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Thema: Separabel, "Linienzustände"
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seim
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Themenstart: 2020-01-01 20:50

Hallo,
ich bräuchte hilfe bei folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass der Zustand \(\rho=\frac{1}{d}\sum_{k=0}^{d-1}P_{0,k}\) separabel ist.
Hier ist: \(P_{k,j}=|\Omega_{k,j}><\Omega_{k,j}|\) mit \(|\Omega_{k,j}>=(W_{k,j}\otimes \mathbb{1})\sum_{s=0}^{d-1}|s,s>\). (\(W_{k,l}\) sind Weyl-Operatoren)
Was ich mir überlegt habe ist: Wenn ich die untiräre transformation \(U=U_a \otimes U_b)\) mit \((U_a\otimes 1):\;|s,s> \rightarrow\,\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_t \omega^{ts}|t,s> \) und \((1\otimes U_b):\;|s,s> \rightarrow\,\frac{1}{\sqrt{d}}\sum_t \omega^{-ts}|s,t> \) (\(\omega=e^{2\pi i/d}\)) folgendermaßen anwende \(\frac{1}{d}\sum_{k=0}^{d-1}UP_{0,k}U^\dagger\), kann ich zeigen, dass der resultierende Dichteoperator eine Diagonalmatrix und damit separabel ist. Ich weiß nur leider nicht, ob mein Ansatz legitim ist. Verändere ich mit der Transformation (unter der die Bellzustände invariant sind), ob mein Zustand verschränkt/separebel ist?
Gibt es vielleicht einen besseren Ansatz?
Vielen Dank!


zippy
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-02 00:35

Eine lokale unitäre Transformation ändert die Verschränktheit eines Zustands nicht.

Du hast allerdings nicht gezeigt, dass die Transformation $\left|s,s\right>\mapsto\frac1{\sqrt{d}}\sum_t\omega^{ts}\,\left|t,s\right>$ lokal unitär ist, sondern sie nur suggestiv als $U_a\otimes1$ bezeichnet.

--zippy


seim
Aktiv
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-02 11:45

Wie kann ich das machen? Wie schaut eine lokale Transformation in diesem Zusammenhang aus? Sorry, ich hab gerade echt keinen Plan...
Und ändere ich mit einer untären lokalen Transformation die Verschränkung, wenn ich Sie nicht auf den Zustand sondern auf die einzelnen Summanden anwende?


zippy
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-02 12:09

2020-01-02 11:45 - seim in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie kann ich das machen?

Fang nicht mit $(U_a\otimes1)|s,s\rangle$ an, sondern definiere $U_a|s\rangle$ und zeige dann, dass $U_a$ unitär ist.

2020-01-02 11:45 - seim in Beitrag No. 2 schreibt:
Wie schaut eine lokale Transformation in diesem Zusammenhang aus?

So, wie du es schon richtig hingeschrieben hast, $U_a\otimes U_b$.

2020-01-02 11:45 - seim in Beitrag No. 2 schreibt:
Und ändere ich mit einer untären lokalen Transformation die Verschränkung, wenn ich Sie nicht auf den Zustand sondern auf die einzelnen Summanden anwende?

Könntest du mal hinschreiben, was du damit meinst?

Hinschreiben solltest du auch euere Definition der $W_{k,j}$.


seim
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-02 14:33

Also ich denke die Transformation \(U_a\) die Matrixform:
 \[U_a =
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
1 & \omega & \omega^2 & \cdots & \omega^{d-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\
 1 & \omega^{d-1} & \omega^{2(d-1)}& \cdots& \omega^{(d-1)^2}
\end{pmatrix}
\] Man kann dann leicht zeigen, dass die Matrix unitär ist.
Ich hab gerade gesehen, dass meine Frage bezüglich der Anwendung auf Summanden sich eigentlich auf das nächste Beispiel bezieht. Das würde ich dann gerne besprechen, wenn ich mit dem jetzigen fertig bin.

Wir haben die Weyl- Matrizen kennengelernt als: \(W_{k,l}=\sum_{j=0}^{d-1} \omega^{jk}|j><j+l|\). Wendet man sie auf\(|s>\) an gilt: \(W_{k,l}|s>=\omega^{k(s-l)}|s-l>\).


seim
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-02 23:22

Bin ich damit komplett auf dem Holzweg?


zippy
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-03 00:58

2020-01-02 23:22 - seim in Beitrag No. 5 schreibt:
Bin ich damit komplett auf dem Holzweg?

Dass $U_a$ unitär ist, wird jetzt klar. Dass $U_a\otimes U_b$ die Separabilität von $\rho$ offensichtlich macht (wie du es im Startbeitrag schreibst), habe ich aber nicht nachgeprüft.




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Druckdatum: 2020-04-05 21:19