Forum:  Holomorphie
Thema: Meromorphe Fortsetzung
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CainpLahn
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Dabei seit: 20.01.2020
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Themenstart: 2020-01-20 18:41

Moin zusammen,

Hat jemand eine Idee wie man bei folgender Aufgabe ansetzen kann?


H:={ z \(\in \mathbb{C} \); Re z > 0 }

f: H --> \(\mathbb{C}\) holomorph,   f(1) = 1,   f(z+1) = zf(z) für alle z \( \in \) H

Zeige, das f meromorph fortsetzbar auf ganz \(\mathbb{C}\) ist, mit Singularitätenmenge \(-\mathbb{N}_0\) .


ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2708
Aus: der Nähe von Schwerin
Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-20 22:18

Hallo,

kennst du eine Funktion $f\colon \mathbb{N}\to\mathbb{N}$, die $f(1)=1$ und $f(z+1)=zf(z)$ für alle $z\in \mathbb{N}$ erfüllt? Sie hat einen Namen und einen eigenen Wikipedia-Eintrag. Vielleicht ist sie dir schon mal bei der Berechnung des Kugelvolumens begegnet.


Red_
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Dabei seit: 28.09.2016
Mitteilungen: 664
Aus: Erde
Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-20 22:42

Hallo willkommen auf dem Matheplaneten.
Ich hoffe ich irre mich nicht:
Aber fällt dir vielleicht eine Funktion ein, die \(f(1)=1\) und \(f(z+1)=z\cdot f(z)\) erfüllt? Wenn Ja, ist diese holomorph auf deinem \(H\)? Kannst du den Definitionsbereich dieser Funktion vergrößern? Warum muss dein \(f\) gerade genau diese Funktion sein und keine andere?

Red_

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


CainpLahn
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Dabei seit: 20.01.2020
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-21 22:03

Danke schon mal, das müsste die Gammafunktion sein, ich stehe zwar noch etwas auf dem Schlauch wie es weitergeht aber ich versuch mich da gerade mal tiefer einzulesen


CainpLahn
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Dabei seit: 20.01.2020
Mitteilungen: 3
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-21 22:46

Naja man kann ja umformen zu

\(f(z) = \frac{f(z+1)}{z} = \frac{f(z+2)}{z\cdot(z+1)} = ... = \frac{f(z+n+1)}{z\cdot(z+1)\cdot...\cdot(z+n)}\)

Man sieht im Nenner jetzt schon mal wo die Singularitäten \(-\mathbb{N}_0\) herkommen.

Aber woher weiß man jetzt, dass die Funktion auf dem Rest der linken Halbebene holomorph ist?




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Druckdatum: 2020-04-05 22:50