Forum:  Lineare Abbildungen
Thema: Elemente des Dualraums
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Sebastian142
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Themenstart: 2019-12-05 21:52

Hallo liebes Forum,
ich habe Verständisprobleme bei folgender Menge:
\( C=\{x^* \in \mathbb{R^n} : \forall x \in A \ x^*(x)=0\} \)

A ist dabei ein linearer Teilraum eines Hilbertraumes. \(x^*\) ist ein lineare stetiges Funktional.

Warum ist \(x^*\) dann ein Element des \(\mathbb{R^n}\)
Das Funktional bildet doch den  \(\mathbb{R^n}\)  in den Körper der reellen Zahlen ab. Egtl ist \(x^*\)jedoch ein Element des Dualraums. Müsste dann nicht stehen: \( x^* \in (\mathbb{R^n})^*\)


Jonas95
Aktiv
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-05 22:20

Der Hilbertraum, in dem <math>A</math> liegt, ist vermutlich <math>\mathbb{R}^n</math>, oder?

Technisch gesehen hast du recht, allerdings ist im endlichen dimensionalen Fall der Dualraum auf isomorph zum Vektorraum selbst.
Daher schreibt man statt <math>(\mathbb{R}^n)^\ast</math> oft nur <math>\mathbb{R}^n</math>.


Sebastian142
Aktiv
Dabei seit: 05.12.2019
Mitteilungen: 30
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-05 22:34

Ja A ist Teimenge des \(\mathbb{R^n} \)

Alles klar. Vielen Dank:)


Zum Verständis: lineare Funktionale sind egtl darstellbar als Matrizenprodukt. Dabei wird \(x^*\) als n-dimensionaler Vektor \((a_1,...,a_n) \) und \(x=(x_1,...,x_n) \) interpriert. Vertehe ich das richtig?




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Druckdatum: 2020-09-19 02:15