Forum:  Thermodynamik & Statistische Physik
Thema: Mikrokanonische Verteilungsfunktion
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Skalhoef
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Themenstart: 2019-11-19 00:47

Hallo,

ich versuche gerade das Konzept der Verteilungsfunktion im mikrokanonischen Ensemble nachzuvollziehen und komme bei einer Sache nicht weiter.

Man betrachtet ein klassisches, "isoliertes System" mit Hamiltonfunktion $H(q,p)$, Teilchenzahl $N$, Volumen $V$ und Gesamtenergie im Intervall $[E, E + \Delta]$ wobei $\frac{\Delta}{E}$ in einem gewissen Sinne klein ist.

In Schwabl, Kapitel 2.2 wird motiviert weshalb jeder Zustand innerhalb der Energieschale $\{ (q,p) \, | \, E \leq H(q,p) \leq E + \Delta \, \}$ gleich wahrscheinlich ist.

Die zugehörige mikrokanonische Verteilungsfunktion $\rho_{\text{MK}}$ wird deshalb als

$$      \rho_{\text{MK}}\equiv \rho_{\text{MK}}(q,p) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\Omega(E) \cdot \Delta}, & E \leq H(q,p) \leq E + \Delta \\
         0, & \text{sonst }\end{array}\right. \quad (1).
$$
postuliert, wobei $\Omega(E) \cdot \Delta$ das "Volumen der Energieschale" bezeichnet und $\Omega(E)$ später definiert wird. Diese Verteilungsfunktion geht für $\Delta \rightarrow 0$ über in

$$ \displaystyle \rho_{\text{MK}} = \frac{1}{\Omega(E)} \delta(E - H(q,p)) \qquad (\star) \text{,}
$$
und die Normierung der Wahrscheinlichkeitsdichte legt $\Omega(E)$ fest:

$$ \int \frac{\mathrm{d}q \mathrm{d}p}{h^{3N} N!} \rho_{\text{MK}} = 1 \qquad (\star \star) \text{.}
$$
Durch Einsetzen von $(\star)$ in $(\star \star)$ und Umstellen sieht man also, dass $\Omega(E)$ eine Zahl ist.

So!

Was mich daran jetzt ein bisschen stört ist der Limes $\Delta \rightarrow 0$: Was wäre denn wenn ich diesen Limes nicht betrachte? Dann sollte Gleichung $(\star \star)$ doch auch (wenigstens näherungsweise) erfüllt sein oder?

Nur mal angenommen $N = 1$ und die Menge $\{ (q,p) \, | \, E \leq H(q,p) \leq E + \Delta \}$ besitzt ein Phasenraumvolumen von $X$. (Dieses Volumen besitzt also die Einheit $\text{Energie} \times \text{Zeit}$.) Dann ergibt Gleichung $(\star\star)$ aber

$$
1 = \frac{X}{h \cdot \Omega(E) \cdot \Delta }

$$
was Einheiten-technisch nicht sein kann. Wo liegt der Denkfehler?


Grüße
Skalhoef


Spock
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-10 18:02

Hallo Skalhoef,

ich habe mir besagten Kapitelabschnitt in Schwabls Buch "Statistische Mechanik" mal angeschaut. Dort ist alles soweit konsistent, auch was Einheiten angeht.

Du hast bedacht, daß auch die Delta-Funktion in (*) einheitenbehaftet ist?

Gruß
Juergen


Skalhoef
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-14 10:36

Hallo Juergen,

vielen Dank für die Antwort. :)

2019-12-10 18:02 - Spock in Beitrag No. 1 schreibt:
(...) Du hast bedacht, daß auch die Delta-Funktion in (*) einheitenbehaftet ist? (...)

Das habe ich nicht bedacht! Dann ist das hier ...

2019-11-19 00:47 - Skalhoef im Themenstart schreibt:
Durch Einsetzen von $(\star)$ in $(\star \star)$ und Umstellen sieht man also, dass $\Omega(E)$ eine Zahl ist.

... nicht korrekt, sondern die Zustandssumme hat die Einheit $\text{Energie}^{-1}$. Dass die Zustandssumme diese Einheit hat wird auch durch Gleichung (2.2.9b) im Buch gestützt, der quantenmechanischen Definition der Zustandssumme die sehr offensichtlich diese Einheit hat.

Ich muss zwar immer noch ein bisschen mit den Zähnen knirschen wenn ich sehe, dass die Zustandssumme in der Wikipedia im diskreten Fall offensichtlich einheitenlos ist (man summiert bzw. subtrahiert ja nur über Zahlen), aber möglicherweise hat man sich da einfach noch nicht auf eine einheitliche Definition geeinigt?

Falls du zu letzterer Unklarheit noch etwas anmerken kannst, dann schreib es gerne dazu. Ansonsten würde ich, falls hier nichts Falsches mehr steht, einen Haken ans Thema machen.


Vielen Dank und viele Grüße
Sebastian


Spock
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-15 03:56

Hallo Sebastian!

2019-12-14 10:36 - Skalhoef in Beitrag No. 2 schreibt:

...
sondern die Zustandssumme hat die Einheit $\text{Energie}^{-1}$. Dass die Zustandssumme diese Einheit hat wird auch durch Gleichung (2.2.9b) im Buch gestützt, der quantenmechanischen Definition der Zustandssumme die sehr offensichtlich diese Einheit hat
...

Das siehst Du jetzt richtig.

2019-12-14 10:36 - Skalhoef in Beitrag No. 2 schreibt:
...
Ich muss zwar immer noch ein bisschen mit den Zähnen knirschen wenn ich sehe, dass die Zustandssumme in der Wikipedia im diskreten Fall offensichtlich einheitenlos ist (man summiert bzw. subtrahiert ja nur über Zahlen), aber möglicherweise hat man sich da einfach noch nicht auf eine einheitliche Definition geeinigt?
...

Ich gebe grundsätzlich nichts auf das, was bei Wiki steht und lese dort eigentlich nur, wenn ich dazu gezwungen werde, :-)

Mit dem Buch von Schwabl bist Du mit Sicherheit auf der besseren Seite, und wenn Du dort weiterliest findest Du bei ihm auch eine dimensionslose Größe, die er mit
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Grüße
Juergen




Skalhoef
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-15 12:01

Hallo Spock,

2019-12-15 03:56 - Spock in Beitrag No. 3 schreibt:
(...)
2019-12-14 10:36 - Skalhoef in Beitrag No. 2 schreibt:

...
sondern die Zustandssumme hat die Einheit $\text{Energie}^{-1}$. Dass die Zustandssumme diese Einheit hat wird auch durch Gleichung (2.2.9b) im Buch gestützt, der quantenmechanischen Definition der Zustandssumme die sehr offensichtlich diese Einheit hat
...

Das siehst Du jetzt richtig.

Kann es dann sein, dass im weiteren Verlauf des Buchs an gewissen Stellen Einheiten oder Vorfaktoren verloren gegangen sind?
In Abschnitt 2.2.3.1 und 2.2.3.2 (quantenmechanische harmonische Oszillatoren und "Spin 1/2 Paramagnet") besitzen die Zustandssummen $\Omega(E)$ am Ende der Rechnungen die Gestalten

$$ \Omega(E) = \exp \left( \ldots \right) \text{,}
$$
was ja offensichtlich (???) wieder einheitenlos ist. (Das ist mir leider erst nach meinem letzten Beitrag aufgefallen.)


Was mich jetzt auch noch stört ist die folgende Inkonsistenz: Abschnitt 2.2.3.2 wird mit abgeschlossen mit den Worten:

"Wir haben somit in drei Beispielen die Zahl der Zustände $\Omega(E)$ berechnet. (...)"

Jetzt schreibst du aber (und das kaufe ich dann doch eher):

2019-12-15 03:56 - Spock in Beitrag No. 3 schreibt:
wenn Du dort weiterliest findest Du bei ihm auch eine dimensionslose Größe, die er mit
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Man darf also eigentlich, obwohl der Name "Zustandssumme" das suggeriert, $\Omega(E)$ nicht die *Zahl* der Zustände nennen oder? Es ist eine einheitenbehaftete Größe!


Grüße
Sebastian


Spock
Senior
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Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-15 18:20

Hallo Sebastian,
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Grüße
Juergen


Skalhoef
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-05 01:10

Hallo Jürgen,

ich danke dir für die Antwort.

2019-12-15 18:20 - Spock in Beitrag No. 5 schreibt:
(...) ich vermute, er hat einfach den Querbalken vergessen, oder er unterdrückt die Breite \D der Energieschale.

Ok. Ja ich tendiere zu letzterem. Ich glaube man muss, wenn man die Integraldarstellung der Delta-Funktion benutzt, eigentlich noch so eine Einheit $\text{Energie}^{-1}$ "mitschleppen"... Ziemlich sicher! :-)

Ich muss zwar immer noch ein bisschen mit den Zähnen knirschen wenn es um die Berechnung der dabei entstehenden Integrale geht (siehe auch hier und hier) aber vielleicht klärt sich das im Laufe der Zeit ja noch.

Die Frage von diesem Forenbeitrag wurde beantwortet. Ich mache einen Haken an das Thema. :-)


Danke für die Hilfe und viele Grüße
Sebastian




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Druckdatum: 2020-02-28 18:16