Forum:  Graphentheorie
Thema: Aktivste Kante, max Flow
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Clvrhammer
Junior
Dabei seit: 06.11.2019
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Themenstart: 2019-12-15 22:34


Grüße,

Ich arbeite gerade an einer Aufgabe bei der mir im Grunde schlicht der Ansatz fehlt diese zu lösen. Sie lautet folgendermaßen:


Eine aktivste Kante in einem Netzwerk $G$ ist eine Kante, deren Entfernung aus dem Netzwerk die größte Abnahme des maximalen Flusses von der Quelle zur Senke bewirkt. Sei $f$ nun ein maximaler Fluss von Quelle zu Senke in $G$. Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Behauptungen:

a) Eine aktivste Kante ist eine Kante $e$ mit maximalem Fluss $f(e)$.
b) Eine aktivste Kante ist eine Kante $e$ mit maximalem Fluss $f(e)$ unter jenen Kanten, welche zu einem minimalen Schnitt $(S,T)$ gehören.
c) Eine Kante, welche zu keinem minimalen Schnitt gehört, kann keine aktivste Kante sein.
d) Ein Netzwerk kann mehrere aktivste Kanten enthalten.



Meine Ideen:

ad a): Ich vermute ja, weiß allerdings nicht wie ich das formal am besten zeigen/schreiben könnte.

ad b): Was ist damit gemeint "zu einem Schnitt gehört"? Der Schnitt besteht ja aus den Knoten, nicht aus den Kanten. Sind damit die Kanten gemeint, welche die Knoten der beiden "Schnittmengen" verbinden?

ad c): siehe ad b):

ad e): Wenn a) zutrifft, dann wird denke ich auch e) zutreffen, man stelle sich nur ein Netzwerk vor, dass von der Quelle $s$ die beiden Knoten $a$ und $b$ mit gleich großem Fluss $f$ "bedient". Führen diese beiden Knoten den Fluss dann zur Senke $t$, dann ist: $f(sa) = f(sb) = f(at) = f(bt)$ (wobei $sa$ die Kante von $s$ zu $a$ bezeichnet etc), somit führen alle Kanten des Netzwerkes den selben Fluss, eine Entfernung irgendeiner Kante hat also den Effekt den Fluss zu halbieren, dabei ist es egal welche Kante entfernt wird. Somit sind alle Kanten "aktivste Kanten". Dieses Beispiel sollte hier doch als Beweis reichen, nicht?

Weiß jemand weiter?

Grüße,

Silverhammer


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
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Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-16 00:57

Wie habt ihr denn "Schnitt" definiert?

Typischerweise ist das eine Zerlegung der Knotenmenge V in zwei disjunkte Teilmengen A und B. Alle Kanten, die zwischen A und B verlaufen werden als Schnittkanten bezeichnet und die Summe der Kapazitäten dieser Kanten ist das Gewicht des Schnittes.
Das Max-Flow-Min-Cut-Theorem besagt, dass der maximale Fluss von s nach t gleich dem minimalen Schnitt ist, der s und t trennt.

Wenn Du e) schreibst, meinst Du d). Das Beispiel dort sieht gut aus.

a) und b) sind sich ja sehr ähnlich, schließen sich aber gegenseitig aus. Das kann man nutzen, um gezielt nach einem Gegenbeispiel für die falsche Aussage zu suchen. Man muss also entweder einen Graph finden, bei dem die aktivste Kante (zwar maximalen Fluss hat. aber) nicht zu einem minimalen Schnitt gehört, oder einen Graphen, bei dem die Kante mit dem maximalen Fluss (nicht zu einem minimalen Schnitt gehört und) nicht aktivste Kante ist.

Außerdem fällt auf, wenn b) wahr ist, dann muss auch c) wahr sein. Ist hingegen b) falsch und a) richtig, dann kann c) nicht wahr sein.
Vielleicht helfen die Antworten auf a) und b) dabei auch c) zu lösen.


Clvrhammer
Junior
Dabei seit: 06.11.2019
Mitteilungen: 11
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-16 05:15


Danke für deine Antwort. Ich hab mir das jetzt etwas durchüberlegt.

ad a) siehe Abb. 1: Die Kante $(s,a)$ hat zwar maximalen Fluss, aber entfernt man diese, so kann die Kante $(s,b)$ den fehlenden Fluss ausgleichen. D.h. Aussage a) ist FALSCH.


(Abb.1)

ad b) Für alle Schnittkanten gilt, dass die Kapazität $c(x,y)$ zweier Knoten $x$ und $y$ gleich dem Fluss $f(x,y)$ ist. Entfernt man also die Schnittkante maximalen Flusses, so reduziert sich das Gewicht des Schnittes entsprechend. Da alle anderen Kanten geringere Kapazität haben ist gemäß Max-Flow-Min-Cut Theorem der maximale Fluss am geringsten (von den möglichen Kantenentfernungen betrachtet). D.h. Aussage b) ist WAHR.


ad c) Der maximale Fluss ist über die Summe der Kapazitäten/Flüsse der Schnittkanten bestimmt. Wird eine Kante aus der Menge der Schnittkanten entfernt, so ändert sich der maximale Fluss. Wird eine Kante entfernt, welche keine Schnittkante ist, so ändert sich der maximale Fluss nicht. D.h. Aussage c) ist WAHR. (Kann man das so argumentieren?)


ad d) = e) Siehe Abb.2: Alle Kanten sind aktivste Kanten. D.h. Aussage d) ist WAHR.

(Abb.2)


Ich hoffe soweit so gut. ABER, da ist mir dann doch ein Beispiel eingefallen, was alles wieder über den Haufen wirft. Und zwar ist hier (Abb.3), so wie ich das sehe, die aktivste Kante die Kante $CE$, sie ist aber keine Schnittkante. Demgemäß wäre b) auch FALSCH, und c) dadurch auch FALSCH. Übersehe ich bei Abb.3 irgendetwas wesentliches? Oder ist es tatsächlich so einfach?


(Abb.3)

Grüße,

Silverhammer


Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6546
Aus: Niedersachsen
Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-16 08:51

Nur kurz:

Da ist noch ein bisschen was zu tun.

Das Beispiel in a) hat keinen maximalen Fluss.

Bei den beiden "Lösungen" für c) (und b)) musst Du Dich noch für die richtige entscheiden.

Zu "Ist s so einfach?": Nicht alle Aufgaben müssen super schwer sein. Wie man sieht reichen die hier ja schon aus, um zum Nachdenken anzuregen.




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Druckdatum: 2020-09-19 01:46