y) - f(y) \rvert \leq \lvert f_n(x) -f(x) \rvert + \lvert x - y\rvert + \lvert f_n(y) -f(y) \rvert</math>.
Dann müsste die Lipschitz-Stetigkeit mit <math>n \rightarrow \infty</math> bereits folgen, oder täusche ich mich da?
Und bezüglich Arzela-Ascoli: Mir ist nur bekannt, dass der Satz Aussagen über Kompaktheit macht und kompakt ist <math>X</math> sicherlich nicht. Wozu genau benutzt man den Satz dann also?

Grüße,
Shaqrament


Shaqrament
Aktiv
Dabei seit: 19.06.2019
Mitteilungen: 53
Aus: Bayern
Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-07 22:42

Und noch einmal an Triceratops: Den Beweis habe ich tatsächlich in einem alten Skript gefunden. Danke noch einmal für den Hinweis!


qzwru
Senior
Dabei seit: 24.09.2013
Mitteilungen: 334
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Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-07 23:40

2019-11-07 22:41 - Shaqrament in Beitrag No. 6 schreibt:
Aus Interesse: Funktioniert das mit den punktweisen Grenzwerten so?: (<math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq X \rightarrow f</math> punktweise und <math>x,y \in [0,1]^2</math>)
<math>\lvert f(x) - f(y) \rvert \leq \lvert f_n(x) -f(x) \rvert + \lvert f(x) - f(y) \rvert + \lvert f_n(y) - f(y) \rvert \leq \lvert f_n(x) -f(x) \rvert + \lvert x - y\rvert + \lvert f_n(y) -f(y) \rvert</math>.
Dann müsste die Lipschitz-Stetigkeit mit <math>n \rightarrow \infty</math> bereits folgen, oder täusche ich mich da?

Das macht so keinen Sinn, du willst ja zeigen, dass $|f(x) - f(x)|\leq |x-y|$. Da $|f_n(x) - f_n(y)| \leq |x-y|$ für alle $n\in \mathbb N$ und $|\cdot|$ stetig ist, ist auch $|f(x) - f(y)| = \lim_{n\to \infty}|f_n(x) - f_n(y)| \leq |x-y|$.


Und bezüglich Arzela-Ascoli: Mir ist nur bekannt, dass der Satz Aussagen über Kompaktheit macht und kompakt ist <math>X</math> sicherlich nicht. Wozu genau benutzt man den Satz dann also?

Eigentlich braucht man gar kein Vorwissen aus der Maßtheorie: Sei $(f_n)_{n\in \mathbb N} \subset X$ eine Cauchyfolge bzgl. $d$. Dann ist $(f_n)_{n\in \mathbb N}$ insbesondere beschränkt bzgl. $d$. Überlege dir das daraus dann auch folgt, dass $(f_n)_{n\in \mathbb N}$ beschränkt bzgl. der Supremumsnorm ist. Da $(f_n)_{n\in \mathbb N}$ zusätzlich gleichgradig stetig ist, hat $(f_n)_{n\in \mathbb N}$ nach dem Satz von Arzela-Ascoli eine Teilfolge $(f_{n_k})_{k\in \mathbb N}$ die gleichmäßig gegen ein $f \in C([0,1]^2)$ konvergiert. Wir haben uns oben bereits überlegt, dass $f\in X$. Man sieht leicht, dass $(f_{n_k})_{k\in \mathbb N}$ auch bzgl. $d$ gegen $f$ konvergiert. Da eine $(f_n)_{n\in \mathbb N}$ eine Cauchyfolge ist, folgt aus der Konvergenz einer Teilfolge gegen $f$ bzgl. $d$ bereits die Konvergenz der gesamten Folge $(f_n)_{n\in \mathbb N}$ gegen $f$ bzgl. $d$.


Shaqrament
Aktiv
Dabei seit: 19.06.2019
Mitteilungen: 53
Aus: Bayern
Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-08 00:04

Klingt logisch. Danke dir. Ich glaube, es verstanden zu haben!

Beste Grüße




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Druckdatum: 2020-04-09 22:44