Forum:  Folgen und Reihen
Thema: Intervall , so dass eine Reihe konvergiert, Reihenwert
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Peter43
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Themenstart: 2019-12-01 10:05

Hallo,

Ich habe eine Reihe

fed-Code einblenden

Ich soll ein größtmöglichen Intervall (a,b) für x fed-Code einblenden

Und den Reihenwert in Abhängigkeit von x betsimmen.

Mein Ansatz bis jetzt ist, da es eine geometrische Reihe ist, deshalb konvergiert dann, wenn |q|<1. Da die Reihe gegen unendlich geht, konvergiert die Reihe, wenn -1<|q|<1.

Mein |q| ist |(x-3/2)|. Wenn ich die beiden Ungleichungen löse, dann bekomme ich 1< x <5 raus. Wäre das nun mein gesuchter Intervall oder muss ich da noch etwas machen?

Und kann mir jemand sagen, wie ich den Reihenwert bestimme.

Vielen Dank im voraus.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4663
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-01 10:21
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo Peter43,

dein Konvergenzradius \(r=2\) ist korrekt. Wie du darauf gekommen bist erschließt sich mir jedoch nicht so ganz. Man berechnet ihn hier leicht bspw. mit der Formel von Cauchy-Hadamard.

Für die Bestimmung des Reihenwerts kannst du dir die Summanden so denken wie du es ja auch schon getan hast: \(\frac{k}{2^k}(x-3)^k=k\cdot\left(\frac{x-3}{2}\right)^k\). Und dann eben mal über den Grenzwert der Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty}k\cdot q^k\) für \(|q|<1\) sinnieren. Eventuell ist dieser sogar schon bekannt.

Es hat etwas mit Ableiten zu tun...

EDIT: im nächsten Beitrag hat trunx einen seiner Artikel verlinkt. Dort kannst du das recherchieren sowie dich bei Bedarf über solche und ähnlich aufgebaute Reihen umfassend informieren. 😄


Gruß, Diophant


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]
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trunx
Senior
Dabei seit: 16.08.2003
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Aus: Berlin
Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-01 10:21

hallo, guten morgen,

es handelt sich nicht direkt um eine geometrische Reihe, sondern um eine modifizierte geometrische Reihe, siehe z.B. hier. Trotzdem ist deine Überlegung bzgl. q richtig (allerdings hast du die schliessende Klammer falsch gesetzt, Abschreibfehler?).

bye trunx

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


Peter43
Aktiv
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Mitteilungen: 23
Aus:
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-01 11:17

Danke euch beiden schon mal. Gucke es mir gleich mal an. Sehe gerade das ich bei der Reihe einen Fehler gemacht habe. Das k hinter dem Summenzeichen muss weg. Aber dadurch ändert sich ja nichts an euren Tipps.


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4663
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-01 11:25
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}}\)
Hallo,

2019-12-01 11:17 - Peter43 in Beitrag No. 3 schreibt:
Danke euch beiden schon mal. Gucke es mir gleich mal an. Sehe gerade das ich bei der Reihe einen Fehler gemacht habe. Das k hinter dem Summenzeichen muss weg. Aber dadurch ändert sich ja nichts an euren Tipps.

Du meinst also diese Reihe:

\[\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{2^k}(x-3)^k\]
?

Doch, dann ändert sich etwas: nämlich der Wert der Reihe. Insbesondere ist es damit eine geometrische Reihe und dein obiger Weg zur Berechnung des Konvergenzradius ist somit auch richtig (du benötigtst dafür dann insbesondere keine weiteren Formeln).

Zur korrekten Bestimmung des Reihenwerts wäre es auch noch wichtig zu wissen, ob der Index \(k\) tatsächlich bei \(1\) starten soll und nicht wie gewöhnlich bei \(0\).


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)

Peter43
Aktiv
Dabei seit: 23.11.2019
Mitteilungen: 23
Aus:
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-01 11:34

Ah ok danke. Ja so soll die Reihe sein. Wollte es mal mit dem Formeleditor versuchen, weil du mir letztens den Tipp gegeben hast. Aber hat wohl nicht so ganz geklappt ;)

k soll bei 0 starten.



Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4663
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-01 11:49
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hi,

2019-12-01 11:34 - Peter43 in Beitrag No. 5 schreibt:
Ah ok danke. Ja so soll die Reihe sein. Wollte es mal mit dem Formeleditor versuchen, weil du mir letztens den Tipp gegeben hast. Aber hat wohl nicht so ganz geklappt ;)

Nicht aufgeben: Übung macht bekanntlich den Meister.  😉

2019-12-01 11:34 - Peter43 in Beitrag No. 5 schreibt:
k soll bei 0 starten.

Ok, dann kannst du ja einfach den bekannten Grenzwert der geometrischen Reihe mit \(q=\frac{x-3}{2}\) verwenden.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)



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Druckdatum: 2020-09-22 19:20