Forum:  Vektorräume
Thema: Dimension und komplementärer Untervektorraum
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maiena
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Themenstart: 2019-11-19 12:49

Sei I eine endliche Indexmenge und J ⊂ I. Geben Sie einen zum Unterraum U_J ≤ K^I der K-wertigen Funktionen mit Nullstellenmenge J,
U_J :={f ∈K^I |f|J =0}≤K^I, komplement ̈aren Unterraum U′ an und bestimmen Sie dessen Dimension.

Kann mir bitte wer helfen das Beispiel zu lösen.
Danke im Voraus


ligning
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-19 13:22

Hallo,

was hast du dir denn dazu schon überlegt? Kennst du die Definitionen von allen vorkommenden Begriffen? Was genau verstehst du nicht?


maiena
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 16:40

Ja ich kenne die Definitionen. Mein größtes Problem ist glaube ich, wie ich mir die Menge der Untervektorraums U_J vorstellen kann.
 


Wally
Senior
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-19 16:45
\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,

dann probier das doch mal für \(I=\{1,2,3\}\) und \(J=\{1,2\}\) aus.

Wally
\(\endgroup\)

maiena
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-19 21:26

Ich weiß, dass U_J+U`=K^I
und ich weiß dass der U_J= die Menge der f von K^I für die gilt der Quotientenraum von f|J = 0.
aber wie kann ich dann den Unterraum bestimmen. Habs mit den vorgegebenen Angaben versucht aber bin zu keinem Ergebnis gekommen.


maiena
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 08:50

Oder versteh ich da was falsch?


ligning
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Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-20 09:20

Möglich? Jedenfalls geht es hier nicht um Quotientenräume. Ich seh auch nicht, dass du versucht hast, den Tipp von Wally umzusetzen. Es ist oft so, dass man erstmal sich eine Intuition anhand von Beispielen erarbeiten muss. Mach das mal, dann ist die Aufgabe ganz leicht.


maiena
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Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 11:57

Stimmt dass bei dem Beispiel der Untervektorraum U_J die Menge von f(1),f(2) ist und deshalb der komplementäre Untervektorraum U' die Menge f(3) Ist?


ligning
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Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-20 12:18

Nein. Vielleicht hast du die richtige Idee. Aber die $f(i)$ ($i=1,2,3$) sind Skalare (Elemente von $K$), keine Vektoren (in dem Fall Funktionen $I\to K$). Das kann von vornherein also nicht stimmen.

Fangen wir mal einfacher an. Sei $I=\{1,2\}$. Beschreibe den Vektorraum $\IR^I$. Was ist seine Dimension? Gib eine Basis an.


maiena
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Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 12:35

Die Basis wäre ja b_1(0,1) und b_2(1,0), also hat er die Dimension 2


ligning
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Beitrag No.10, eingetragen 2019-11-20 12:50

Die Elemente sind Funktionen $I\to \IR$, du weißt wie man Funktionen angibt. Was bedeutet $b_1(0,1)$? Ist das eine mir unbekannte Notation für eine Funktion?


maiena
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Dabei seit: 19.11.2019
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Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 12:53

Nein ich meine Damit den Vektor  1  und   0
                                                        0           1


ligning
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Dabei seit: 07.12.2014
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Beitrag No.12, eingetragen 2019-11-20 12:54

Das ist aber keine Funktion.


maiena
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Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-20 13:10

Sie wollten ja das ich den Vektorraum beschreibe


ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
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Beitrag No.14, eingetragen 2019-11-20 13:35

Hallo,

ich glaube, dass du im Forum alle duzen darfst.
2019-11-20 12:53 - maiena in Beitrag No. 11 schreibt:
Nein ich meine Damit den Vektor  1  und   0
                                                        0           1
Der Vektorraum $K^I$ enthält Funktionen $I\to K$ und keine Vektoren $\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ oder $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$. Nehmen wir an, dass $K=\mathbb{R}$ und $I=\{1,2,3\}$ sind, so sind zwei Funktionen aus $K^I$ beispielsweise
\[f(x)=\begin{cases}1,&\text{für $x\in\{1,2\}$}\\0,&\text{für $x=3$}\end{cases}\quad\text{und}\quad g(x)=\begin{cases}-7,&\text{für $x\in\{1,2\}$}\\0,&\text{für $x=3$}\end{cases}.\]
Offenbar gilt $7f(x)+g(x)=0$ für alle $x\in I$. Sie sind deshalb nicht linear unabhängig. Wie viele linear unabhängige Funktionen kannst du in $K^I$ finden?




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Druckdatum: 2020-04-02 01:47