Forum:  Atom-, Kern-, Quantenphysik
Thema: Expliziter Ausdruck der Molekülwellenfunktion von H2+
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apollon1292
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Dabei seit: 30.12.2019
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Themenstart: 2019-12-30 12:17

Hallo zusammen,
ich hoffe ihr hattet schöne Weihnachtsfeiertage.

Ich sitze gerade an der Lösung einer Übungsklausur und eine Frage quält mich seit einigen Tagen, da mir leider keine Musterlösung zur Verfügung steht.

In der Aufgabe wird gefragt nach dem expliziten Ausdruck der Molekülwellenfunktion des Wasserstoffmolekülions H2+ im 2s-Orbital.

Mein Ansatz lautet:



Wobei I das Überlappungsintegral ist und PHI_A sowie PHI_B die jeweiligen atomaren Wellenfunktionen bezeichnet.

Die Frage ist nun, wo hier das 2s-Orbital einfließt. Nur in die atomaren Wellenfunktionen? Und müsste ich diese ausschreiben, wenn nach "expliziter Wellenfunktion" gefragt wird? Und wenn ja, wie sähe das dann aus?

Wir haben leider keine Übungsaufgaben bekommen und das Skript gibt nicht wirklich viel dazu her.

Eine weitere Frage:
Es wird weiterhin noch nach Eigenschaften des H2+ Ionenmoleküls gefragt. Ich habe leider keine Ahnung, welche Eigenschaften hier gemeint sein könnten, da die folgende Frage die nach der Stabilität des Moleküls ist. Es muss also um andere Eigenschaften gehen.

Hier würde ich mit den Besetzungen der Orbitale argumentieren und damit, dass das Molekül ja angeregt ist und das ganze wohl in einen 1s Zustand übergehen würde.

Dies scheint aber nicht die gewünschte Antwort zu sein, da mein Dozent mir einen kryptischen Hinweis gegeben hat, dass hier irgendetwas mit "Erwartungswert des Hamiltonoperators" in Bezug auf die Stabilitätsbeurteilung gewünscht ist. Dazu gibt mein Skript leider ebenfalls nichts her.

Ich bin für jeden, auch kleinen, Hinweis dankbar.

Vielen Dank im Voraus!


wladimir_1989
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Dabei seit: 23.12.2014
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Aus: Freiburg
Beitrag No.1, eingetragen 2019-12-30 14:25

Hallo apollon1292 und willkommen auf dem Matheplaneten,

leider habe ich mich mit diesem Thema lange nicht mehr beschäftigt, also erzähle ich hoffentlich keinen Unsinn. Ich würde sagen, dein Ansatz ist richtig und du kannst für die beiden atomaren Wellenfunktionen einfach die expliziten Ausdrücke für 2s-Orbitale von atomarem Wasserstoff einsetzen. Diese Ausdrücke solltest du im Internet ganz leicht finden können z.B. Wikipedia/Wasserstoffatom. Das einzige, was man, denke ich, noch ändern muss, ist das Argument der atomaren Wellenfunktionen. Diese sind stets um den jeweiligen Atomkern zentriert, es sollte also \(\Phi(\vec r-\vec r_1)\) und \(\Phi(\vec r-\vec r_2)\) lauten. Das kann man hier noch genauer nachlesen. Die Indizien A und B sind dann nicht mehr notwendig, da es sich in beiden Fällen um  Wasserstoff handelt. Außerdem fehlt noch eine Wurzel bei der Normierung \(2+2I\).

lg Wladimir

 


apollon1292
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Dabei seit: 30.12.2019
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-30 14:53

Vielen Dank, das hilft mir schon mal viel weiter.

Die Wurzel im Nenner hatte ich tatsächlich einfach vergessen, die gehört da natürlich noch hin. :)

Was mit der Frage nach den Eigenschaften gemeint ist, da hast du auch keine Idee, oder?

Viele Grüße,
apollon1292


Tirpitz
Senior
Dabei seit: 07.01.2015
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Beitrag No.3, eingetragen 2019-12-30 21:16

Hallo!

Disclaimer: Gut möglich, dass ich ebenfalls hier Unsinn verzapfen könnte, wenn ich also nur zur Verwirrung beitrage, kann mein Beitrag getrost ignoriert werden.

Wie lautet die Aufgabenstellung im Wortlaut? Die "Molekülwellenfunktion des Wasserstoffmolekülions H2+" ist, wenn man es genau nimmt, m.E. eine normierte (und in den Protonen antisymmetrische) 3-Teilchen-Wellenfunktion \(\Psi(\vec r_1,\sigma_1,\vec r_2,\sigma_2,\vec r_e,\sigma_e)\) mit den beiden Protonen-Spin/Orbit-Koordinaten \(\vec r_{1,2},\sigma_{1,2}\) und der Elektronenkoordinate \(\vec r_e, \sigma_e\). Das könnte aber ein eher kompliziertes Konstrukt werden, weshalb ich mir nicht vorstellen kann, dass die Aufgabe darauf abzielt.

Oder ist nur die Elektronen-(orts-)wellenfunktion gemeint? Das ist denkbarer, aber dann ergibt das Konzept eines 2s-Orbitals keinen Sinn. Der Hamiltonoperator des Wasserstoffmolekülions ist nicht rotationssymmetrisch, das Quadrat des Elektronendrehimpulses kommutiert nicht mit dem Hamiltonian und seine Eigenwerte sind damit keine guten Quantenzahlen. Es bleiben nur "gröbere" Symmetrien wie Rotationen um die Molekülachse, Spiegelung an Ebenen, die die Achse enthalten und Inversion am Zentrum. Typischerweise wird dann aber ein Termsymbol wie \(A^{2S+1}\Sigma_g^ +\) benutzt, was so etwas wie der erste angeregte Zustand (X,A,B,...) mit Projektion 0 (\(\Sigma\)) des Bahndrehimpulses auf die Molekülachse ist (also was man irgendwie mit "2s" assozieeren könnte, aber nicht wirklich), mit wahlweiser gerader/ungerader Symmetrie bzgl. Inversion und (Anti-)symmetrie +/- bzgl. der Spiegelung an der Ebene.

Egal wie, "2s" ergibt m.E. keinen Sinn.


apollon1292
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Dabei seit: 30.12.2019
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-12-31 10:57

Hallo Tirpitz,

danke für deine ausführliche Antwort.

Die Frage lautete im Wortlaut "Nennen Sie die explizite Molekülwellenfunktion von H2+ (2s)!"

Dazu ist noch zu sagen, dass es sich um LCAO handelt und daher ohnehin alles nur Näherungen sind und keineswegs die analytisch exakte Form der expliziten Molekülwellenfunktion gefordert ist. Ich kann mir vorstellen, dass du hier jetzt davon ausgegangen bist, dass die analytisch exakte Form gefordert ist, da hätte ich vielleicht noch etwas deutlicher machen müssen, dass es sich um eine Frage im Rahmen von LCAO handelt.

Ich habe dann gestern irgendwo versteckt im Kleingedruckten dann doch noch den Hinweis gefunden, dass, wenn man angeregte Zustände betrachten will, man einfach die angeregten atomaren Wellenfunktionen her nimmt und entsprechend kombiniert.

Ich sehe daher auch kein Problem darin, auf diese Weise die Molekülwellenfunktion eines angeregten H2+-Molekülions aufzustellen, denn über Stabilität usw. wurde ja erstmal keinerlei Aussage gemacht. Wenn es ein Wasserstoffatom im 2s-Zustand geben kann, wieso sollte es dann kein H2+-Molekülion im 2s-Zustand geben können (auch wenn es offensichtlich nicht stabil ist)?

Viele Grüße,
apollon1292




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Druckdatum: 2020-04-05 21:47