Forum:  Notationen, Zeichen, Begriffe
Thema: Die Notation von Ableitungen und Integralen
Themen-Übersicht
Trebron98
Junior
Dabei seit: 06.01.2020
Mitteilungen: 11
Aus:
Themenstart: 2020-01-22 17:49

fed-Code einblenden


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4871
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-22 18:18
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo Trebron98 und Willkommen hier im Forum!

2020-01-22 17:49 - Trebron98 im Themenstart schreibt:
fed-Code einblenden

Weder noch. Das sind einfach Differentiale und das ganze ist eine beliebte Schreibweise für sog. Exakte Differentialgleichungen.

Du könntest den zweiten Summand auf die andere Seite bringen und die Gleichung noch durch das Produkt \(xy\) dividieren, dann hättest du die Variablen separiert.

Für sich genommen sind Differentiale im Prinzip infinitesimal kleine Strecken entlang der betreffenden Koordinatenachse.


Gruß, Diophant  
\(\endgroup\)

Trebron98
Junior
Dabei seit: 06.01.2020
Mitteilungen: 11
Aus:
Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-22 18:31

Okey, das macht auf jeden Fall Sinn, da die erste Teilaufgabe darin besteht zu überprüfen, ob die Differentialgleichung exakt ist.
Vielen Dank!


jacha2
Senior
Dabei seit: 28.05.2013
Mitteilungen: 1099
Aus: Namur
Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-23 19:13

Salut,

kannst Du mich auch darüber informieren, ...
2020-01-22 17:49 - Trebron98 im Themenstart schreibt: fed-Code einblenden
In meiner Aufgabe steht zum einen das Differentialgleichungssystem
x'=(y^2-1)*x
y'=(1-x^2)*y
...
fed-Code einblenden
...seit wann man diese Notation mit x' verwendet? Ich kenne bislang nur -  wenn x die unabhängige Variable ist - die Notation f'(x) = df(x)/dx und x' nur im Zusammenhang mit Koordinatentransformationen, wenn bspw. zwischen verschiedenen Systemen S und S' unterschieden werden soll.

Adieu


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1487
Aus:
Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-23 20:13

2020-01-23 19:13 - jacha2 in Beitrag No. 3 schreibt:
kannst Du mich auch darüber informieren, ...
...seit wann man diese Notation mit x' verwendet?

Wenn man Funktionen einer Variablen hat, ist es nicht ungewöhnlich, deren erste Ableitungen mit einem Strich zu bezeichnen.

Hier drei Beispiel von DGL-Systemen, die in dieser Weise notiert sind:







Quellen: hier und hier


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4871
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-23 20:15
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
@jacha2:
In diesem Zusammenhang (exakte DGLen) verstehe ich das so:

\[x'=\frac{dx}{dy},\ y'=\frac{dy}{dx}\]
Ich habe das auch schon in der Literatur so gesehen, weiß aber auf Anhieb keine Quelle.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]
\(\endgroup\)

jacha2
Senior
Dabei seit: 28.05.2013
Mitteilungen: 1099
Aus: Namur
Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-23 21:24

Salut,
daß mir die Apostrophierung als Ableitungssymbol sehr wohl bekannt ist, ...
2020-01-23 20:13 - zippy in Beitrag No. 4 schreibt: ...Wenn man Funktionen einer Variablen hat, ist es nicht ungewöhnlich, deren erste Ableitungen mit einem Strich zu bezeichnen....
... dachte ich erwähnt zu haben - sogar die guillemets als Symbol der 2. Ableitung usw!
2020-01-23 20:13 - zippy in Beitrag No. 4 schreibt: Hier drei Beispiel von DGL-Systemen, die in dieser Weise notiert sind:

...
Aber bedauerlicherweise konnte ich -anscheinend nur meine-  Verständnisprobleme nicht verdeutlichen, die entstehen, wenn erstere nach letzterer abzuleiten ist - beide aber schlauerweise mit demselben Symbol bezeichnet werden, nur eben einmal mit und einmal ohne "Apostroph". Was sollte etwa x' = dx(x)/dx ergeben?
Insofern ist das erste DGL-System-Beispiel nicht einschlägig.

Hat man zwei Variable, kann man wenigstens schlußfolgern, daß sie wechselseitig nach einander abgeleitet werden sollen. Aber das ergibt sich im Eingangspost auch erst, wenn man alle Gleichungen beisammen hat.

Adieu


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1487
Aus:
Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-23 21:40
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
2020-01-23 20:15 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:
In diesem Zusammenhang (exakte DGLen) verstehe ich das so:

\[x'=\frac{dx}{dy},\ y'=\frac{dy}{dx}\]

Ich kann nicht erkennen, dass das in diesem Zusammenhang einen Sinn ergibt.

In dem Differentialgleichungssystem$$ \begin{align*}
x'&=(y^2-1)\cdot x\\[1.2ex] y'&=(1-x^2)\cdot y
\end{align*}
$$sind $x'$ und $y'$ einfach Ableitungen nach irgendeiner Variablen, die ich mal $t$ nenne. Die durch die Eigenschaft$$ y(t) = f\bigl(x(t)\bigr)$$definierte Funktion $f$ erfüllt dann die Differentialgleichung$$ {\mathrm df\over\mathrm dx}\cdot(f^2-1)\cdot x=(1-x^2)\cdot f
$$oder, wenn man mit etwas abuse of notation statt $f$ wieder $y$ scheibt,$$ (x^2-1)\cdot y\cdot{\mathrm dx}+(y^2-1)\cdot x\cdot{\mathrm dy}=0\;.$$
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
\(\endgroup\)

zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1487
Aus:
Beitrag No.8, eingetragen 2020-01-23 21:45

2020-01-23 21:24 - jacha2 in Beitrag No. 6 schreibt:
daß mir die Apostrophierung als Ableitungssymbol sehr wohl bekannt ist, ...
... dachte ich erwähnt zu haben

Dabei hast du allerdings die Einschränkung "wenn x die unabhängige Variable ist" gemacht, die hier keinen Sinn ergibt.

2020-01-23 21:24 - jacha2 in Beitrag No. 6 schreibt:
Was sollte etwa x' = dx(x)/dx ergeben?

Wo soll denn so ein Ausdruck vorkommen?


Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 4871
Aus: Rosenfeld, BW
Beitrag No.9, eingetragen 2020-01-23 21:50

@zippy:
wenn ich das jetzt nicht völlig missinterpretiere, wird das aber bspw.
hier genauso gehandhabt. Aus der symmetrischen Darstellung entstehen die Differentialquotienten x', y' jeweils durch Division durch eines der beiden Differentiale.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1487
Aus:
Beitrag No.10, eingetragen 2020-01-23 22:01
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
2020-01-23 21:50 - Diophant in Beitrag No. 9 schreibt:
wenn ich das jetzt nicht völlig missinterpretiere, wird das aber bspw.
hier genauso gehandhabt.

Auch dort steht der Strich wie üblich für die Ableitung nach der jeweils unabhängigen Variablen, und die ist einmal $y$ und einmal $x$.

In dem Differentialgleichungssystem im Startbeitrag sind aber $x$ und $y$ die abhängigen Variablen und der Strich steht für die Ableitung nach einer namenlos gebliebenen weiteren Variablen, von der $x$ und $y$ abhängen.
\(\endgroup\)

jacha2
Senior
Dabei seit: 28.05.2013
Mitteilungen: 1099
Aus: Namur
Beitrag No.11, eingetragen 2020-01-24 20:10

Salut,

Verzeihung, ...
2020-01-23 21:45 - zippy in Beitrag No. 8 schreibt:
2020-01-23 21:24 - jacha2 in Beitrag No. 6 schreibt:
daß mir die Apostrophierung als Ableitungssymbol sehr wohl bekannt ist, ...
... dachte ich erwähnt zu haben
Dabei hast du allerdings die Einschränkung "wenn x die unabhängige Variable ist" gemacht, die hier keinen Sinn ergibt.
...wenn auch mein Versuch, nicht so ignorant dastehen zu wollen, wie eine Replik das nahelegt, vorwegnehmender Präzisierung, was abhängig, unabhängig, Variable, Funktion sei, anscheinend nur weiteren Nebenschauplätzen Raum bietet.
Abgesehen davon beschreiben beispielsweise Einschränkungen keineswegs den Radius meines Wissens um die Verwendung des Apostrophen. Aber gut, wer mir seine Unterstellungen angedeihen lassen will, der mag auch das als Argument hernehmen. Welches Gebiet umschreibt "hier" übrigens in dem Relativsatz "die hier keinen Sinn ergibt"?

Selbst bei einem "unbestimmten" Integral bezieht sich das Adjektiv auf dessen Grenzen, nicht auf den Integranden. Impliziert denn der "'" hinter einer, ja was eigentlich? Funktion, abhängigen Variablen? als Ableitungssymbol wenigstens, daß dann etwas ableitbares besteht?
2020-01-23 21:45 - zippy in Beitrag No. 8 schreibt:
2020-01-23 21:24 - jacha2 in Beitrag No. 6 schreibt:
Was sollte etwa x' = dx(x)/dx ergeben?
Wo soll denn so ein Ausdruck vorkommen?
In der konsequenten Weiterentwicklung der Annahme, man könne eine Ableitung postulieren, aber offenlassen, wonach eigentlich abgeleitet werden solle, und der Auffassung, daß diese ein nur sehr kurzgefasster Differentialquotient sei, (der Strich als Ersatz für d"irgendwas"/d"irgendnochwas") und der weiteren Annahme, daß x als unabhängige Variable anzusprechen ja nur eine hier keinen Sinn ergebende Einschränkung sei, war es mir ein leichtes , dx/dx aufzuschreiben und der Deutlichkeit halber, x (die Funktion), von x (der Variablen) zu unterscheiden, durch x(x) zu bezeichnen. Der Rest ist evident, eine etwas pompös daherkommende 1. Oder?  
Adieu


zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1487
Aus:
Beitrag No.12, eingetragen 2020-01-24 20:21

Nimm's mir bitte nicht übel, aber du drückst dich so verschwurbelt aus, dass für mich die Hürde, deinen Beitrag zu verstehen, zu hoch liegt.




Dieses Forumbeitrag kommt von Matroids Matheplanet
https://https://matheplanet.de

Die URL für dieses Forum-Thema ist:
https://https://matheplanet.de/default3.html?topic=245409=19
Druckdatum: 2020-10-22 13:58