Forum:  Folgen und Reihen
Thema: Konvergenz von Reihen
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Felix2403
Aktiv
Dabei seit: 03.11.2019
Mitteilungen: 43
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Themenstart: 2020-01-19 17:44

Hallo liebe Leute,

ich habe hier eine Aufgabe, die wirklich sehr einfach scheint, mir jedoch wohl nach längerem Überlegen jetzt ein Schubs in die richtige Richtung gut tun würde.

Sei $a_{n} \geq 0$ für alle positiven natürlichen Zahlen $n$. Zz ist:
Wenn die Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$

Nun machen mir besonders die $a_{n}$ Probleme, die strikt kleiner als 1 sind, da mir da ja das Quadrat im Weg steht. Für alle $a_{n}$ größer gleich 1, wäre die Aufgabe mit Majorantenkriterium ja einfach zu lösen.

Liebe Grüße

Felix


piquer
Senior
Dabei seit: 01.06.2013
Mitteilungen: 416
Aus:
Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-19 19:10

Hi Felix,

der Beweis ist eine direkte Anwendung einer berühmten Ungleichung der Analysis. Wenn ich dir den Namen verrate, ist der Beweis eine Zeile lang.
Daher gebe ich dir den Tipp: Blättere im Skript zurück und suche Definitionen mit "Ungleichung" im Titel.

Viele Grüße
Torsten


Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11377
Aus: Bayern
Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-20 19:54

Hallo,
ganz simpel geht es auch mit Fallunterscheidung, allerdings muß man dabei sorgfältig argumentieren. Betrachte
an<1/n und dann >1/n

Gruß Wauzi


Felix2403
Aktiv
Dabei seit: 03.11.2019
Mitteilungen: 43
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-20 19:59

Tut mir leid, da schwirren mir im Moment zu viele Ungleichungen in meinem Kopf rum.

Bernoulli-Ungleichung, Cauchy-Schwarz (die schließe ich hier jetzt mal aus  😛  ), Dreiecksungleichung...

Zielst du mit deinem Tipp auf letzteres ab oder sehe ich einfach die offensichtliche Lösung nicht ?

Die Dreiecksungleichung war nämlich mein erstes Werkzeug. Mit dem bin ich aber daran gescheitert $a_{n}$ gegenüber $a_{n}^{2}$ abzuschätzen, da $a_{n}$ ja nur größer gleich 0 sein muss...

Liebe Grüße

Felix

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


X3nion
Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 605
Aus:
Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-21 13:04

2020-01-20 19:59 - Felix2403 in Beitrag No. 3 schreibt:
Tut mir leid, da schwirren mir im Moment zu viele Ungleichungen in meinem Kopf rum.

Bernoulli-Ungleichung, Cauchy-Schwarz (die schließe ich hier jetzt mal aus  😛  ), Dreiecksungleichung...

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

Oftmals ist es so, dass man gewisse Sachverhalte außer Acht lässt, weil man sie für nicht zielführend und in der Konsequenz für unwichtig erachtet und somit verkennt, obgleich diese von hoher problemlösender Relevanz geprägt sind! 😉


Viele Grüße,
X3nion


Felix2403
Aktiv
Dabei seit: 03.11.2019
Mitteilungen: 43
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Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-21 19:59

Nein es tut mir leid, es ist ein hoffnungsloser Fall.

Wahrscheinlich bin ich schon irgendwo über den richtigen Ansatz gestolpert, aber erkenne ihn einfach nicht.

Welche Ungleichung war denn gemeint ? Ich sehe es wirklich einfach nicht.

X3nion's Beitrag führte mich jetzt eher in Versuchung mir die Cauchy-Schwarz Ungleichung im reellen Fall nochmal genauer anzuschauen, aber auch hier habe ich keine Anwendbarkeit für meine Aufgabe entdeckt.

@Wauzi, danke auch dir für deinen Tipp. Ich würde gerne erst den Tipp mit der Ungleichung abdecken, bevor ich mir die Fallunterscheidung vornehme. Ich habe deinen Beitrag aber nicht vergessen :)

Liebe Grüße

Felix


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 627
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-21 20:08

Hi,

es ist $$ \sum_{n=1}^N \frac{a_n}{n} = \sum_{n=1}^N a_n \cdot \frac{1}{n} \leq (\dots)(\dots).$$ Die Lücken sind mit Cauchy-Schwarz auszufüllen. (Das erste '=' soll verdeutlichen, worauf CS angewendet werden soll.)




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Druckdatum: 2020-04-06 16:36