Forum:  Numerik & Optimierung
Thema: Die Fläche einer Normalverteilung
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Wunderkind89
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Themenstart: 2019-11-27 23:14

Hallo zusammen, ich hab eine Frage zu Berechnung der Fläche einer Normalverteilung. Man hat ja normalerweise eine Tabelle, wo die Wahrscheinlichkeiten dieser Verteilung in Form einer Standardnormalverteilung bereits stehen. Wie wurden diese Werte jedoch berechnet? Ich arbeite gerade an meinem Seminar und in der Lektüre mit der ich arbeiten soll werden in diesem Zusammenhang Newton Cotes Formeln und Gaußsche Quadraturregeln erwähnt. Wurde die Fläche tatsächlich mit eins dieser Verfahren approximiert? Ich wäre dankbar über eure Antworten oder Links, wo ich mehr dazu lesen kann, denn im Internet hab ich dazu leider nichts passendes gefunden.

Mein erster Gedanke:
Man begeht ja Fehler bei der numerischen Integration, dann müsste ja die Fläche von Standardnormalverteilung in einem bestimmten Intervall mit einem Verfahren angenähert worden sein, wo der Fehler am kleinsten ist.

Mein zweiter Gedanke:
Wenn man die Fläche der Standardnormalverteilung in einem bestimmten Intervall durch numerische Integration ungefähr kennt, dann müsste es ja möglich sein, diese auch mit den sogenannten Monte-Carlo-Methoden zu approximieren und sogar die Frage beantworten können, ob Monte-Carlo-Methoden eine bessere Approximation liefern, als die numerische Integration und in diesem Zusammenhang weiter gedacht: Für eine "gute" Approximation müssten dann bestimmte Bedingungen für Monte-Carlo-Methoden gelten, wie zum Beispiel eine "recht gute" Verteilung der Punkte.  

Das Thema ist für mich leider schwer zu verstehen, weil ich werde regelrecht von der Fülle an mathematischem Stoff erschlagen, so dass ich nicht mehr weiß, wo vorne und hinten ist.

Das Ganze verwirrt mich sehr, denn ich habe gelesen "Ziel der Monte-Carlo-Methode ist es, zu einer gegebenen Zufallsvariable X den Erwartungswert E(X) zu schätzen". Also nehme ich an, dass es darum geht den Erwartungswert in einem stetigen Fall zu bestimmen, wenn die Dichtefunktion nicht elementar integrierbar ist.

In meiner Lektüre wird zuerst gesagt "es gibt Volumen, die man über das Doppelintegral nicht berechnen kann" und dann wird in diesem Kontext mit Hilfe von Monte Carlo Methoden eine Fläche von Sinus im Intervall von 0 bis pi berechnet? Was soll das. Es ist doch klar, dass die Fläche dort 2 beträgt, was hat das bitte mit "es gibt Volumen, die man über das Doppelintegral nicht berechnen kann" zu tun? ich bin echt am verzweifeln....

ich bedanke mich für eure Antworten im Voraus!  



Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 2758
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-28 09:29
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

im Prinzip geht es dir ja um die Berechnung der Gauß'schen Fehlerfunktion \(\operatorname{erf(x)}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x{e^{-\tau^2} d\tau}\). Auf der zugehörigen Wikipediaseite wird zum einen die Verwandschaft zur Standardnormalverteilung behandelt und zum anderen sind gängige Berechnungsverfahren aufgelistet.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6214
Aus: Niedersachsen
Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-29 17:59

Das Beispiel mit dem Sinus wählt man, damit man _nachrechnen_ kann, was denn das exakte Ergebnis ist. Das kann man dann mit dem Ergebnis der MC-Simulation vergleichen.
Die Tabellenwerte für die Normalverteilung wurden sicher nicht mit Monte-Carlo-Methoden ermittelt.
Mit Computer-Hilfe ist es ja nicht schwer, eine hinreichend feine Unterteilung des Intervalls zu verwenden, so dass man selbst mit Ober- und Untersumme auf Ergebnisse mit der gewünschten Genauigkeit kommt. Mit welcher Methode das früher gemacht wurde, könnte ich aber auch nicht sagen.

Monte-Carlo-Methoden werden vor allem da angewendet, wo man gar keine explizite Funktion aufschreiben kann. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird es morgen Mittag am Brandenburger Tor bewölkt sein? Dafür gibt es ja keine Formel. Ich kann aber eine möglichst exakte Wetter-Simulation nehmen, mit den aktuellen Daten füttern (die nur eine beschränkte Genauigkeit haben) und ein Ergebnis ermitteln. Dann variiere ich die Eingabewerte zufällig (im Rahmen der Messgenauigkeit) und zähle aus, in wie vielen Läufen eine Wolkenbedeckung heraus kam.




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Druckdatum: 2020-02-20 13:01