Forum:  Konvergenz
Thema: Approximation durch Polynome
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Kingtom2
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Themenstart: 2019-10-20 17:11

Ich habe mal wieder den Banachraum C[-1,1] versehen mit der Maximumsnorm.
Der Teilraum M= {q:[-1,1]-> R | q gerades polynom} sowie die Funktion f(x) = exp(x^2)

Ich soll nun zeigen dass der Approximationsgrad = inf {||f-v|| : v aus M} = 0 gilt.
Wie mache ich das?

Ich hab mir das mal aufgezeichnet und zu dem Schluss gekommen:
- die geraden polynome sind Parabeln, daher sollte der maximale Abstand zu f an den Randstellen des Intervalls liegen
- exp(x^2) bildet nur auf [0,1] ab
- ich denke mal ich muss den Ausdruck ||f-v|| irgendwie abschätzen sodass ich am Ende auf >0 komme ich weiß aber nicht wie:/


ochen
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-10-20 17:17

Hallo,

berechne mal das Taylorpolynom von $f$ im Punkt $0$. Schätze den Fehler mit dem Lagrangeschen Restglied ab.


Wally
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Beitrag No.2, eingetragen 2019-10-20 17:30
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
2019-10-20 17:11 - Kingtom2 im Themenstart schreibt:


Ich hab mir das mal aufgezeichnet und zu dem Schluss gekommen:
- die geraden polynome sind Parabeln, daher sollte der maximale Abstand zu f an den Randstellen des Intervalls liegen

Hallo Kingtom2,

das probiere doch mal mit \(f(x)=x^4-x^2\) aus :)

Du kannst alternativ zu ochens Vorschlag benutzen, dass die Potenzreihe zu \(e^{x^2}\) auf kompakten Mengen glm. konvergiert.

Wally
\(\endgroup\)

Kingtom2
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20 17:52

Danke für die Antworten.

Zu ochen:
ich verstehe nicht ganz wie du das meinst mit dem Restglied. Wie hilft mir das weiter?
Das klingt in dem Zusammenhang ganz neu für mich.

Zu wally:
Wieso brauche ich da Kompaktheit?

Jetzt bin ich tatsächlich mehr verwirrt als zuvor.


Wally
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Beitrag No.4, eingetragen 2019-10-20 17:57

Weil Potenzreihen i.a. nur auf Teilmengen von kompakten Mengen innerhalb des Konvergenzradius glm. konvergieren.

Wally


Kingtom2
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20 18:13

Okay und damit soll ich dann in der Norm abschätzen?
Das hilft mir nicht weiter


Kingtom2
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20 18:18

Ah Moment
Die Potenzreihe hat die Form 1/k! * x^(2k) was ja gerade polynome sind, oder?
Bin ich auf dem richtigen Weg?


ochen
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Beitrag No.7, eingetragen 2019-10-20 19:33

2019-10-20 18:18 - Kingtom2 in Beitrag No. 6 schreibt:
Ah Moment
Die Potenzreihe hat die Form 1/k! * x^(2k) was ja gerade polynome sind, oder?
Bin ich auf dem richtigen Weg?

Naja, die Potenzreihe hat nicht die Form 1/k! * x^(2k).

Sie hat die Form
\[P(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^{k}.\] Wenn du zeigen kannst, dass $a_{2k+1}=0$ für alle $k\in \mathbb{N}$ gilt, bist du fast fertig.


Kingtom2
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20 20:31

Achso dann hab ich das mit der exponentialreihe verwechselt.
Das heißt ich habe dann nur gerade Potenzen in der Reihe und deshalb ist das infimum null?


ochen
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Beitrag No.9, eingetragen 2019-10-20 20:43

Schreib doch mal bitte für uns das Taylorpolynom $n$-ten Grades von $f(x)=e^{x^2}$ um den Entwicklungspunkt $x_0=0$ hin. Alternativ schreibe mal die Potenzreihe hin. Wieso entfallen alle ungeraden Potenzen bei der Taylor- oder Potenzreihe?


Kingtom2
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Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-10-20 20:58

Naja die Ableitungen sind:
2x*e^x^2
(8x^3+12x)*e^x^2
(16x^4+48*x^2+12)*e^x^2
...
Man sieht schon dass in jeder zweiten ableiten noch eine Konstante in dem vorfaktor steht sodass die Ableitung im entwicklungspunkt x=0 ungleich null ist
Die komplette Reihe hab ich jetzt mal nicht hingeschrieben
Auf jeden Fall bleiben dann am Ende 1, x^2, x^4 ....


ochen
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Beitrag No.11, eingetragen 2019-10-21 11:19

Hallo,

eine Lösung mit Hilfe des Lagrangeschen Restglieds beginnt so:

Wir definieren für jedes $n\in \mathbb{N}$ \[ f\colon [0,1]\to\mathbb{R},\,x\mapsto \exp(x).\] und \[ T_n\colon [0,1]\to\mathbb{R},\,x\mapsto \sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}.\]
So gibt es für jedes $y\in [0,1]$ ein $\xi\in [0,1]$ mit \[|R(y)|=|f(y)-T_n(y)|=\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi y)}{(n+1)!}y\right|\leq \frac{e}{(n+1)!}\]
Erkläre hier, warum die letzte Abschätzung gilt.

Sei nun $x\in [-1,1]$ beliebig, so gilt für jedes $n\in \mathbb{N}$ \[|f(x^2)-T_n(x^2)|\leq \frac{e}{(n+1)!}.\]
Welchen Grad hat $p(x):=T_n(x^2)$? Ist $p\in M$?


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Druckdatum: 2020-07-14 12:00