Forum:  Folgen und Reihen
Thema: Wachstum einer Folge bestimmen
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Dreadwar
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Dabei seit: 19.04.2019
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Themenstart: 2019-11-11 12:43

Hallo Leute,

ich soll entscheiden, ob die folgenden Folgen exponentiell oder polynomial wachsen bzw.fallen:


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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-11 16:16

Hallo,

was darfst du verwenden? Wir beginnen mal mit der b).
Es gilt einerseits
\[\sum_{k=1}^n\frac 1k=\int_{1}^{n+1}\frac{1}{[x]}\,\mathrm dx\geq \int_{1}^{n+1}\frac{1}{x}\,\mathrm dx = \ln(n+1)\] und andererseits
\[\sum_{k=1}^n\frac 1k=1+\int_{1}^{n}\frac{1}{1+[x]}\,\mathrm dx\leq 1+\int_{1}^{n}\frac{1}{x}\,\mathrm dx = 1 + \ln(n).\] Was bedeutet das jetzt?


Für die d) verwende die dritte binomische Formel.


Dreadwar
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Dabei seit: 19.04.2019
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-11 16:31

Hallo Ochen, danke für die Antwort!

Ich darf leider keine Differential- und Integralrechnung verwenden, den ln "kennen wir noch nicht". Aber trotzdem danke für die Hilfe!


Liebe Grüße


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-11 16:40

Hm, ok, habt ihr denn den Logarithmus definiert?

Wenn es nur um Polynome geht, so gilt ganz offenbar $b_n\leq n$ für alle natürlichen Zahlen $n$.


Dreadwar
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-11 16:50

Den Logarithmus haben wir noch nicht definiert, ich soll das irgendwie mit dieser Landau-Notation zeigen, sehe aber den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.


Liebe Grüße


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
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Aus: der Nähe von Schwerin
Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-11 16:59

Ja, was sollst du denn zeigen? Die Landau-Notation ist nur eine Kurzschreibweise :)
Sollst du $b_n\in O(n)$ beweisen? Das ist ganz einfach, denn dann genügt es $b_n\leq n$ zu zeigen. Auch $b_n\in o(n)$ kannst du nachrechnen :)

Kannst du bitte mal den Originalwortlaut der Aufgabenstellung posten? Und vielleicht auch wie ihr polynomielles und exponentielles Wachstum definiert habt?


Dreadwar
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-11 19:00

Hallo Ochen,

die Aufgabenstellung lautet:

Untersuchen Sie für jede der angegebenen Folgen, ob sie polynomial oder exponentiell wächst bzw. fällt.

Wir haben im Zuge der Landau-Notation definiert:

Referenzfolgen:

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Liebe Grüße




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Druckdatum: 2020-10-24 03:17