Forum:  Körper und Galois-Theorie
Thema: Zwischenkörper bestimmen
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felix0429
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Themenstart: 2020-01-21 18:16

hallo ich hab ne Aufgabe wie unten.

Meine  idee ist: zuerst berechne ich die Nullstellen nämlich: ±√-10 und ±√3. d.h L=Q(√-10,√3). dann muss man galois-gruppe finden. aber wie kann man die finden? kann jemand mir erklären?

vielen dank!



Kezer
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-21 18:23

Hi,

bei so einem Beispiel ist doch gar nicht so viel zu tun. Mit der Galoistheorie weißt du, wieviele Zwischenkörper es gibt und die Zwischenkörper sind nicht schwierig zu erraten.


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-21 18:29
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Hallo felix0429,

die Elemente der Galoisgruppe eines Polynoms sind durch die Bilder der Nullstellen eindeutig bestimmt, und sie bilden Nullstellen auf Nullstellen ab. Damit kannst du dir eigentlich schon alle Elemente der Galoisgruppe konstruieren, indem du ein Bild von $\sqrt 3$ und von $\sqrt{-10}$ angibst (die Bilder von $-\sqrt3$ und $-\sqrt{-10}$ sind dann durch die $\Q$-Homomorphismuseigenschaft bereits festgelegt.)

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

felix0429
Aktiv
Dabei seit: 10.04.2019
Mitteilungen: 38
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Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-21 18:53
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2020-01-21 18:29 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo felix0429,

die Elemente der Galoisgruppe eines Polynoms sind durch die Bilder der Nullstellen eindeutig bestimmt, und sie bilden Nullstellen auf Nullstellen ab. Damit kannst du dir eigentlich schon alle Elemente der Galoisgruppe konstruieren, indem du ein Bild von $\sqrt 3$ und von $\sqrt{-10}$ angibst (die Bilder von $-\sqrt3$ und $-\sqrt{-10}$ sind dann durch die $\Q$-Homomorphismuseigenschaft bereits festgelegt.)

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



danke für die Antwort!
ich hab dann so gemacht . ist das richtig? oder wie soll ich meine Lösung verbessern?
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-21 19:48

Woher kommen diese Einheitswurzeln?


juergenX
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-21 20:38

2020-01-21 18:16 - felix0429 im Themenstart schreibt:
hallo ich hab ne Aufgabe wie unten.

Meine  idee ist: zuerst berechne ich die Nullstellen nämlich: ±√-10 und ±√3. d.h L=Q(√-10,√3). dann muss man galois-gruppe finden. aber wie kann man die finden? kann jemand mir erklären?

vielen dank!



Dein f(x) ist ja reduzibel und zerfällt in $\displaystyle (x^2-3)(x^2+10)$.
Also ist $\displaystyle Gal(f(x))= C_2 \times C_2$ ein Kreuzprodukt 2er transpositionen und nicht transitiv. Es gibt zunächst 2 verschiedene Zwiachenkörper, in denen die beiden irreduziblen Teile aufgehen. $\displaystyle Q(\sqrt{-30})$ ist auch ein ZK, der die anderen beiden enthält.
(an der Stelle würd ichs nochmal nachtechnen  😉 )
Einheitswurzeln braucht man nicht.


weird
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Dabei seit: 16.10.2009
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Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-21 23:07

2020-01-21 20:38 - juergenX in Beitrag No. 5 schreibt:
$\displaystyle Q(\sqrt{-30})$ ist auch ein ZK, der die anderen beiden enthält.
(an der Stelle würd ichs nochmal nachtechnen  😉 )

Was natürlich Unsinn ist! Wie kommst du bloß auf die Idee, dass $\mathbb Q(\sqrt{-30})$ die beiden anderen Zwischenkörper, also dann insbesondere $\sqrt 3$ und $\sqrt{-10}$ enthalten könnte?  😮


juergenX
Aktiv
Dabei seit: 08.07.2019
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Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-22 00:31

2020-01-21 23:07 - weird in Beitrag No. 6 schreibt:
2020-01-21 20:38 - juergenX in Beitrag No. 5 schreibt:
$\displaystyle Q(\sqrt{-30})$ ist auch ein ZK, der die anderen beiden enthält.
(an der Stelle würd ichs nochmal nachtechnen  😉 )

Was natürlich Unsinn ist! Wie kommst du bloß auf die Idee, dass $\mathbb Q(\sqrt{-30})$ die beiden anderen Zwischenkörper, also dann insbesondere $\sqrt 3$ und $\sqrt{-10}$ enthalten könnte?  😮

ich rechnete dass alle $\displaystyle a+\sqrt 3$ darstellbar sind als $\displaystyle a+b\sqrt{-30} = a+b\sqrt{3}*c\sqrt{-10}$ und alle $\displaystyle c+e\sqrt{-30}$ darstellbar als $c+e\sqrt{-10}*f\sqrt{3}$.
also $\displaystyle Q(\sqrt{-30}) \supset Q(\sqrt{3})$ und $\displaystyle Q(\sqrt{-30}) \supset Q(\sqrt{-10})$.
genau wie $\displaystyle Q(\sqrt{6}) \supset Q(\sqrt{3})$ und $\displaystyle Q(\sqrt{6}) \supset Q(\sqrt{2})$.


oder ist $\displaystyle Q(\sqrt{-30})$ wie der te schrieb gar kein ZK? oder an anderers stelle der Hierarchie?
PS:
Die Buschtabenvergabe ist nicht ganz sauber oben aber prinzipell meine ich : $Q(\sqrt{-30})\supset Q(\sqrt3)\land Q(\sqrt{-30})\supset Q(\sqrt{-10})$.


weird
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Dabei seit: 16.10.2009
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Beitrag No.8, eingetragen 2020-01-22 08:53

2020-01-22 00:31 - juergenX in Beitrag No. 7 schreibt:
Die Buschtabenvergabe ist nicht ganz sauber oben aber prinzipell meine ich : $Q(\sqrt{-30})\supset Q(\sqrt3)\land Q(\sqrt{-30})\supset Q(\sqrt{-10})$.

Ja, ja, das hatte ich schon verstanden, aber es stimmt halt einfach nicht, und damit meine ich nicht deine "Buschtabenvergabe".  😮  

Denn dies würde ja z.B. bedeuten, dass $\sqrt 3\in\mathbb Q(i\sqrt{30})$, also dann
\[\exists a,b\in\mathbb Q:\ \sqrt 3=a+bi\sqrt{30}\] gilt, woraus durch Vergleich der Realteile der beiden Seiten dieser Gleichung sofort
\[\sqrt 3=a\in\mathbb Q\] folgen würde. Und ja, dass das ein Widerspruch ist, wussten schon die alten Griechen.  😁  


Vercassivelaunos
Senior
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 808
Aus:
Beitrag No.9, eingetragen 2020-01-22 09:03
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Hallo juergenX,

Damit $a+b\sqrt 3\in\Q(\sqrt{-30})$ muss die Zahl darstellbar sein als $a+b\sqrt3=c+d\sqrt{-30}$ mit rationalen $a,b,c,d$. Das ist nicht möglich, was man zum Beispiel dadurch sieht, dass dann $(a-c+b\sqrt3)^2=(d\sqrt{-30})^2$ sein müsste, aber hier ist die linke Seite irrational und die rechte Seite rational (außer wenn $b=0$ oder $a=c$, aber der letztere Fall führt zu $b\sqrt3=d\sqrt{-30}$, was wieder nicht geht, und der erstere schließt alle irrationalen Elemente von $\Q(\sqrt3)$ aus).
$\Q(\sqrt{-30})$ ist schon ein Zwischenkörper, aber die Hierarchie ist tatsächlich anders, nämlich ist er in keinem anderen echten Zwischenkörper enthalten, und kein anderer echter Zwischenkörper ist in ihm enthalten. Er ist der Fixkörper der vom $\Q$-Automorphismus $\sqrt3\mapsto-\sqrt3,~\sqrt{-10}\mapsto-\sqrt{-10}$ erzeugten Gruppe. Diese Untergruppe der Galoisgruppe ist ja auch weder in einer anderen echten Untergruppe enthalten, noch enthält sie eine andere echte Untergruppe.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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juergenX
Aktiv
Dabei seit: 08.07.2019
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Beitrag No.10, eingetragen 2020-01-22 19:39

2020-01-22 08:53 - weird in Beitrag No. 8 schreibt:
2020-01-22 00:31 - juergenX in Beitrag No. 7 schreibt:
Die Buschtabenvergabe ist nicht ganz sauber oben aber prinzipell meine ich : $Q(\sqrt{-30})\supset Q(\sqrt3)\land Q(\sqrt{-30})\supset Q(\sqrt{-10})$.

Ja, ja, das hatte ich schon verstanden, aber es stimmt halt einfach nicht, und damit meine ich nicht deine "Buschtabenvergabe".  😮  

Denn dies würde ja z.B. bedeuten, dass $\sqrt 3\in\mathbb Q(i\sqrt{30})$, also dann
\[\exists a,b\in\mathbb Q:\ \sqrt 3=a+bi\sqrt{30}\] gilt, woraus durch Vergleich der Realteile der beiden Seiten dieser Gleichung sofort
\[\sqrt 3=a\in\mathbb Q\] folgen würde. Und ja, dass das ein Widerspruch ist, wussten schon die alten Griechen.  😁  

Ach ja, Danke für die Erklärungen! Ich dachte schon, das kann irgendwie nicht stimmen, klar weil der Körper $\displaystyle Q(\sqrt{-30}$ kein echter Oberkörper der anderen beiden ist.
Um die Frage des TE zu beantworten;
$Gal(f(x))=C2×C2$  ist richtig und die ZK sind wie in Beitrag 3 beschrieben.







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Druckdatum: 2020-03-31 03:06