Forum:  Stetigkeit
Thema: Zusammenhang und Stetigkeit
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BlakkCube
Senior
Dabei seit: 12.02.2010
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Aus: Potsdam
Themenstart: 2019-12-07 12:34

Hallo in die Runde,

ich bin gestern Abend beim Nachdenken über stetige Abbildungen und Zusammenhang auf folgende Frage gestoßen:

Seien X,Y metrische Räume, \(f:X\longrightarrow Y \) eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass für jede zusammenhängende Menge \(E\subseteq X\) auch \(f(E)\subseteq Y\) zusammenhängend ist. (Ich nenne das mal zusammenhangserhaltend oder kurz zhe.)

Offensichtlich gilt: f stetig \(\Longrightarrow\) f ist zhe.

Mich interessiert nun die Umkehrung bzw. ein Gegenbeispiel.

Da ich noch nicht von der Umkehrung gehört habe, habe ich bisher an einem Gegenbeispiel versucht.

Mein erster Ansatzpunkt ist hierbei:\[f:[0,\infty)\longrightarrow [0,\infty)\] mit \(f(x)=1/x\) für \(x>0\) und \(f(0)=0\).

Hier ist f aber noch nicht zhe. Es ist zwar \(f([0,\infty))=[0,\infty)\) zusammenhängend, aber schon \(f([0,1])=\{0\}\cup[1,\infty)\) ist es nicht mehr.

Wie kann man die Unstetigkeitsstelle geschickter wählen? (Oder hat jemand eine Idee, wie man die Umkehrung der obigen Implikation beweisen könnte?)

Gruß BlakkCube


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
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Aus: Berlin
Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-07 12:41

Sei $X$ ein metrisierbarer total unzusammenhängender Raum (zum Beispiel die Cantormenge), also jede zusammenhängende Teilmenge hat nur ein Element. Dann ist trivialerweise jede Abbildung $X \to X$ zusammenhangserhaltend, aber sie ist nicht unbedingt stetig.


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
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Aus: Milchstraße
Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-07 12:49

Hallo BlakkCube,

beschränkt man sich bei X und Y auf \(\IR\) mit der üblichen Metrik, so müsste zhe genau die Zwischenwerteigenschaft beschreiben, wenn ich mich jetzt nicht täusche. Es gibt jedoch Funktionen mit Zwischenwerteigenschaft, die nicht stetig sind.


BlakkCube
Senior
Dabei seit: 12.02.2010
Mitteilungen: 597
Aus: Potsdam
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-08 23:18

Vielen lieben Dank für Eure Antworten.

Dank Triceratops habe ich nun erstmal mein Gegenbeispiel, wenn man auf der Cantormenge \(C\subseteq [0,1]\) die Abbildung \(f:C\longrightarrow C\) mit f(x)=1 für x rational und f(x)=0 für x irrational nimmt.

Über den Fall \(X=\mathbb{R}\) oder allgemein X zusammenhängend werde ich mal noch ein bisschen nachgrübeln.


Triceratops
Aktiv
Dabei seit: 28.04.2016
Mitteilungen: 4708
Aus: Berlin
Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-08 23:47

Hier ein Beispiel für eine unstetige zusammenhangserhaltende Abbildung $f : \IR \to \IR$.
 

$f(x) := \sin(1/x)$ für $x \neq 0$ und $f(0) := 1$.

Für eine ganze Reihe von Beispielen, die nirgendwo stetig sind, siehe:
 
- brilliant.org/wiki/converse-of-intermediate-value-theorem/
- www.uccs.edu/Documents/goman/Converse%20of%20IVT.pdf
 


Es gilt übrigens: Eine injektive zusammenhangserhaltende Abbildung $\IR \to \IR$ ist bereits stetig:






BlakkCube
Senior
Dabei seit: 12.02.2010
Mitteilungen: 597
Aus: Potsdam
Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10 20:22

Ich bin auf ein ähnliches Beispiel mit sin(1/x) gekommen. (In Anlehnung an den metrischen Raum \(\{(0,y)\mid y\in [-1,1]\}\cup\{(x,\sin (1/x))\mid x\in (0,1]\} \subseteq\mathbb{R}^2\), der bekanntlich zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend ist.)

Vielen Dank für die Links.




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Druckdatum: 2020-10-24 03:06