Forum:  Numerik & Optimierung
Thema: Kontraktionskonstante bei linearer Abbildung
Themen-Übersicht
elektrotechniker
Junior
Dabei seit: 25.11.2019
Mitteilungen: 11
Aus:
Themenstart: 2019-12-10 17:30

Hallo,

ich lerne gerade für eine Numerikklausur, und habe mir etwas eigenständig überlegt, und würde mich freuen wenn jemand drüberschauen könnte ob das so passt, auch wenn es vielleicht banal ist :)

Also, für den Banachschen Fixpunktsatz muss die gegebene Funktion $f: D \rightarrow D$ kontrahierend sein; Es muss also gelten, dass es ein $0 < \lambda < 1$ gibt, sodass:
\[
  \forall x,y\in D: \lVert f(x) - f(y) \rVert \leq \lambda\lVert x-y\rVert
\]
Hat man nun eine lineare Funktion $f(x) := Ax$ für $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ gegeben, so weiss ich aus der Vorlesung, dass $f$ kontrahierend ist, falls gilt:
\[
    \lVert A \rVert < 1
\] für eine beliebige Norm $\lVert\cdot\rVert$.


Ich brauche für die Fehlerabschätzungen aber das $\lambda$, also die Kontraktionskonstante, welche mir durch diesen Satz aber nicht gegeben wird. Ich habe mir also überlegt, mit bspw. der Zeilensummennorm $\lVert\cdot\rVert_\infty$:

\[
    \lVert f(x) - f(y) \rVert_\infty = \lVert Ax - Ay \rVert_\infty = \lVert A(x - y) \rVert_\infty = \lVert A\rVert_\infty \lVert x - y \rVert_\infty
\]
was aus der Linearität von $f$ und der Verträglichkeit der von mir betrachteten Normen folgt.

Wenn ich aber nun schon gezeigt habe, dass $\lambda := \lVert A\rVert_\infty < 1$, dann steht da doch schon direkt was ich brauche und $\lVert A\rVert_\infty < 1$ ist meine Kontraktionskonstante, richtig?

Vielen Dank im Voraus!


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 811
Aus:
Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-10 17:49
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert}\)
Hallo elektrotechniker,

in deiner Abschätzung muss es am Ende noch ein $\leq$ statt einem $=$ stehen. Davon abgesehen stimmt das alles. Du musst nicht einmal beim Beispiel der Zeilensummennorm bleiben. Du hast ja nur Linearität und Verträglichkeit benutzt, also gilt ganz allgemein: Ist die Matrixnorm verträglich mit der Vektorraumnorm, dann ist die Matrixnorm ein solches $\lambda$ wie in der Definition der Kontraktion gefordert.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)

elektrotechniker
Junior
Dabei seit: 25.11.2019
Mitteilungen: 11
Aus:
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10 18:48

Hallo Vercassivelaunos,

vielen lieben Dank für die Antwort :)

Das $\leq$ kommt aus der Formel für verträgliche Matrixnormen, richtig?
\[
    \forall A, v:  \lVert Av \rVert \leq \lVert A\rVert\lVert v\rVert
\]
Gruß


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6285
Aus: Niedersachsen
Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-10 19:39

Ja, richtig.


elektrotechniker
Junior
Dabei seit: 25.11.2019
Mitteilungen: 11
Aus:
Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-10 20:07

Vielen Dank euch!




Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=244807=110
Druckdatum: 2020-04-04 00:17