Forum:  Schwingungen und Wellen
Thema: Wellengleichung einer Saite bei rechteckförmiger Auslenkung
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Mandacus
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Themenstart: 2019-12-30 21:13

Guten Abend,

ich habe ein Problem mit der Lösung einer Wellengleichung bei vorgegebener rechteckiger Anfangsauslenkung.

Die Auslenkung einer Saite wird beschrieben durch die Wellengleichung

\[\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} – c^2 \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} =0 \ wobei \ w=w(x,t).\]

Betrachten Sie eine an den Rändern fest eingespannte Saite (w(0,t)=w(l,t)=0) der Länge l mit den Anfangsbedingungen  

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und \( \dot{w(x,0)}=0\).


a) Bestimmen Sie nun w(x,t) mithilfe der Lösungsformel von D’Alembert und skizzieren Sie w(x,t) für verschiedene Zeiten zwischen t=0 und \(t=\frac{l}{c}\)

Hinweis: Setzen Sie die Lösung w(x,t) an den Rändern geeignet fort um die Randbedingungen stets zu erfüllen. Das heißt, Sie stellen sich vor, die Saite wird über die Ränder hinaus fortgesetzt und auf den zusätzlichen (virtuellen) Stellen befinden sich ebenfalls Schwingungen. Nutzen Sie dann das Prinzip der Superposition.

b) Bestimmen Sie w(x,t) mithilfe des Ansatzes
\(w(x,t)=[A \ cos(\omega t)+B \ sin(\omega t)] \cdot [C \ cos(\frac{\omega x}{c})+D \ sin(\frac{\omega x}{c})]\)

Hinweis: Berechnen Sie das Integral \(\int\limits_{0 }^{l} w(x,0) sin(\frac{n \pi x}{l}) \ dx \)  zur Bestimmung der allgemeinen Lösung. Verwenden Sie die Orthogonalitätsrelation

\[\int\limits_{0 }^{1} sin(n \pi x) \ sin(m \pi x) \ dx =\frac{1}{2} \delta_{m,n}\]

für n,m  \( \in N \setminus \{0\} \).

Mein Problem:
Das  Problem liegt zunächst bei a). Die Formel von D’Alembert lautet:

\[w(x,t)=\frac{1}{2} \cdot (w(x+ct,0) + w(x-ct,0) + \frac{1}{c} \cdot \int\limits_{x-ct}^{x+ct} \dot{w(y,0)} \ dy \].




Mit der Bedingung \( \dot{w(x,0)}=0 \) vereinfacht sich dies zu

\[w(x,t)=\frac{1}{2}(w(x+ct,0)+ w(x-ct,0)) \]


Ich weiß aufgrund der Randbedingungen, dass gilt:


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Das liefert mir aber noch keine schönen Bedingungen an w(x,t), da die Ausdrücke x+ct und x-ct sowohl von dem Ort x als auch von der Zeit t abhängen. Daher meine Frage: Welche Informationen kann man aus den gegebenen Informationen um eine schöne Darstellung für w(x,t) zu bestimmen?  




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Druckdatum: 2020-04-10 20:54