Forum:  Integration
Thema: Ist dieser Ausdruck endlich?
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Schokopudding
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Dabei seit: 17.07.2013
Mitteilungen: 748
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Themenstart: 2020-02-18 20:58

Hallo, ich habe eine Frage!

Sei <math>C</math> eine Konstante und <math>x\in\mathbb{R}</math>.
Ist dann
<math>\displaystyle
e^{-C\lvert x\rvert}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-z^2+C\lvert x-z\rvert}\, dz<\infty?
</math>

Weiß auch nicht so genau, ich würd es erstmal umschreiben, um den Absolutbetrag im Exponenten wegzukriegen:

<math>\displaystyle
e^{-C\lvert x\rvert}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-z^2+C\lvert x-z\rvert}\, dz=e^{-C\lvert x\rvert}\left(\int_{-\infty}^x e^{-z^2 +C(x-z)}\, dz+\int_x^\infty e^{-z^2+C(z-x)}\, dz\right)
</math>

Kann ich die Terme mit dem <math>x</math> jetzt einfach rausziehen:

<math>\displaystyle
=e^{-C\lvert x\rvert}e^{Cx}\int_{-\infty}^x e^{-z^2-Cz}\, dz + e^{-C\lvert x\rvert}e^{-Cx}\int_x^{\infty}e^{-z^2+Cz}\, dz?
</math>



Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1019
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Beitrag No.1, eingetragen 2020-02-18 21:32

Beachte, dass $e^{-z^2}$ das Wachstumsverhalten des Integranden dominiert. Bekanntlich ist das Integral von $e^{-z^2}$ über $\mathbb{R}$ endlich.


Schokopudding
Aktiv
Dabei seit: 17.07.2013
Mitteilungen: 748
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Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-18 21:37

Hi!

Ich denke, dass die Integrale endlich sind, bekomme ich gezeigt.
Aber was ist mit den beiden Vorfaktoren?

Kann man das anfängliche Integral auch so umschreiben, dass man den Faktor <math>e^{-C|x|}</math> wegkürzen kann?

Zum Beispiel frage ich mich, ob ja man das Ganze auch als
<math>\displaystyle
e^{-C\lvert x\rvert}\int_{-\infty}^\infty e^{-z^2+C\lvert x\rvert+C\lvert z\rvert}\, dz
</math>
schreiben kann.


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1019
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Beitrag No.3, eingetragen 2020-02-18 21:39

Der Faktor ist doch nicht wichtig, schließlich ist $x$ fest, also $e^{-C|x|}$ nur eine endliche Konstante.


Schokopudding
Aktiv
Dabei seit: 17.07.2013
Mitteilungen: 748
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Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2020-02-18 21:46

Und wenn x nicht fest wäre, kann man den Faktor dann wegbekommen?

Kann man den Ausdruck so schreiben, wie ich es am Ende meines letzten Beitrags editiert habe?

Oder vielleicht zumindest dadurch nach oben abschätzen?


Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1019
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Beitrag No.5, eingetragen 2020-02-18 22:04

Ich verstehe nicht, was ist dann die Aussage, die du beweisen möchtest? Dass dieser Term beschränkt in $x$ ist?

Ja, der Term lässt sich so abschätzen mit der Dreiecksungleichung.  😄




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Druckdatum: 2020-11-24 04:45