Forum:  Diophantische Gleichungen
Thema: Beweis gesucht
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haegar90
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Themenstart: 2019-12-14 21:56

Hallo zusammen,

habe diese Aufgabe von einer anderen abgekupfert und etwas verändert:


Sind $a,\;b$ und $c$ natürliche Zahlen, $\mathbb{N}\setminus \lbrace 0\rbrace$, sodass $$q={\frac {b^{2}+c-a}{2(a^2+c^2)}}$$ ebenfalls eine natürliche Zahl ist, so ist $q$ für den Fall dass $(a+b+c):=2n,\; n \in \mathbb{N}$ ist, sogar eine Quadratzahl.


Nun will ich versuchen das zu beweisen/widerlegen und mich damit hier wieder zurückmelden.
Falls das jemand auch angehen möchte und sein Ergebnis hier vorstellen möchte, so würde es mich freuen. Auch über Hinweise dazu, ob die Frage überhaupt so zu bearbeiten/richtig gestellt ist wäre ich dankbar.  


Caban
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-15 11:41

Hallo

Mich erinnert diese Formel sehr an das Skalarprodukt, vielleicht kannst du damit etwas machen.

Gruß Caban


querin
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Beitrag No.2, eingetragen 2019-12-15 12:22

Hallo haegar90,

wenn ich die Frage recht verstehe ist a=1, b=7, c=2 mit q=5 ein Gegenbeispiel.


haegar90
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-15 13:37

@ Caban, daran hatte ich noch gar nicht gedacht.
@ querin, stimmt, die Aufgabe ist damit erledigt bzw. ich habe keine brauchbare Aufgabe gebastelt. Hat einer mal eine eher einfache Aufgabe für mich, die ich mal versuchen kann zu beweisen/widerlegen ?  


Caban
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Beitrag No.4, eingetragen 2019-12-15 14:16

fed-Code einblenden


haegar90
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-15 14:37

Danke  smile
Kann aber etwas dauern bis ich da was zeigen kann.


Caban
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Beitrag No.6, eingetragen 2019-12-15 15:21

Hallo

Eigentlich sieht die Aufgabe schlimmer aus, als sie ist.

Gruß Caban


MartinN
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Beitrag No.7, eingetragen 2019-12-15 19:10

Spoiler alert

Bei solchen Aufgaben ist doch meist k = 0 xD
Summe von 4 aufeinanderfolgenden Zahlen ist 4n+2, jetzt kann man sich das mal mod 4 anschauen.



haegar90
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Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-15 19:13

Hallo, hat sich die Formulierung etwas geändert zwischenzeitlich ?

War zunächst bei der Summe von vier aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ausgegangen. Jetzt sind es vier aufeinanderfolgende natürliche Zahlen.
Ändert aber glaube ich nicht so viel da beide Summen keine Quadratzahlen $q$ ergeben können und somit $k=0$ ist.

$q^2=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6$

$\forall \;q^2 \in \mathbb{N}\; \nexists\; n: 4n+6=q^2$

$q=\overbrace{2\sqrt{n+1,5}}^{\notin\; \mathbb{N}}$

Hänge aber bei dem zweiten Teil der Aufgabe und erkenne den Sinn noch nicht da doch jede Zahl $a$ durch jede Zahl $b\neq 0$ teilbar ist. Soll das gezeigt werden ?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]


haegar90
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Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-15 19:46

2019-12-15 19:10 - MartinN in Beitrag No. 7 schreibt:
Spoiler alert
Bei solchen Aufgaben ist doch meist k = 0 xD
Summe von 4 aufeinanderfolgenden Zahlen ist 4n+2, jetzt kann man sich das mal mod 4 anschauen.

@MartinN
Warum rechnet man mit $4n+2$ und nicht mit $4n+6$ ?


Caban
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Beitrag No.10, eingetragen 2019-12-15 19:59

Hallo

Ja, das ist richtig. 0 ist durch jede Zahl teilbar, damit auch durch die gegebene Summe. Das habe ich gemeint mit "Eigentlich sieht die Aufgabe schlimmer aus, als sie ist.
"

Gruß Caban


MartinN
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Beitrag No.11, eingetragen 2019-12-15 20:01

Man kann auch bei 4n-1 mit der ersten Zahl beginnen... Ändert ja nix.

Aber entscheidend ist: 4n+2 ist gerade, also muss auch die Quadratzahl gerade seinsomit ist es das Quadrat einer geraden Zahl, welche durch 4 teilbar sind. 4n+2 ist aber nicht durch 4 teilbar.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]


MartinN
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Beitrag No.12, eingetragen 2019-12-15 20:02

@caban
0 ist aber nicht durch 0 teilbar... Daher solltest du nochmal deine Summe überarbeiten.

Edit... Halt ich versteh deine Aufgabe nicht... Benutzt du k doppelt?


haegar90
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Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-15 21:23

@Caban, ok danke. Gibt es noch eine zweite
Aufgabe ?


Caban
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Beitrag No.14, eingetragen 2019-12-15 22:08

Hallo

Hier eine zweite Aufgabe:

Die Zahlenfolge g(n) ist so definiert: g(n+2)=q(g(n+1))*q(g(n)), wobei q die Quersumme ist. Zeige, dass g(n) nach einer endlichen Zahl von Folgegliedern (kann auch 0 sein) nur aus einer, sich unendlich oft wiederholenden, endlichen Sequenz von Folgegliedern besteht!


@Martin Meine Summe ist nicht 0.

Gruß Caban


MartinN
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Beitrag No.15, eingetragen 2019-12-15 22:20

Wie ist denn g(n+1) definiert?

Und du hast k zweifach verwendet... einmal als Laufindex in der Summe, und einmal als Anzahl an Quadraten ;)


Caban
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Beitrag No.16, eingetragen 2019-12-15 23:15

Hallo

Die ersten beiden Folgeglieder von g(n) kann man beliebig festlegen.

k habe ich nun durch q ersetzt.

Gruß Caban


haegar90
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Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-16 17:21

2019-12-15 22:08 - Caban in Beitrag No. 14 schreibt:
Hallo

Hier eine zweite Aufgabe:

Die Zahlenfolge g(n) ist so definiert: g(n+2)=q(g(n+1))*q(g(n)), wobei q die Quersumme ist. Zeige, dass g(n) nach einer endlichen Zahl von Folgegliedern (kann auch 0 sein) nur aus einer, sich unendlich oft wiederholenden, endlichen Sequenz von Folgegliedern besteht!
Die ersten beiden Folgeglieder von g(n) kann man beliebig festlegen.

...1. Versuch
Gegeben sind $g_1$ und $g_2$ mit $n=1$:
$g_{n}=q(1)=1$ und $g_{n+1}=q(-1)=(-1)$

Mit dem Bildungsgesetz:
$g_{n+2}=q(g_{n+1})\cdot q(g_{n})$
$g_{n+3}=q(g_{n+2})\cdot q(g_{n+1})$

$g_{n+2}=q(-1)\cdot q(1)=(-1)\cdot 1=(-1)$
$g_{n+3}=q(-1)\cdot q(-1)=(-1)\cdot(-1)=1$
$g_{n+4}=q(1)\cdot q(-1)=1\cdot (-1)=(-1)$
$g_{n+5}=q(-1)\cdot q(1)=(-1)\cdot 1=(-1)$
$g_{n+6}=q(-1)\cdot q(-1)=(-1)\cdot (-1)=1$
$g_{n+7}=q(1)\cdot q(-1)=(-1)\cdot (-1)=(-1)$

$g(n)=\lbrace 1,(-1),(-1),1,(-1),(-1),1,(-1),.....\rbrace$


Anfang: $(n)$
$g_{(n)+3}=q(g_{(n)+2})\cdot q(g_{(n)+1})=g_n$
$g_{(n+1)+3}=q(g_{(n+1)+2})\cdot q(g_{(n+1)+1})=g_{n+1}$
$g_{(n+2)+3}=q(g_{(n+2)+2})\cdot q(g_{(n+2)+1})=g_{n+2}$

$g_{4}=q(g_{3})\cdot q(g_{2})=(-1)\cdot(-1)=  1 =g_1$
$g_{5}=q(g_{4})\cdot q(g_{3})=  1 \cdot(-1)=(-1)=g_{2}$
$g_{6}=q(g_{5})\cdot q(g_{4})= (-1)\cdot1=(-1)=g_{3}$


Behauptung:
$\forall g_{n+3}:q(g_{n+3})=q(g_n)$


Schritt: $(n+1)$
$g_{(n+1)+3}=q(g_{(n+1)+2})\cdot q(g_{(n+1)+1})=g_{(n+1)}$
$g_{5}=q(g_{4})\cdot q(g_{3})=1\cdot(-1)=g_{2}$

$g_{((n+1)+1)+3}=q(g_{((n+1)+1)+2})\cdot q(g_{((n+1)+1)+1})=g_{(n+1)+1}$
$g_{6}=q(g_{5})\cdot q(g_{4})=(-1)\cdot1=(-1)=g_{3}$

$g_{((n+1)+2)+3}=q(g_{((n+1)+2)+2})\cdot q(g_{((n+1)+2)+1})=g_{(n+1)+2}$
$g_{7}=q(g_{6})\cdot q(g_{5})=(-1)\cdot (-1)=1=g_{4}\;\;\Box$


Caban
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Beitrag No.18, eingetragen 2019-12-16 21:12

Hallo

Ich habe das so gemeint, dass die Sequenzen für alle mögllichen Anfangswerte auftreten. Nicht nur +1 und -1, sondeern alle möglichen.

Gruß Caban


MartinN
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Beitrag No.19, eingetragen 2019-12-16 21:31

Mit anderen Startzahlen kommst du nicht auf diese Sequenz... betrachte lieber die Beschränktheit der Folge. Können die Folgeglieder unendlich groß werden, oder müssen sie iwann kleiner werden? Können sie negativ werden? [du kannst dich wohl auf positive Startzahlen beschräken]


Caban
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Beitrag No.20, eingetragen 2019-12-16 21:39

Hallo

Ja postive Startzahlen reichen aus.

Gruß Caban


haegar90
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Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-18 16:27

Die größtmöglichen Quersummen sind bei einer einstelligen Zahl $9$, bei 2 Stellen $18$ und bei drei Stellen $27$, bei einer $k$-stelligen Zahl $9k$. Seien $a$ eine natürliche $k_{>1}$-stellige Zahl und $q$ die Quersumme so gilt: $$q_a=\sum_{i=1}^ka_i\leq9k$$ Seien $\;a_{k_1},\;b_{k_2} \in \mathbb{N}_{>0}\;\; k_{>1}$-stellige Zahlen  und $q_{a_{k_1}},\;q_{b_{k_2}}$ deren Quersummen, so gilt: $$q_{a_{k_1}}\leq 9k_1 \text{ und } q_{b_{k_2}}\leq 9k_2 \text{ womit: }\forall\; g_{n+2}:=q(g_{n+1})\cdot q(g_{n}):\;g(n)\leq(9^2k_1k_2)$$


Caban
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Beitrag No.22, eingetragen 2019-12-18 20:51

Hallo

Kannst du die 9k etwas genauer herleiten?
Kannst du die Entstehung der Sequenzen etwas begründen?

Gruß Caban




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Druckdatum: 2020-02-18 23:49