Forum:  Matrizenrechnung
Thema: Äquivalenz zu Invertierbarkeit von Matrizen
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Themenstart: 2019-12-09 11:56

Hallo zusammen,

ich möchte gerne nachweisen, dass folgende Äquivalenz gilt:

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Gegeben sind zwei rechts-invertierbare Matrizen \(A, B \in \mathbb{R}^{m \times n}\).
Folgende Aussagen sind äquivalent:

(a) \( (I - A^+ A) + (I - B^+ B) \) ist invertierbar.

(b) \( \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} \) ist rechts-invertierbar.

Mit \(A^+\) bzw. \(B^+\)ist die Pseudoinverse von \(A\) bzw. \(B\) gemeint.

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Die Richtung \((a) \Rightarrow (b)\) kann ich beweisen, aber bei \((b) \Rightarrow (a)\) komme ich einfach nicht weiter. Ich habe zwei Ansätze, die ich mir vorstellen könnte.

Ansatz 1:
Wenn ich die Matrix in (a) mit \(\frac{1}{2}\) multipliziere ändert sich nichts an der Invertierbarkeit und ich schaue mir die Invertierbakeit von \[ I - \frac{1}{2} (A^+ A + B^+ B) \] an. Über die Neumann-Reihe weiß ich dann, dass diese neue Matrix invertierbar ist, falls \[ || \frac{1}{2} (A^+ A + B^+ B) || < 1\] für eine beliebige Operatornorm gilt.

Ansatz 2:
Die Matrix in (b) ist rechts-invertierbar genau dann, wenn \[ \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix}^T \] nicht-singulär ist. Mit Hilfe der Schurzerlegung und das \(A A^T\) per Voraussetzung invertierbar ist, kann ich damit wiederum zwei zu (b) äquivalente Aussagen formulieren. Und zwar:

(b') \( A (I - B^+ B) B^T \) ist invertierbar
(b'') \( A (I - B^+ B) \) ist rechts-invertierbar

Ich hatte versucht die Matrizen in (b') und (b'') zu nutzen, um über ein geschicktes Schur-Komplement zu zeigen, dass \((b') \Rightarrow (a)\) oder \((b'') \Rightarrow (a)\).

Ich wäre euch dankbar, wenn ihr vielleicht noch einen Denkanstoß habt, wie ich einen der Ansätze zu Ende führen kann oder einen komplett neuen Ansatz, den ich verfolgen kann.

Viele Grüße




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Druckdatum: 2020-09-25 08:13