Forum:  Integration
Thema: Integral, Fubini
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Roemer
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Themenstart: 2019-12-08 23:10

Ich möchte folgendes Integral berechnen.
$\int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{n} x^y \ dxdy$

Das ganze wird leicht, falls wenn ich die Integrale einfach vertausche. Nach Fubini darf ich das für stetige Funktionen machen.

Ich würde vermuten, dass die Funktion stetig ist, ansonsten müsste ich womöglich $\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \int\limits_{\epsilon}^{1} \int\limits_{\epsilon}^{n} x^y \ dxdy$ berechnen.

Auf jeden Fall weiß ich nicht, wie ich die Stetigkeit hier zeigen oder wiederlegen kann. Bisher konnte ich mir immer über Polarkoordinaten oder das Folgenkriterium helfen.


buddyer
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Dabei seit: 08.05.2014
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-09 04:33

Ohne mir überlegt zu haben wie man am besten an das Integral herangeht, sollte wohl "Verkettungen stetiger Funktionen sind stetig" deine konkrete Frage beantworten.

Gruß
Buddyer


Roemer
Aktiv
Dabei seit: 05.01.2018
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09 08:31

Mir ist heute nicht mehr ganz klar, warum ich mir dachte, dass es bei $0$ ein Problem geben könnte.
Auf jeden Fall danke. Damit ist es leicht.


zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-09 09:02

2019-12-09 08:31 - Roemer in Beitrag No. 2 schreibt:
Mir ist heute nicht mehr ganz klar, warum ich mir dachte, dass es bei $0$ ein Problem geben könnte.

Betrachte die Folgen $(x_n,y_n)=(0,1/n)$ und $(x_n,y_n)=(1/n,0)$. Beide konvergieren gegen $(0,0)$, aber die Grenzwerte von $x_n^{y_n}$ stimmen nicht überein (einmal ergibt sich $0$ und einmal ergibt sich $1$).

2019-12-09 04:33 - buddyer in Beitrag No. 1 schreibt:
sollte wohl "Verkettungen stetiger Funktionen sind stetig" deine konkrete Frage beantworten.

Und welche stetigen Funktionen werden hier deiner Meinung nach verkettet?


Roemer
Aktiv
Dabei seit: 05.01.2018
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-09 09:50

Ah, genau.
Wäre es eine Funktion in nur einer Variable wäre es stetig, aber es sind ja zwei. Das hat mich etwas unsicher gemacht.

Wenn ich das Integral als folgenden Grenzwert nehme, ist es stetig und ich kann die Integrationsreihenfolge vertauschen.

$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \lim\limits_{\psi \rightarrow 0} \int\limits_{\epsilon}^{1} \int\limits_{\psi}^{n} x^y \ dxdy \ =$
$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \lim\limits_{\psi \rightarrow 0}  \int\limits_{\psi}^{n} \int\limits_{\epsilon}^{1} x^y \ dydx \ =$
$\lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0} \lim\limits_{\psi \rightarrow 0}  \int\limits_{\psi}^{n} \frac{1}{y+1}-\frac{\epsilon^{y+1}}{y+1} \ dy \ =$

Jetzt würde ich den limes gerne in das Integral ziehen.
Die Funktion ist stetig, und auf dem abgeschlossenen Intervall $[\psi,n]$ daher auch gleichmäßig stetig. Dadurch komme ich auf

$\lim\limits_{\psi \rightarrow 0}  \int\limits_{\psi}^{n} \frac{1}{y+1} \ dy \ = ... = ln(n+1)$

Ist es so richtig?


buddyer
Aktiv
Dabei seit: 08.05.2014
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Beitrag No.5, eingetragen 2019-12-09 15:42

2019-12-09 09:02 - zippy in Beitrag No. 3 schreibt:
Und welche stetigen Funktionen werden hier deiner Meinung nach verkettet?

Mein Fehler, um die Uhrzeit sollte ich wohl besser nichtmehr posten, pardon.




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Druckdatum: 2020-02-20 15:42