Forum:  Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
Thema: * mindestens fünf Teiler
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querin
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Themenstart: 2020-01-27 21:59

Sei $n>2$ eine natürliche Zahl und $n^3+2=s\cdot t$ mit echten Teilern $s,t>1$.

Zeige: $n^3-(s+t)+3$ hat mindestens fünf Teiler.

Lösungen bitte als PN. Die Bekanntgabe der richtigen Einsendungen erfolgt am Wochenende.


LG querin


Red_
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Dabei seit: 28.09.2016
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Aus: Erde
Beitrag No.1, eingetragen 2020-01-28 00:40

2020-01-27 21:59 - querin im Themenstart schreibt:
 mit echten Teilern $s,t>1$.

Teilen die n oder meinst du einfach s und t erfüllen die Gleichung n^3 + 2 = s*t, wobei s,t>1?
Ich weiß letzteres ist gemeint, dennoch wollte ich s,t|2 irgendwann ausnutzen  😁


StrgAltEntf
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Beitrag No.2, eingetragen 2020-01-28 11:23

Hallo querin,

sollen die fünf Teiler alle verschieden sein?


MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-01-28 11:34

Ich hoffe meine Lösung passt so, wenns hier so viele Nachfragen gibt xS


Kitaktus
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Dabei seit: 11.09.2008
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Beitrag No.4, eingetragen 2020-01-28 12:36

2020-01-28 11:23 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
sollen die fünf Teiler alle verschieden sein?
Was für eine merkwürdige Frage? Wenn sie nicht verschieden sein müssten, dann hätte jede Zahl fünf Teiler, nämlich die 1, die 1, die 1, die 1 und die 1.


StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
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Aus: Milchstraße
Beitrag No.5, eingetragen 2020-01-28 13:05

2020-01-28 12:36 - Kitaktus in Beitrag No. 4 schreibt:
Was für eine merkwürdige Frage?

Ja, sorry, war ne blöde Frage! 😮


Orthonom
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Dabei seit: 02.09.2010
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Aus:
Beitrag No.6, eingetragen 2020-01-28 13:05

@Kitaktus
Die Teiler wurden vom Themenstarter größer als 1 vorausgesetzt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 5630
Aus: Milchstraße
Beitrag No.7, eingetragen 2020-01-28 13:09

2020-01-28 13:05 - Orthonom in Beitrag No. 6 schreibt:
@Kitaktus
Die Teiler wurden vom Themenstarter größer als 1 vorausgesetzt.

Das betrifft aber nur s und t. Ich denke, ein Teiler von n³ - s - t + 3 darf auch 1 sein.


weird
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Dabei seit: 16.10.2009
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Beitrag No.8, eingetragen 2020-01-28 13:15

Ich dachte dabei eigentlich an eine geniale Persiflage - im Anschluss an die Frage von Red_ davor. So kann man sich irren!  😮


Orthonom
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Dabei seit: 02.09.2010
Mitteilungen: 569
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Beitrag No.9, eingetragen 2020-01-28 13:37

@StrgAltEntf
@querin
Ja, ich habe wohl etwas schludrig gelesen.
Auch bei genauem Lesen habe ich aber Schwierigkeiten die Frage
genau zu deuten.
Soll es etwa heißen:

- Zeige: ... hat mindestens fünf verschiedene Teiler.

- Zeige: ... hat mindestens fünf verschiedene Teiler größer als 1.

- Zeige: ... hat mindestens fünf Teiler größer als 1.

...




haegar90
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Dabei seit: 18.03.2019
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Aus: Danewerk
Beitrag No.10, eingetragen 2020-01-28 15:08

Mit den Bedingungen: $ n,r,s,t \in \mathbb{N}$ mit $n>2$ und $n^3+2=s\cdot t$ und $s,t>1$ soll $r:=n^3-(s+t)+3$ mindestens fünf Teiler besitzen. Das würde für mich bedeuten, neben den Teilern $\lbrace1,r\rbrace$ noch mindestens drei weitere  😄


Kitaktus
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Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 6285
Aus: Niedersachsen
Beitrag No.11, eingetragen 2020-01-28 15:41

Wenn ich mich nicht vertan habe, spielt es für die Aufgabe keine Rolle, ob man nur Teiler größer als 1 zählt, oder nicht.
Ich sehe jedenfalls keine Lösung mit genau 5 Teilern (inkl. der 1).


querin
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Dabei seit: 12.01.2018
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Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2020-01-28 17:07

2020-01-28 15:08 - haegar90 in Beitrag No. 10 schreibt:
Mit den Bedingungen: $ n,r,s,t \in \mathbb{N}$ mit $n>2$ und $n^3+2=s\cdot t$ und $s,t>1$ soll $r:=n^3-(s+t)+3$ mindestens fünf Teiler besitzen. Das würde für mich bedeuten, neben den Teilern $\lbrace1,r\rbrace$ noch mindestens drei weitere  😄

Ja, so ist es gemeint.


querin
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Dabei seit: 12.01.2018
Mitteilungen: 327
Aus:
Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-01 15:52

Gratulation an MartinN und Kitaktus für die eingesandten Lösungen.

Danke fürs Mitmachen :)


Auflösung
Nach Definition von s und t ist $n^3-(s+t)+3=(s-1)(t-1)$

1.Fall: s und t gerade
Dies ist nicht möglich, da $n^3+2$ nicht durch 4 teilbar ist.

2.Fall: s und t ungerade
Sei oBdA $s=2a+1\le t=2b+1$
Wegen $n>2$ ist $n^3+2=(2a+1)(2b+1)\ge 29$ und daher
($a=1$ und $b\ge 5$) oder ($a=2$ und $b\ge 3$) oder ($a\ge 3$ und $b\ge 3$).
$(s-1)(t-1)=2a\cdot 2b=4ab$ hat mindestens 6 Teiler wegen $ab\ge 5$.

3.Fall: Sei oBdA $s=2a$ gerade und $t=2b+1$ ungerade (nicht notwendig $s\le t$)
$(s-1)(t-1)=(2a-1)\cdot 2b$ hat mindestens 6 Teiler, falls $a>1$ und $b>1$.

Es bleiben noch die Spezialfälle $a=1$ oder $b=1$:

Für $a=1$ und $n^3+2=2t$ muss $n=2k$ gerade sein.
$(2k)^3+2=2t$ mit $k\ge 2$ wegen $n>2$
$t=4k^3+1$ und $(s-1)(t-1)=4k^3$ hat für $k\ge 2$ mindestens 6 Teiler.

Für $b=1$ und $n^3+2=s\cdot 3$ muss $n=3k+1$ mit $k\ge 1$ gelten, damit die linke Seite durch 3 teilbar ist. Aus $(3k+1)^3+2=3s$ folgt $s=9k^3+9k^2+3k+1$ und $(s-1)(t-1)=3k\cdot (3k^2+3k+1)\cdot 2$ hat mindestens 8 Teiler






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Druckdatum: 2020-04-05 00:31