Forum:  Numerik & Optimierung
Thema: Streng monoton fallend Optimierungsproblem Beweis
Themen-Übersicht
Shakei
Aktiv
Dabei seit: 25.05.2019
Mitteilungen: 53
Aus:
Themenstart: 2019-11-10 12:15

Guten Tag,

habe eine Aufgabe bekommen und stehe total auf dem Schlauch.

Ich muss dies beweisen:

Funktion f ist eine beliebige Funktion.
Funktion g ist eine streng monoton fallende Funktion.

P: min f(x) s.t. fed-Code einblenden


besitzt dieselben Optimierungspunkte wie

Z: max g(f(x)) s.t. fed-Code einblenden

Meine Vorgehensweise bisher:

Z in Epi umformulieren.

fed-Code einblenden

Ist mein Ansatz hier richtig? Oder gibt es einen Besseren Ansatz?
Wäre für jede Hilfe wirklich Dankbar.

Grüße
Shakei




Goswin
Senior
Dabei seit: 18.09.2008
Mitteilungen: 1502
Aus: Chile, Ulm
Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-11 22:25

2019-11-10 12:15 - Shakei im Themenstart schreibt:
Funktion f ist eine beliebige Funktion.
Funktion g ist eine streng monoton fallende Funktion.

\(\min\{f(x) : x\in M\}~~\) besitzt dieselben Optimierungspunkte wie \(~~\max\{g(f(x)) : x\in M\}\)

Der Beweis ist trivial und gerade einmal drei Zeilen lang. Setze einfach die Definition von "Optimierungspunkt" ein!   😛


Shakei
Aktiv
Dabei seit: 25.05.2019
Mitteilungen: 53
Aus:
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-13 15:45

2019-11-11 22:25 - Goswin in Beitrag No. 1 schreibt:
2019-11-10 12:15 - Shakei im Themenstart schreibt:
Funktion f ist eine beliebige Funktion.
Funktion g ist eine streng monoton fallende Funktion.

\(\min\{f(x) : x\in M\}~~\) besitzt dieselben Optimierungspunkte wie \(~~\max\{g(f(x)) : x\in M\}\)

Der Beweis ist trivial und gerade einmal drei Zeilen lang. Setze einfach die Definition von "Optimierungspunkt" ein!   :-P


fed-Code einblenden

So richtig?


Goswin
Senior
Dabei seit: 18.09.2008
Mitteilungen: 1502
Aus: Chile, Ulm
Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-14 18:34

2019-11-13 15:45 - Shakei in Beitrag No. 2 schreibt:
fed-Code einblenden

So richtig?

Ob das so "richtig" ist, hängt größtenteils davon ab, ob du es selber verstehst und davon überzeugt bist. Da du aber fragst, bist du vermutlich nicht davon überzeugt, und es wäre dann auch nicht "richtig".

Ob es so "gut" ist, das ist eine andere Frage, und hängt davon ab, ob du auf diese Weise deine Mitstudenten davon überzeugen kannst, am besten deine weniger begabten Mitstudenten. Wenn ich es zu benoten hätte, würdest du für das obige nur 50% der Punkte erhalten.

Ein Beweis besteht aus grammatisch zusammenhängenden Sätzen, wie sie ein Deutschlehrer erwartet. "\(\bar x\) = Optimierungspunkt" ist kein deutscher Satz. Trenne säuberlich mathematische Formeln von verbalen Aussagen! Und vergesse die Quantoren nicht!

Zum Beispiel:
"\(\bar x\in M\) ist ein Minimierungspunkt von \(f(x)\), wenn für alle \(x\in M\) die Ungleichung \(f(x)\ge f(\bar x)\) gilt"
oder etwas knapper:
"\(\bar x\in M\) ist ein Minimierungspunkt von \(f(x)\), wenn die Beziehung  \(\forall x\in M~ ~ f(x)\ge f(\bar x)\) gilt"

So etwas lernt man, also nicht entmutigen lassen! 😄


Shakei
Aktiv
Dabei seit: 25.05.2019
Mitteilungen: 53
Aus:
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-14 20:00

2019-11-14 18:34 - Goswin in Beitrag No. 3 schreibt:
2019-11-13 15:45 - Shakei in Beitrag No. 2 schreibt:
fed-Code einblenden

So richtig?

Ob das so "richtig" ist, hängt größtenteils davon ab, ob du es selber verstehst und davon überzeugt bist. Da du aber fragst, bist du vermutlich nicht davon überzeugt, und es wäre dann auch nicht "richtig".

Ob es so "gut" ist, das ist eine andere Frage, und hängt davon ab, ob du auf diese Weise deine Mitstudenten davon überzeugen kannst, am besten deine weniger begabten Mitstudenten. Wenn ich es zu benoten hätte, würdest du für das obige nur 50% der Punkte erhalten.

Ein Beweis besteht aus grammatisch zusammenhängenden Sätzen, wie sie ein Deutschlehrer erwartet. "\(\bar x\) = Optimierungspunkt" ist kein deutscher Satz. Trenne säuberlich mathematische Formeln von verbalen Aussagen! Und vergesse die Quantoren nicht!

Zum Beispiel:
"\(\bar x\in M\) ist ein Minimierungspunkt von \(f(x)\), wenn für alle \(x\in M\) die Ungleichung \(f(x)\ge f(\bar x)\) gilt"
oder etwas knapper:
"\(\bar x\in M\) ist ein Minimierungspunkt von \(f(x)\), wenn die Beziehung  \(\forall x\in M~ ~ f(x)\ge f(\bar x)\) gilt"

So etwas lernt man, also nicht entmutigen lassen! :-)

Ich Verstehe. Ich mache das zum ersten mal daher fällt es mir ein wenig schwer aber ich versuche es mal:

fed-Code einblenden


Goswin
Senior
Dabei seit: 18.09.2008
Mitteilungen: 1502
Aus: Chile, Ulm
Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-14 22:40

Hallo Shakei,

deine zweite Version ist entschieden klarer formuliert, wodurch freilich auch  einige inhaltliche Fehler klarer zu erkennen sind: es müsste zum Beispiel \(\min\{f(x)\}=-\max\{-f(x)\}\) heißen. Aber du brauchst diese Beziehung doch gar nicht! Ich würde den Beweis wie folgt formulieren, wobei ich freimütig zugebe, dass meine behaupteten "drei Zeilen" ziemlich lange Zeilen geworden sind:


"\(\bar x\) ist genau dann ein Minimalpunkt von \(f(x)\), wenn für alle \(x\in M\) die Ungleichung \(f(x)\ge f(\bar x)\) gilt.

Wenn \(g(y)\) nun streng monoton fallend ist, dann gilt für jedes \(y_2>y_1\) die Ungleichung \(g(y_2)<g(y_1)\); und insbesondere bei \(f(x)> f(\bar x)\) auch \(g(f(x))<g(f(\bar x))\).   Da bei \(f(x)=f(\bar x)\) natürlich \(g(f(x))=g(f(\bar x))\) gilt, muss zusammengefasst \(g(f(x))\le g(f(\bar x))\) für alle  \(x\in M\) wahr sein.

Dann ist laut Definition \(\bar x\) ein Maximalpunkt von \(g(f(x))\), was in der einen Richtung zu beweisen war. Auf dieselbe Art beweist man umgekehrt, dass jeder Maximalpunkt von \(g(f(x))\) ein Minimalpunkt von \(f(x)\) ist"


Shakei
Aktiv
Dabei seit: 25.05.2019
Mitteilungen: 53
Aus:
Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 15:56

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Hat mir sehr weiter geholfen!




Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=244298=110
Druckdatum: 2020-09-18 18:10