Forum:  Folgen und Reihen
Thema: Konvergenz einer Reihe beweisen
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LineareAlgebruh
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Themenstart: 2019-11-30 13:53
\(\begingroup\)\(%%%%%%%%%%%% mathematical bold  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\bA}{\mathbb{A}} \newcommand{\bB}{\mathbb{B}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \newcommand{\bD}{\mathbb{D}} \newcommand{\bE}{\mathbb{E}} \newcommand{\bF}{\mathbb{F}} \newcommand{\bG}{\mathbb{G}} \newcommand{\bH}{\mathbb{H}} \newcommand{\bI}{\mathbb{I}} \newcommand{\bJ}{\mathbb{J}} \newcommand{\bK}{\mathbb{K}} \newcommand{\bL}{\mathbb{L}} \newcommand{\bM}{\mathbb{M}} \newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bO}{\mathbb{O}} \newcommand{\bP}{\mathbb{P}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bS}{\mathbb{S}} \newcommand{\bT}{\mathbb{T}} \newcommand{\bU}{\mathbb{U}} \newcommand{\bV}{\mathbb{V}} \newcommand{\bW}{\mathbb{W}} \newcommand{\bX}{\mathbb{X}} \newcommand{\bY}{\mathbb{Y}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%% calligraphic %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} %%%%%%%%%%%%% mathematical fraktur  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\fA}{\mathfrak{A}} \newcommand{\fB}{\mathfrak{B}} \newcommand{\fC}{\mathfrak{C}} \newcommand{\fD}{\mathfrak{D}} \newcommand{\fE}{\mathfrak{E}} \newcommand{\fF}{\mathfrak{F}} \newcommand{\fG}{\mathfrak{G}} \newcommand{\fH}{\mathfrak{H}} \newcommand{\fI}{\mathfrak{I}} \newcommand{\fJ}{\mathfrak{J}} \newcommand{\fK}{\mathfrak{K}} \newcommand{\fL}{\mathfrak{L}} \newcommand{\fM}{\mathfrak{M}} \newcommand{\fN}{\mathfrak{N}} \newcommand{\fO}{\mathfrak{O}} \newcommand{\fP}{\mathfrak{P}} \newcommand{\fQ}{\mathfrak{Q}} \newcommand{\fR}{\mathfrak{R}} \newcommand{\fS}{\mathfrak{S}} \newcommand{\fT}{\mathfrak{T}} \newcommand{\fU}{\mathfrak{U}} \newcommand{\fV}{\mathfrak{V}} \newcommand{\fW}{\mathfrak{W}} \newcommand{\fX}{\mathfrak{X}} \newcommand{\fY}{\mathfrak{Y}} \newcommand{\fZ}{\mathfrak{Z}} %%%%%%%%%%    Math operators    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\Id}{Id}             % identity morphism % \DeclareMathOperator{\ker}{ker}           % kernel \DeclareMathOperator{\rg}{rg}             % Rang \DeclareMathOperator{\defekt}{def}        % Defekt \DeclareMathOperator{\im}{im}             % image \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}           % homomorphisms \DeclareMathOperator{\End}{End}           % endomorphisms \DeclareMathOperator{\Span}{Span}         % linear span %%%%%%%%%%   Anderes Zeug :D   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\C{\mathbb{C}} \def\R{\mathbb{R}} \def\K{\mathbb{K}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\N{\mathbb{N}} \def\H{\mathbb{H}} \def\e{\varepsilon}\)
"Beweise oder widerlege: Sei \(a_n\) eine Folge reeller Zahlen mit \(a_n \geq 0\) \(\forall n\in\mathbb{N}\), sodass \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\) konvergiert. Dann existiert eine Folge \(c_n\) mit \(c_n \geq 0\) \(\lim c_n = \infty\), sodass \(\sum_{n=0}^{\infty} c_n a_n\) konvergiert."

So aus dem Bauch heraus würde ich sagen, diese Aussage ist richtig. Ich habe es mit ein paar Beispielen getestet, und es lässt sich eigentlich immer relativ schnell so ein \(c_n\) finden, sodass es passt. Meine Schwierigkeit ist nun wieder, den ganzen Spaß auch zu beweisen. Ich habe bereits den Tipp bekommen, mir die Restglieder anzuschauen und passend abzuschätzen und dann ein passendes \(c_n\) zu finden. Ich habe mir etwas überlegt, es fühlt sich aber irgendwie nicht ganz richtig an:

Da die Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\) konvergiert wissen wir nach Cauchy, dass man quasi immer einen Rest finden kann, der beliebig klein werden kann. Mit Rest meine ich die Glieder ab einem gewissen N. Man weiss dadurch auch, dass es zu jedem k>0 so ein N_k geben muss, damit folgendes gilt:

\(\forall n\geq N_k: 0 < a_n \leq \frac{1}{k^3}\)

So, das sollte soweit ja noch alles richtig sein, oder? Jetzt kommt der Schritt, bei dem ich mir unsicher bin. Ich hätte jetzt gesagt, weil a_n > 0, ist a_n = |a_n|, und dann könnte man das Majorantenkriterium anwenden, und dann folgendes erhalten:

\(\sum_{n=N_k}^{\infty} a_n \leq \sum_{n=N_k}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)

Darf ich jetzt einfach so die Summe davon betrachten? Kein Plan ;(.

Wenn das gehen würde, dann könnte man sein c_n jetzt einfach wie folgt wählen: \(c_n:=n\), und jetzt das hier machen:

\(\sum_{n=0}^{\infty} c_n a_n = (\sum_{n=0}^{N_k-1} c_n a_n)+(\sum_{n=N_k}^{\infty} a_n) \leq (\sum_{n=0}^{N_k-1} c_n a_n) + (\sum_{n=N_k}^{\infty} \frac{n}{n^3}) = (\sum_{n=0}^{N_k-1} c_n a_n) + (\sum_{n=N_k}^{\infty} \frac{1}{n^2})\)

Da die linke Summe endlich ist und die rechte Summe konvergent, ist also die Summe dieser beiden Summen einfach eine reelle Zahl, somit folgt daraus:

\(\sum_{n=0}^{\infty} c_n a_n < \infty \implies \sum_{n=0}^{\infty} c_n a_n\) konvergiert. Wir haben Reihen erst kürzlich eingeführt, deswegen verzeiht falls ich dumme Fehler mache. Macht mein Weg Sinn, wenn nicht, was könnte man stattdessen probieren? Vielen Dank im voraus, ich gehe jetzt erstmal frühstücken ;)
\(\endgroup\)

Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4650
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2019-11-30 17:39
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

mal ein ganz naiver Vorschlag mittels Wurzelkriterium: von \(a_n\) weiß man ja jedenfalls, dass es eine Nullfolge sein muss und dass \(\limsup\sqrt[n]{a_n}<1\) gilt.

Jetzt könnte man doch das Wurzelkrietrium einfach weiter nutzen und begründen, warum es dann stets eine bestimmt divergente Folge \(c_n\) geben muss, so dass auch \(\limsup\sqrt[n]{c_n a_n}<1\) gilt (Stichwort geometrische Folge...).

Oder übersehe ich hier etwas?

EDIT: ja, das war nix. Das Wurzelkriterium sagt ja im Fall \(\limsup\sqrt[n]{a_n}=1\) nichts über die Konvergenz der Reihe \(\sum_{n=n_0}^{\infty}a_n\) aus, also ist mein obiger Ansatz von Beginn an falsch.

Schau dir mal den nächsten Beitrag an.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11410
Aus: Bayern
Beitrag No.2, eingetragen 2019-11-30 18:54

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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11410
Aus: Bayern
Beitrag No.3, eingetragen 2019-11-30 22:13

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Druckdatum: 2020-09-22 03:56