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Thema: Von Metriken induzierte Mengen?
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niklasm
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Themenstart: 2019-11-17 00:04

Hallo!

(originaler Thread auf Empfehlung hin in verschiedene aufgeteilt)

Was sind von Abbildungen (konkreter: von Metriken) induzierte Mengen? Ich soll in einer Aufgabe alle von einer Metrik induzierten offenen und abgeschlossenen Mengen bestimmen.

Der Begriff fiel bisher in keinem Fach/keiner Vorlesung. Ich habe nur mal eine Umformulierung des Hauptsatzes der Äquivalenzrelation gehört, nämlich dass Äq.rel. (was aber ja Mengen, nicht Abbildungen sind) disjunkte Partitionen induzieren und andersherum. Auch Google bringt eine Reihe verschiedener Kontexte für den Begriff, aber ich finde keine allgemeine Definition, und vor allem keine Anwendung des Begriffs wie in der Aufgabe.



Creasy
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Dabei seit: 22.02.2019
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-17 09:16

Hi niklasm,

der Abschnitt hier über offene Kugeln und die Beispiele dazu könnte dir weiterhelfen.
Wenn du dazu Fragen hast, melde dich gerne.

Beste Grüße
Creasy


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
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Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-17 14:41

2019-11-17 00:04 - niklasm im Themenstart schreibt:
Was sind von Abbildungen (konkreter: von Metriken) induzierte Mengen? Ich soll in einer Aufgabe alle von einer Metrik induzierten offenen und abgeschlossenen Mengen bestimmen.

Der Begriff fiel bisher in keinem Fach/keiner Vorlesung.

Hallo niklasm,

lass dich durch den Begriff "induzieren" nicht zu sehr verwirren. "Von einer Abbildung induzierte Mengen" ergibt tatsächlich erst einmal nicht so viel Sinn. Wie sieht es aber bei einer auf einem Raum definierten Metrik aus? Wenn eine Metrik d auf einem Raum X gegeben ist, ist man nämlich in der Lage zu definieren, was eine offene Menge in X sein soll. Und genau diese offenen Mengen sind dann die durch d induzierten offenen Mengen.


niklasm
Aktiv
Dabei seit: 06.02.2017
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-17 17:33

Okay, wenn ich deine Ausführungen richtig verstanden habe, heißt das also nichts weiter als "die Teilmengen vom Raum X, die wenn man in die Definition offener Mengen genau diese Metrik einsetzt, offen sind". Sprich, sie sind offene Mengen unter Betrachtung dieser konkreten Metrik?
Finde ich etwas kryptisch, hätte man zumindest einen Satz Erläuterung zu liefern können, denn bis jetzt reden wir nur von metrischen Räumen als Paare (X,d), haben Offenheit, Abgeschlossenheit, innere Punktmenge, Rand, Abschluss, ... auch alles definiert aber nie vom Induzieren gesprochen.

Wenn meine obige Interpretation jetzt also stimmt - vielen Dank!


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5390
Aus: Milchstraße
Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-17 17:47

2019-11-17 17:33 - niklasm in Beitrag No. 3 schreibt:
Wenn meine obige Interpretation jetzt also stimmt

Ja, stimmt smile




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Druckdatum: 2020-01-18 00:50