Forum:  Integration im IR^n
Thema: Warum Summe zweier Integrale 0 ergeben soll
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Karankos99
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Themenstart: 2019-12-11 00:47

Warum gilt
$\int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^x \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx +\int_{\mathbb{R}}\int_{x}^{\infty} \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx=0$?

"Wegen Spiegelung" soll die Begründung sein. Das erkenne ich aber nicht ganz.
Ich hab das mal so probiert:
$\int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^x \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx +\int_{\mathbb{R}}\int_{x}^{\infty} \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx$
$=\int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^x \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx -\int_{\mathbb{R}}\int_{x}^{\infty} \frac{h(x)h(t)}{x-t}dt dx$
wobei ich im Bruch des zweiten Integrands wegen des Vorzeichens dann $x$ und $t$ vertauscht habe.
$=\int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^x \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx +\int_{\mathbb{R}}\int_{\infty}^{x} \frac{h(x)h(t)}{x-t}dt dx$
wobei ich die Integralgrenzen beim zweiten Integral vertauscht habe und somit das Vorzeichen wieder umgekehrt habe.
$=\int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^x \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx -\int_{\mathbb{R}}\int_{\infty}^{x} \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx$
wobei ich $t$ und $x$ im Bruch wieder zurueckgetauscht habe und deswegen wieder ein negatives Vorzeichen vor dem zweiten Integral habe.

Ich erkenne jetzt nicht, warum das $0$ sein soll, denn die Integralgrenzen beider Integrale stimmen ja nicht ueberein.... Haetten wir im zweiten Integral $-\infty$ als untere Grenze wuerde ich es sehen.
Oder habe ich was vergessen und wir haben eigentlich $-\infty$ an der einen Grenze des Integrals?


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1405
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-11 01:39

Mach dir erstmal klar, dass$$ \int_{-\infty}^\infty\,\int_{-\infty}^x F(x,t)\;\mathrm dt\,\mathrm dx =
\int_{-\infty}^\infty\,\int_t^\infty F(x,t)\;\mathrm dx\,\mathrm dt
$$ ist, weil die iterierten Integrale auf beiden Seiten aus dem Intergral$$ \int_G F(x,t)\;\mathrm dt\,\mathrm dx
$$ über die Halbebene$$ G=\bigl\{(t,x)\in\mathbb R^2:t\le x\bigr\}
$$hervorgehen (Stichwort Fubini).

Dann musst du nur noch ausnutzen, dass in deinem Fall $F(x,t)=-F(t,x)$ gilt.

--zippy




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Druckdatum: 2020-09-22 11:13