Forum:  Folgen und Reihen
Thema: Fibonacci-Folge
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Gte3
Junior
Dabei seit: 26.10.2019
Mitteilungen: 8
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Themenstart: 2019-11-22 12:34


Um diese Aufgabe da oben handelt es sich. Bin jedem dankbar.


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2469
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-22 12:37

Hallo,

was hast du denn bisher probiert?
Die Aufgabe sieht Induktionsbeweise vor.
Diese verfolgen ja erstmal ein bestimmtes Schema.

Wie sieht also Induktionsanfang aus?
Wie formuliert sich die Induktionsvoraussetzung?

Was ist für den Induktionsschritt zu tun?
Was genau bereitet dir Probleme und wo benötigst du unsere Hilfe?

:)



Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4383
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-22 12:39

Hallo Gte3,

Zeige induktiv heißt nichts anderes, als dass man einen Beweis per vollständiger Induktion ansetzen soll. Und da sehe ich bisher nichts, also keinen Ansatz von deiner Seite aus. Dieser wäre jedoch sicherlich notwendig, um aus einer solchen Frage einen zielführenden Thread zu gestalten, der dir dann auch weiterhilft.

In diesem Zusammenhang sei auch auf unsere Forenregeln hingewiesen, dort vor allem auf den Punkt 5.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]


Gte3
Junior
Dabei seit: 26.10.2019
Mitteilungen: 8
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-22 12:54

IA. Für n=0; n=1;n=2. Angenommen n>=2 und gilt für alle n<= 1
Es gälte für n+1
fn+1=fn+fn-1+fn-2                        Wegen IA gilt
<=2^n +2^n+1) +2^(n-2)              2^(n-2) ausklammern
<=2^(n-2) *(4+2+1)
=2^n-2 *7
<= 2^n-2 *8= 2^n+1

Generell weiß ich nicht, wie ich anfangen soll. Habe mir auch überlegt aus dem Goldenen Schnitt die quadratische Gleichung zu ziehen und deren Stelle zu berechnen, die bei 1,618 und -0,618 liegt.


SabineMueller
Aktiv
Dabei seit: 20.12.2012
Mitteilungen: 295
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Beitrag No.4, eingetragen 2019-11-22 12:59

Hi Gte3,


bei der Folgerung in (b) musst du eigentlich nur beachten, dass $\frac{1}{g}<1$ ist. Dann steht's schon fast da.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4383
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-22 13:03
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

für Aufgabenteil a) muss man für den Induktionsanfang \((n=1)\) folgendes nachrechnen:

\[f_2-f_1g=1-g=-g^{-1}=-\frac{1}{g}\]
Und bitte verwende eine der Möglichkeiten hier für mathematische Notationen. Entweder \(\LaTeX\) oder den hauseigenen Formeleditor.

Eine solche Aufgabe hier per Rohtext abzuhandeln führt erfahrungsgemäß nicht sehr weit...


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
\(\endgroup\)

PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2469
Aus:
Beitrag No.6, eingetragen 2019-11-22 13:05


IA. Für n=0; n=1;n=2. Angenommen n>=2 und gilt für alle n<= 1

Ich verstehe nicht ganz was du hier gemacht hast.
Ein Induktionsanfang ist das nicht.
Es reicht auch diesen für einen n-Wert durchzuführen.
Das wäre hier $n=1$. Bemerke, dass für $n=0$ der Term $f_0$ gar nicht definiert wurde.

Für den Induktionsanfang musst du also zeigen:

$f_2-f_1g\stackrel{!}{=}-g^{-1}$

Rechne also die linke Seite explizit aus und forme solange um bis du auf $-g^{-1}$ kommst.


Es gälte für n+1
fn+1=fn+fn-1+fn-2

Ich verstehe nicht, was du hier machst.
Für den Induktionsschritt musst du zeigen, dass

$f_{n+2}-f_{n+1}g=(-1)^{n+1}g^{-(n+1)}$ gilt.

Dazu musst du die Induktionsvoraussetzung benutzen.
Wie lautet diese?


<=2^n +2^n+1) +2^(n-2)            
<=2^(n-2) *(4+2+1)
=2^n-2 *7
<= 2^n-2 *8= 2^n+1

Es sieht so aus als würdest du hier eine ganz andere Aussage beweisen wollen. Eine Ungleichung.
Falsche Aufgab? :)


Habe mir auch überlegt aus dem Goldenen Schnitt die quadratische Gleichung zu ziehen und deren Stelle zu berechnen, die bei 1,618 und -0,618 liegt.

Auch hier verstehe ich leider deine Gedanken nicht.
Diese sind aber auch nicht notwendig. Du kannst keine 'quadratische Gleichung aus der Zahl des goldenen Schnitts ziehen'.


In dieser Aufgabe kommt es darauf an, dass du genau rechnest und die rekursive Definition der Fibonacci-Zahlen korrekt anwendest.
Die Rechnung bedarf dann eher geschickte Umformungen.
Die dritte binomische Formel wird hilfreich sein.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


Gte3
Junior
Dabei seit: 26.10.2019
Mitteilungen: 8
Aus:
Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-22 13:32

Vielen Dank erstmal. Meinst du nicht fn+1?


PrinzessinEinhorn
Senior
Dabei seit: 23.01.2017
Mitteilungen: 2469
Aus:
Beitrag No.8, eingetragen 2019-11-22 13:45


 Meinst du nicht fn+1?

Ich gehe mal davon aus, dass die Frage an mich gerichtet ist.
Ob ich $f_{n+1}$ meine, hängt von dem Kontext ab. :)

Für den Induktionsschritt zeige das, was ich aufgeschrieben habe.

Möglicherweise hast du größere Lücken was Induktion angeht.

Vielleicht könntest du erstmal elementarere Beispiele rechnen, die ohne Rekursion auskommen.

Könntest du induktiv beweisen, dass

$\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}$ oder

$\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ für $q\neq 1$.

Denkanstoß: Was ist der Wert der Summe für $q=1$.

Wenn du diese Aufgaben ohne Probleme beweisen kannst, dann kannst du auch deine Aufgabe beweisen.
Wenn du hier schon Probleme hast, müssen wir uns einen anderen Zugang überlegen. :)

Das liegt jetzt an deiner Arbeitsbereitschaft. :)




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Druckdatum: 2020-08-11 00:28