Forum:  Integration
Thema: Integral aus dem Bronstein
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Dachprodukt
Junior
Dabei seit: 28.12.2019
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Themenstart: 2020-01-15 14:17

Hallo,

ich hoffe dass ich mit dem Thema im richtigen Unterforum gelandet bin.

Es geht um ein Integral aus dem Bronstein, das wie folgt angegeben ist [1]:
\[ \int \frac{1}{\cos x} dx
= \operatorname{Artanh} \operatorname{Artanh}\big(\sin x\big)
= \ln \bigg| \tan \bigg( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \bigg) \bigg| \] bzw. noch mit einer Integrationskonstante.

Mit der rechten Lösung bin ich zufrieden (meine weiteren Rechnungen haben damit funktioniert), jedoch frage ich mich, ob die Gleichheit der beiden Lösungen wirklich stimmt.

Plotte ich beide Lösungen beispielsweise mit Desmos, erhalte ich verschiedene Graphen.
Auch meine weiteren Rechnungen mit dem Integral funktionieren nur mit der rechten Lösung, nicht aber mit der mittleren.

Könnte sich vielleicht ein Fehler in den Bronstein geschlichen haben oder mache ich irgendwas falsch?

Vielen Dank für eure Antworten.

Gruß
Dachprodukt

[1] Handbook of Mathematics, Ilja N. Bronshtein, Fifth Edition. Seite 1044

Nachtrag:
Ich hab mal noch schnell einen Link von Desmos erstellt, damit ihr euch selbst ein Bild machen könnt.



Conny42
Aktiv
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-15 17:01

Huhu Dachprodukt,

da hat sich im Bronstein ein Fehler eingeschlichen, es müsste

$\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos(x)}\, dx = \mbox{Artanh}(\sin(x))$

heißen.
Es ist ja (für $x \notin \dfrac{\pi}{2}\mathbb{Z}$)

$\dfrac{d}{dx} \mbox{Artanh}(\sin(x)) = \dfrac{1}{1-\sin^2(x)} \cdot \cos(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}.$

Liebe Grüße,
Conny


Ehemaliges_Mitglied
Neu
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-15 17:35

$\require{enclose}$
2020-01-15 14:17 - Dachprodukt im Themenstart schreibt:

\[ \int \frac{1}{\cos x} dx
=
\enclose{downdiagonalstrike,updiagonalstrike}[mathcolor="red"]{\operatorname{{\color{black}{Artanh}}}}
\operatorname{Artanh}\big(\sin x\big)
= \ln \bigg| \tan \bigg( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \bigg) \bigg| \]


Das ist einfach ein $\text{Artanh}$ zuviel.


<math>
\begin{tikzpicture}[font=\footnotesize,
]
\pgfkeys{/pgf/declare function={artanh(\x) = 0.5*(ln(1+\x)-ln(1-\x));}}
\begin{axis}[
title={$\color{red} \ln \bigg| \tan \bigg( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \bigg) \bigg|$, ~~~
$\color{blue!50!white} \text{Artanh}\bigl( \sin(x) \bigr)$
},
axis lines = middle,
axis line style = {-latex},
samples     = 777,
trig format =rad,
%xmin = -5.5, xmax=5,
ymin = -5, ymax=5,
%minor tick num=1,
%enlarge x limits={abs=1,lower},
%enlarge y limits={abs=1},
xlabel={$x$},
xlabel style={anchor=north west, inner sep=1pt},
ylabel={$y$},
ylabel style={anchor=east, inner sep=1pt},
domain=-12:12
]
\node[below left] at (0,0) {$0$};
\addplot[blue!50!white, ultra thick] {artanh(sin(\x))};
\addplot[red, thin] {ln(abs(tan(x/2+pi/4))};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
</math>

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


Dachprodukt
Junior
Dabei seit: 28.12.2019
Mitteilungen: 13
Aus:
Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-15 20:21

Hallo ihr beiden,

danke! Da hat sich also echt ein Fehler in den Bronstein eingeschlichen... 😮

Einen schönen Abend und viele Grüße
Dachprodukt


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5630
Aus: Milchstraße
Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-19 22:46

Hallo alle,

in meinem Bronstein (22. Auflage von 1985) steht nur die Formel \(\ln(\tan(\frac x2+\frac\pi4))\).

Dafür hatte ich damals einen anderen Fehler entdeckt. Und zwar steht in meinem Bronstein
\[\int\frac{dx}{a^4+x^4} = \frac1{4a^3\sqrt2} \ln \frac{x^2+ax\sqrt2+a^2}{x^2-ax\sqrt2+a^2} + \frac1{2a^3\sqrt2}\arctan\frac{ax\sqrt2}{a^2-x^2}\] Berechnet man nun etwa \[\int_{0}^2\frac{dx}{1+x^4}\] ergibt sich mit \(a=1\)
\[=\frac1{4\sqrt2} \ln \frac{5+2\sqrt2}{5-2\sqrt2} + \frac1{2\sqrt2}\arctan\frac{2\sqrt2}{-3} - \frac1{4\sqrt2} \ln 1 - \frac1{2\sqrt2}\arctan 0\] \[=\frac1{4\sqrt2} \ln \frac{5+2\sqrt2}{5-2\sqrt2} - \frac1{2\sqrt2}\arctan\frac23\sqrt2\approx0,202\] Wolfram Alpha (was es damals natürlich noch nicht gab) liefert aber 1,07.

Ich habe dann einen Brief in die DDR an den Teubner-Verlag in Leipzig geschrieben. Ein paar Wochen später kam die Antwort von Dr. Günter Grosche: "[...] recht herzlich bedanken. Durch die nicht sachgerechte Anwendung des Additionstheorems für den Arcustangens entstehen tatsächlich in der Stammfunktion Singularitäten, durch die der Definitionsbereich unnötig eingeengt wird. Wir werden den Fehler in der nächsten Auflage beseitigen."

Das ist dann auch geschehen.

Edit:
Hier noch die Briefmarke




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Druckdatum: 2020-04-05 06:03