Forum:  Numerik & Optimierung
Thema: Optimierung auf Vektorräumen in der Volkswirtschaftslehre
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Shaqrament
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Dabei seit: 19.06.2019
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Aus: Bayern
Themenstart: 2019-11-22 19:48

Hallo zusammen,
ich versuche gerade das Paper von Paul Romer "Endogenous Technological Change" zu erarbeiten und bin auf Seite 86 über ein Optimierungsproblem gestolpert. In der Hoffnung, dass ihr mir erklären könnt, was dort passiert, wende ich mich an den Planeten.
Wir haben Konstanten <math>\alpha, \beta, H_Y, L > 0</math> und eine integrierbare Abbildung <math>i \mapsto p(i)</math>. Zu lösen ist im Wesentlichen
<math> \max_{x \in C([0, \infty))}\displaystyle \int^{\infty}_0 H_Y^{\alpha}L^{\beta}x(i)^{1 - \alpha - \beta} - p(i)x(i)~\text{d}i</math>, wenn ich alles richtig interpretiert habe. Es soll auch <math>x(i) \geq 0</math> auf <math>[0, \infty)</math> gelten. Romer spart leider sehr am Formalismus und schreibt einfach, dass Differenzieren unter dem Integralzeichen zu
<math>p(i) = (1-\alpha - \beta)H_Y^{\alpha}L^{\beta}x(i)^{-\alpha - \beta}</math>
führt. Nun ist für mich zwar klar, was er getan hat, aber warum ist das mathematisch so korrekt? Wieso darf ich nach <math>x</math> differenzieren beziehungsweise was passiert mit dem Integral (insbesondere auf den Nullmengen)? Leider bin ich weder ein Experte für Ökonomie, noch für Optimierung auf normierten Räumen, weshalb mir auch die Quelle, die Romer selbst verwendet hat, nicht weitergeholfen hat. Kann mir dennoch jemand von euch weiterhelfen?

Beste Grüße!


SabineMueller
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Aus:
Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-22 21:40

Hi Shaqrament,

erst mal brauchst du: Wenn $$\int_A f\,d\mu = 0 $$ dann ist $$f=0$$ für $\mu$-fast alle $i\in A$

(Bei deiner Maximalstelle muss nämlich $\frac{d}{dx}\int_0^{\infty}\ldots\,di=0$ gelten)



Shaqrament
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-22 23:52

Hallo SabineMueller,
vielen Dank schonmal! So weit so gut. Kannst du (oder jemand anderes) mir erklären, warum ich differenzieren muss? Kann ich diese Optimalitätsbedingung irgendwo nachlesen? Außerdem: Wenn der Integrand fast überall verschwindet, warum springt Romer dann direkt zur Behauptung, dass er das überall tut?

Viele Grüße,
Shaqrament


zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-23 00:05

2019-11-22 23:52 - Shaqrament in Beitrag No. 2 schreibt:
Kann ich diese Optimalitätsbedingung irgendwo nachlesen?

Z.B. hier unter Anwendungen.


Shaqrament
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Dabei seit: 19.06.2019
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-23 00:53

Hallo zippy,
danke dir! Das ist eine Hilfe. Damit kann man die hinreichende Optimalitätsbedingung tatsächlich leicht nachrechnen. Spielen dann Nullmengen also überhaupt keine Rolle?

Gruß,
Shaqrament


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
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Beitrag No.5, eingetragen 2019-11-23 01:10

2019-11-23 00:53 - Shaqrament in Beitrag No. 4 schreibt:
Spielen dann Nullmengen also überhaupt keine Rolle?

Die spielen eine Rolle. Daraus, dass die Ableitung des Funktionals verschwindet, folgt nur, dass $p(i) = (1-\alpha - \beta)H_Y^{\alpha}L^{\beta}x(i)^{-\alpha - \beta}$ fast überall gilt.

Diesen Punkt spricht Romer doch auch explizit an: There is an important technical issue about what it means to the final-goods producer if prices change on a set of values of i that has measure zero.


Shaqrament
Aktiv
Dabei seit: 19.06.2019
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Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-23 01:43

Hallo zippy,
das ist genau mein Problem. Warum genau darf man dann die Nullmengen ignorieren? Gibt es dafür eine einfache Erklärung? Ist das ein ökonomisches oder mathematisches Argument?

Danke und Gruß,
Shaqrament


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
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Beitrag No.7, eingetragen 2019-11-23 08:52

2019-11-23 01:43 - Shaqrament in Beitrag No. 6 schreibt:
Ist das ein ökonomisches oder mathematisches Argument?

Auf jeden Fall ist es kein Argument, dass direkt mit dem Maximierungsproblem zu tun hat, denn wenn die integrierbare Funktion $p$ fast überall mit der stetigen Funktion $\bar p$ übereinstimmt, hat das Problem als Lösung die Funktion $x$ mit $(1-\alpha - \beta)H_Y^{\alpha}L^{\beta}x(i)^{-\alpha - \beta}=\bar p(i)$, aber aus dieser Lösung kann man nicht rückwärts auf das unstetige $p$ schließen.


Shaqrament
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Dabei seit: 19.06.2019
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Aus: Bayern
Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-11-23 11:48

Okay alles klar. Vielleicht finde ich es ja noch heraus. Ansonsten werde ich wohl über den Sprung hinwegsehen müssen. Falls jemand das Argument kennt, würde ich mich freuen, wenn es hier in diesem Thread hinterlassen würde.

Danke und Gruß




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Druckdatum: 2020-08-14 19:36